空間解析幾何與向量代數

1、第七章空間解析幾何與向量代數、知識考點精要向量的概念,向量的線性運算,向量的數量積和向量積的概念及運算,向量的混合積,兩向量垂直、平行的條件,兩向量的夾角,向量的坐標表達式及其運算,單位向量、方向數與方向余弦.曲面方程和空間曲線方程的概念,平面方程,直線方程,平面與平面,平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角,點到平面和點到直線的距離,球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標的旋轉曲面的方程,常用的二次曲面方程及其圖莆,空間曲線的參數方程和一般方程,空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.一向量代數1,向量的概念具有大小和方向的量稱為向量失量,我們只研究與起點無關的自由向量.只有大小,沒有

2、方向的量叫做標量數量向量a的大小或長度稱為它的模,記做|a|o模為零的向量稱為零向量,記做0.模為1的向量稱為單位向量,向量a的單位向量記做a0,顯然a0設向量a與空,貝Ucos,cos,cos稱為向2cos=1M1M2X2xy2必,Z2Z1,其模為M1M2X2為.2y1,Z2Z1,其模為間直角坐標系的三個坐標軸正方向的夾角依次為量a的方向余弦,它們滿足等式22coscos把向量a與空間直角坐標系的三個坐標軸正方向的夾角依次為,222coscoscos1把向量a的起點與空間直角坐標系原點相重合,那么其終點的坐標ax,ay,az,于是有2220=0,0,0,|a|-axayaz設M1x1,y1,

3、4,M2X2,y2,Z2為空間兩點,以M1為始點,M2為終點的向量M1M2即為點M1至ijM2的距離.于是d|M1M2|Vx2x12y2y2Z2Z122.向量的運算1加法.把向量b的起點移到向量a的終點,那么以a的起點為起點,b的終點的向量稱為向量a與b的和,記做c=a+b.用坐表示,假設aax,ay,az,bbx,by,bz,那么a+b=axbx,ayby,azbz(2)數乘.實數與向量a=ax,by,cz數乘是一個向量,記做a,當0時,向量a與a同向,當0時,a與a反向,且|a|=|a|,用坐標表示有a=ax,ay,az.加法與數乘有以下性質a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+

4、0=a(4)a+(-a)=0(a)=(a)(+)a=a+a(a+b)=a+b(3)點乘(數量積或內積).向量aax,ay,az與b=bbx,by,bz的點乘是一個數|a|b|cosa,b其中a,b表示a,b之間的夾角記做ab,即2b=|a|b|cosa,b.用坐標表示為a-b=axbxaybyaxbx.點乘的性質a-b=baab=a-ba+b-c=a-c+b-ca±b的充要條件是a-b=0,簡記a±ba-b=0這里ab表示a與b垂直或正交,常把a-a記做a2=|a|2.(4)叉乘(向量積或外積).兩個向量aax,ay,az與bbx,by,bz叉乘是一個向量,a,b,且使a,

5、b,ab成右手系.假設向記做ab,它的模為|ab|=|a|b|sina,b,方向垂直于量a或b為零向量時,那么定義ab=0,用坐標表示為ijkaxayazbxbybzayby叉乘的性質：abbaabababcacbca/b的充要條件是ab0,簡記a/bab0,其中記錄“/有示兩向量平行.zzaxazaxaybz'bxbz,bxby(5)混合積：abc(ab)c稱為向量aax,ay,ax,bbx,by,bz,cCx,cy,cz的混合積,其幾何意義是以向量a,b,c為相鄰的三條棱的平行六面體的有向體積.用坐標表示為a*ayazabcbxbybzCxcyCz混合積的性質：混合積中相鄰的兩個向

6、量位置互換一次,那么混合積變號,即(ab)c(bc)a(ca)b(ba)c(cb)a(ac)b三個向量a,b,c共面的充要條件是(ab)c0.3.向量在有向軸上的投影空間一點A以及一有向軸u,通過點A作軸u的垂直平面兀,那么平面兀與軸u的交點稱為點A在軸u上的投影.u0是與軸u同方向的單位向量,假設向量ABu.,那么而稱為軸u上的有向線段,并稱入為有向線段aB的值.空間一向量Ab的起點和終點在軸u上的投影記為a和b,那么有向線段Ab的值稱為向量aB在軸u上的投影,記做PrjuAB.向量b在向量a(a0)上的投影為Prjab|b|cosa-bbabxcosabycosbzcos,其中|a|aco

7、sa,cos,cos(二)空間解析幾何1.直線、平面和曲面平面方程點法式方程A(xxo)B(yyo)C(zzo)0其中(xo,yo,zo)為平囿上一定點,n-A,B,C為平囿的法向量一般式方程AxByCzD0n=A,B,C為平面的法向量截距式方程-1其中a,bc依次為平面在x,y,z軸上的截距abc二點式方程xxyyzzix2xiy2yiz2zix3xiV3yiz3ziMi(xi,yi,zi),M2J2,y2,；0平面過空間三點2),M3(x3,y3,z3)點向對稱式方XX0yy0z其中X0,y0,z0為直線上一定點,n句向量程s=lml,m,n為直線的方直參數式方程XX0lt,yV0mt,z

8、znt線直線過點X0,y0,Z0,它的方向向量s-l,m,n方程交線式方程AixBiyCA2xB2yCiz2zDi0i其中D20niAi,Bi,Ci,n2A2,B2,C2為兩個平面的法向量,ni/n2橢球卸方程(x2/X0)(yVo)2(zz)211獨XcVc7c0ab附22210000abcb=c或c=a時為旋轉橢球面曲雙曲面方程(xX0)2(y2aVo)b22/2(zz0)-_4i單葉雙曲面c面(x2/X0)(yVo)22zZ0i雙葉雙曲面方2ab22,人|.LL|_LL|c程二次錐面方程(xX0)2(yVo)2/、2-40c2ab2拋物面方程z(XX0)22p(xX0)2(y(y當匚,橢

9、圓拋物面2q2其中pq>00,雙曲拋物面2q2p柱面方程Fy,z-0,母線平行于母線平行于z軸x軸F(x,z)-0,母線平仃于y軸F(x,y)-0,旋轉曲面方程用給fn線z軸旋轉：f(Jx2y2,z)07yy,t-繞y軸旋轉：f(y,Jx2z2)02.點、直線、平面之間的關系1兩個平面之間的關系平面i：AxBiyCizDi0,其中nA,B1,G為平面i的法向量,平面2：A2XB2yC2ZD20,其中叫4,B?Q2為平面2的法向量.兩平囿相交?即目曳CL不成立A2B2C2兩平囿垂直nin2nin20A1A2BiB2C1c20兩平囿平行,-ABiCin1n2(0)n1n201212A2B2c

10、2兩平回重合設1與2之間的夾角n1,n2?(0)滿足21n1n21cos1cosni,n21Ini11n2|A1A2B1B2C1C2|Bi2Ci2,A；B；C|(2)兩條直線之間的關系設直線Li:xXyyilimizz,其中Sili,mi,ni為Li的萬向向重,niM1(X1,必2)為Li經過的一點.xx9yy9zz9直線L2：-22,其中S2l2,m2,n2為L2的方向向量,l2m2n2M2(X2,y2,Z2)為L2經過的一點.兩直線不共面M1M2(s1s2)0,即混合積M1M2sls20,這里M1M2x2xi,y2yiZzi兩直線不共面但相互重直M1M2(s1s2)0,但、s2s1s20l

11、1l2m1m2n1n20兩直線垂直相交M1M2(s1s2)0,且s1s20兩直線平行§“s2,即§s20兩直線重合M1M2/1/s2直線Li與直線L2之間的夾角(0)滿足2|l1l2m1m2n1n2cos|coss1,s2|222222liminilim2n2(3)平面與直線關系設平面：AxByCzD0,直線L:XX°-一y0Z",這里nA,B,C為lmn平面的法向量,sl,m,n為直線方向向量平面兀與直線L相交ns不成立,即ns0平面兀與直線L垂直n/s,即ns0平面兀與直線L平行ns,即ns0直線L在平面兀上ns0且Ax0By0Cz0D0,這里M0(

12、x0,y0,z0)為直線L上的一點.直線L與平面兀的夾角(0-)滿足(4)空間一點M0(x0,y0,4)到平面sin|cosn,s|ns|n|s|AlBmCn|A2B2C2l2m2n2:AxByCzD0的距|M0Mls|s|(6)直線LiL2的距離為dijklmnxix0y1V0ZiZ0M1(x1,yi,Zi)為L上的點xxiyyimizZinixx2l2yV2m2n2那么|M1M2ss2|sis2|Aix(7)過直線L:*iA2xBiyB2yCiZC2zxix2yiy2Ziz2liminil2m2n2ijk|liminJl2m2n21|Di0cc的平面束方程為D20(AixBiyCiZDi)

13、(A>xB2yC2ZD20或|Ax0By.CZ0D|Ax+Biy+Ciz+Di+(A?xB2yC2ZDz)=0,其中,為參數(兩個線性方程的系數不成比例).3.母線平行坐標軸的柱面方程及空間曲線在坐標平面上的投影、一一F(x,y,z)0,、_,、,、一設空間C:'',消去聯立方程組中的變量中的變量后得方程為H(x,y)0,G(x,y,z)0該方程表示一個以C為準線,母線平行z軸的柱面,稱為空間曲線C關于xOy坐標面的交,H(x,y)0一線：z0,稱為空間曲線C在xOy面上的投影曲線.三教材習題同步解析習題7-18.在yOz面上,求與三點A(3,1,2),B(4,-2,-2

14、)和C(0,5,1)等距離的點.解設所求的點的坐標為D(0,y,z),那么|DA|=|DB|=|DC|,即32(y1)2(z2)242(y2)2(z2)2(y5)2(z1)2,解得y=1,z=-2,故所求的點為(0,1,-2).9.試證實以三點A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點的三角形是等腰直角三角形.證實|AB|(104)2(11)2(69)27|BC|.(102)2(14)2(63)272|AC|.(42)2(14)2(93)27顯然|AB|AC|,|AB|2|AC|2|BC|2.故以A,B,C為頂點的三角形是等腰直角三角形.習題7-22 .如果平面上一個四邊形

15、的對角線互相平分,試用向量證實它是平行四邊形.證實依題意,AMmc,dMmboAbammbmcdMdc,故abcd是平行四邊形.圖7-2P2693 .把AABC的BC邊五等份,設分點依次為Di,D2,D3,D4,再把各分點與點A連接.試以ABc,BCa表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.解-一1D1AD1BBA(ca)5-2D2AD2BBA(c-a)圖7-3P270"-133D3AD3BBA(c-a)3351->->4D4AD4BBA(c-a)5習題7-32.一向量的終點在點B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4,-4和7.求這個向量的起點A的坐標.

16、解設點A(x,y,z),依題意,2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,從而x=-2,y=3,z=0.故點A的坐標為(-2,3,0).4.設兩點Mi(4,J2,1)和M2(3,0,2).計算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.解M1M21,2,1),1MlM2|.1212,cosa1,cos22,cos27.設m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解a=4m+3n-p=13i+7j+15k.從而向量a在x軸上的投影為13,在y軸上的分向量為7j.+11一8.求平仃于向重a=6,7,-6的單位向重.解aa6,7,

17、6)|a|11習題7-42.設a,b,c為單位向量,且滿足a+b+c=0求abbcca.解0(abc)(abc)=aaabacbabbbccacbcc3=32(abbccamabbcca-o3.M1(1,1,2),M2,(331)和M3(3,1,3).求與MM2,M2M3同時垂直的單位向量.解M1M2(2,4,1),M2M30,2,2)oiaM1M2M2M32I2230jk416i4j4k22a|a|2176,4,4)二7；,2)4.設質量為100kg的物體從點M1(3,1,8)沿直線移動到點M2(1,4,2),計算重力所作的功圖7-4P271長度單位為m,重力方向為z軸負方向.解M1M22,

18、3,6,F0,0,1009.8,WM1M2F69805880J.5 .在杠桿上支點O的一側與點O的距離為xi的點R處,有一與O百成角1的力Fi作用著,在O的另一側與點O的距離為X2的點P2處,有一與OP2成角2的力F2作用著圖7-4.問1,2,Xi,X2,|Fi|,|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解要使杠桿保持平衡,必須保證力矩為零,即xi|Fi|sin1X21F2|sin26 .求向量a4,3,4在向量b2,2,1上的投影.解ab|b|Prjba,Pr",4417 .設a=3,5,-2,b=2,1,4,問入與科有怎樣的關系,能使得ab與z軸垂直?解ab32,5,24,要使

19、ab與z軸垂直,只要(ab)k0,即240,從而2.8 .試用向量證實直徑所對的圓周角是直角.證實BABOOA,CACOOA,BACA(BOOA)(COOA)BOCOBOOA圖7-5P272OACOOAOAR2BOOAOA(BO)R20故BACAo9 .向量a2i3jk,bij3k和ci2j,計算：(1)(ab)c(ac)b;(2)(ab)(bc);(3)(ab)c.解(1)(ab)c(ac)b(233)1,2,0(26)1,1,3=88,168,0240,8,248j24k(2)(ab)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)(ab)cio.OA3k,OB求AOAB的面積.解OAOB3i3j

20、1SOAB210A'T9o2(1)試利用行列式的性質證實(ab)c(bc)a(ca)b(2)試利用混合積的幾何意義證實三向量a,b,c共面的充分必要條件是:一1OB|991211.aax,ay,az,bbx,by,bz,cCx,Cy,Cz,axayazbxbybzcxcycz0axayazbxbybzbxbybz證實(1)(ab)cbxbybzaxayazcxcycz(bc)acxcyczcxcyczaxayaz同理(bc)a(ca)b故(ab)c(bc)a(ca)b故(ab)c=(bc)a=(ca)b(2)a,b,c共面以a,b,c為棱的平行六面體的體積axayazbxbybzcxc

21、yczV=|abc|=V=0axbxazbz=0cxcycz12.試用向量不等式證實不等式222,2.01a2a3b1a3、bi、b2、b3為任,2,2b2b2|a1bla2b2a3b31,其中a1、a2、意實數.并指出等號成立的條件.證實設2=21,22,23,b=bi,b2,b3,貝Ucosa,bab1a2b2a3b3|a|b|a；a|afbf故,afa；2a3|a1bla2b2a3b31|a1bla2b2a3b3|°當|cosa,b|=1,b,亦即史b1a2b2c2,.工時,等號成立.b2習題7-53.方程x232x4y2z0表示什么曲面?解由x2y2z22x4y222z.,得

22、(x1)2(y2)2(z1)26,因此方程表示以(1,2,1)為球心,以*兩為半徑的球面.4.求與坐標原點O及點(2,3,4)的距離之比為1:2的點的全體所組成的曲面的方程,它表示怎樣的曲面.解設(x,y,z)為曲面上任一點,那么222、xyz(x2)2(y3)2(z4)25.將xOz坐標面上的拋物線z25x繞x軸旋轉一周,求所生成的旋轉曲面的方程.解(qy球心,以一429為半徑的球面.z2)25x,即y2z25x.7.將xOy坐標面上的雙曲線4x29y236分別繞x軸及y軸旋轉一周,求所生成的旋轉曲面的方程.解繞x軸旋轉一周生成的旋轉曲面方程為:4x29(y2z)36.繞y旋轉一周所生成的旋

23、轉曲面方程為4(x2Z2)9y236習題7-622223 .分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線X2y2z2xzy16,的柱面方程.0解從方程組中消掉x得3y2z216即為通過曲線而母線平行于x軸的柱面方程.從方程組中消掉y得3x22z216即為通過曲線而母線平行于y軸的柱面方程.4 .求球面x2y2z29與平面x+z=1的交線在xOy面上的投影的方程.解由x+z=1得z=1-x,代入x2y2z29得2x22xy28.從而所求的投影曲線方程為2x22xy28,z05 .將以下曲線的一般方程化為參數方程:(1)2222xyz9,(2)(x1)yx；y2(z1)24,z0解1將y=x代入x2x2

24、9得(3)2.22z人1,令x32故所求的參數方程為3xcost,y,23一cost,z3sint,(0t2)(2)將z=0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23,令x1<3cost,那么y3sint,故所求的參數方程為x1.3cost,y.3sint,z0,(0t2)xacos,6,求解旋線yasin,在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程.zb222解由xacos,yasin得xya,從而在xOy面上的投影曲線萬程為222xyaz0代入yasin得yasin,故螺旋線在yOz面上的投影曲線方程bb一一z、/,yasinbx0acos得xacos-,從而螺旋線在bxOz面上的

25、投影曲線方程為zxacos-,b°yoax(a0)的公共局部在xOy和7.求上半球0z寸a2x2y2與圓柱體x2y2xOz面上的投影.2222/a22a解由za2xy,知在xOy面上的投影曲線方程為(x2)y7,從xyaxz02而立體在xOy面上的投影為(xa)2y2o24axy0,從而立體在222z2由zajy,知在xOz面上的投影曲線方程為xyax22xOz面上的投影為zaxa,x0,z0.22.8.求旋轉拋物面zxy(0z4)在三個坐標面上的投影.22解由zxy,得x2y24,從而拋物面在xOy面上的投影為x2y24.z422由zxy,得zy2又z4,從而拋物面在yOz面上的投

26、影為y2z4z0同理拋物面在xOz面上的投影為y2z4.習題7-73.求過A(1,1,-1)、B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三點的平面方程.nABAC3i9j6k故所示方程為3(x1)9(y1)6(z1)0,即x3y2z05 .求平面2x2yz50與各坐標面的夾角的余弦.解設平面與yOz面,xOz面及xOy面的夾角分別為a,且記n=2,-2,1那么cosa|n?i|n|i|22-,cos4413g2,cos|n|j|3|n?k|1|n|k|36.平面過點1,0,-1)且平行于向量a=2,1,1和b=1,-1,0,試求這平面方程.jk11ij3k.所求平面方程為x-1+y-3(z+1)

27、=0,即x+y-3z-4=0.107 .求三平面x3yz1,2xyz0,x2y2z3的交點.x3yz1,x1,解解方程組2xyz0,得y1,所以(1,-1,3)即為交點坐標.x2y2z3,z3,8 .分別按以下條件平面方程：(1)平行于xOz面且經過點(2,-5,3).解取n=j=0,1,0,那么y+5=0即為所求.(2)通過z軸和點(-3,1,-2).解設所求平面方程為Ax+By=0,又點(-3,1,-2)在平面Ax+By=0上,所以-3A+B=0,于是Ax+3Ay=0,故所求平面方程為x+3y=0.(3)平行于x軸且經過兩點(4,0,-2)和(5,1,7).解設所求平面方程為By+Cz+D

28、=0,又(4,0,-2)和(5,1,7)在By+Cz+D=0上,所以2CDB7CD0,從而0,2C,9C,故-9Cy+Cz+2C=0,9y-z-2=0即為所求.,|11221210|3解d12222239 .求點(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離.1.習題7-8,、一.,、一一xyz1,3.用對稱式萬程及參數萬程表示直線2xyz41從而得直線上的一點1,1,1.1又可取直線的方向向量為nin22ij3k于是對稱式方程為4.求過點2,0,-3且與直線1、一,參數式方程為x12t,y1t,z13tx3x16(x2)14y11(z3)5.求直線5x3y3x2y3z解S13i0,4jC

29、OS也S2|3020|S1|S2I6.證實直線證實S12y4z75y2z116i14j即16x14y11z0,與直線02x2y3x8ykS210|S1|S2|2y2xy7與直線73x6y3i顯然S1/S2,即兩直線平行.2x5k(3,1,5S20,垂直的平面方程.06510i3z11k,那么所求平面方程為0.23185j0的夾角的余弦.010k平行.9i3j15k3(3,1,5,7.求過點0,2,4且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.解取s2i3j8.求過點nABsA(3,1,-2)且通過直線那么所求平面方程為9.求直線B(4,-3,0)8i9j注意到xk'那么所求直線

30、萬程為質22k8(x3)9(y1)3z2in=1,-1,-1.22(z-的平面方程.1求平面上2)0,即8x0°與平面x-y-z+1=0的夾角.|sn|4j2k,sin|s|n|242|s|n|9y|210.試確定以下各組中的直線和平面間的關系:x3y4z十(1)一和4x2732y2z3.AB22z42|s|n|(1,4,2取解s=-2,-7,3,n=4,-2,-2,與平面平行.顯然s-n=0,且直線上的點(-3,-4,0)不在乎平面上,因此直線xyz土c(2)和3x327解s=3,-2,7,n=3,-2,7x2y2z(3)-31解s=3,1,-4,n=1,1,1直線在平面上.2y7

31、z8.,顯然s/n,因此直線與平面垂直.3力c一和x+y+z=3.4,顯然s-n=0,又直線上的點(2,-2,3)在平面x+y+z=3上,所以11.求過點(1,2,1)x而與兩直線x2yz10和2xyz0,平行平面方程.0sii2j3k,82jk,ns1s2從而所求平面方程為(x1)(y2)(z1)0,即x-y+z=012.求點(-2,2,0)在平面x+2y-z+1=0-1,上的投影.垂直于x+2y-z+1=0直線方程為x1Ty2"I-2yz1.y2253,y23,z求的投影.13.求點xP(3,-1,2)到直線2x0,0的距離.解一般地設直線xL的方程為一x0mV0nz生,M0(沏

32、,y0*0)為直線L上的P點.設P(a,b,c)為直線L外一點,那么d|PM0|sin|PM0|s|sin|PM0s|s|PM0|s|PM°s|s|其中s=m,n,p為L的方向向量,s是與s同方向的單位向量.這里s3j3kx2x1,一,進而得2M0(1,2,0),于是PM03i6j故d1空3|s|326262993.222x15.求直線4yz0,4Tg在平面4x-y+z=13xy2z90上的投影直線的方程.一、一八2x4yz0,解過直線的平面束方程為2x4yz(3xy2z9)0,即3xy2z90(23)x(4)y(12)z90在平面束中找與4x-y+z=1垂直的平面,即4(23)(4

33、)y(12)0,得13一,于是與4x-y+z=1垂直的平面方程為(21139、)x111311故投影直線為17x31y37z11704xyz1習題7-922.求曲線y2x30,xOy面上的投影曲線方程,并指出原曲線是什么曲線.yz2x0,得y22x90,從而在xOy面上的投影曲線方程是z3y22x9z00,原曲線是位于平面z=3上,以平行于x軸的直線為對稱軸的拋物線.總習題七1.在y軸上求與點A(1,-3,7)和點B(5,7,-5)等距離的點.解設所求的點為M(0,y,0),那么|AM|=|BM|,即1(y3)24925(y7)225,從而y=2,所所求的點為(0,2,0).2.AABC的頂點

34、為A(3,2,-1)、B(5,-4,7)和C(-1,1,2)求從頂點C所引中線的長度.352417解A與B中的點為M(2,一2一,2一)'即M(4,-1,3),從而從頂點C所引中線的長度為|CM|,(41)2(11)2(32)2v,30.3.設AABC的三邊BCaCAbABc,三邊中點依次為D、E,F,試有向量a,b,c表示AD,BE,CF,并證實：ADBECF0.解ADAB-1BDcaBE2一.1BCCEab2圖7-7P282八八,1,CFCAAFb-c從而23ADBECF(abc)024.試用向量證實三角形兩邊中點的連線平行于第三邊,且其長度等于第三邊長度的一半.證實設E、F分別為

35、AB和AC的中點.11二EFEAAFBA-AC221 1=(BAAC)-BC2 2一,1故EF/BC,且|EF|BC|.25.在邊長為1的立方體中,OM為對角線,OA為棱,求而在OA上的投影及OAftOM上的投影.解|AM|<2,|OM|33.顯然PrjoAOM|OA|1或PrjoAOM|OM|cos.313圖7-8P282圖7-9P282131PrjoMOA|OA|cos11336 .設|a+b|=|a-b|,a=3,-5,8,b=-1,1z,求z.解由a+b|=|a-b|有(a+b)(a+b)=(a-b)(a-b),從而416(8z)21636(8z)2,故z=1.7 .設|a|&l

36、t;3,|b|1,a,b,求向量a+b與a-b的夾角.622,3解(ab)(ab)a22abb232.3117(ab)(ab)22一222一a22abb23311(ab)(ab)a2b2312記a+b與a-b的夾角為.,貝Ucosb(a-b)-2,arccos|ab|ab|.7.78.設a+3b；a-5b,a-4b；a-2b,求(a,b).后774a3b7a5b,_(a3b)(7a5b)0,日口7a216ab15b20,解由有.即22a4b7a2b(a4b)(7a2b)07a30ab8b0,22從而b2aba,故cos(a,b)|a|b|2'a,bo39.設a=2,-1,-2,b=1,

37、1,z,問z為何值時(a,b)最小,并求出此最小值.解(a,b)arccosarccos|a|b|3.22z2zdz(12z)9(24z2z2)(22)3/2人d令0,dz得z=-4,且當z<-4時,ddzz>-4時,ddz0,所以當z=-4時,0取得極小值,即為最小值,此時最力2arccos210.設|a|=4,|b|=3,a,b一,求以a+2b和a-3b為邊的平行四邊形的面積.630解S|(a2b)(a3b)|5|ab|5|a|b|sina,b11.設a=2,-3,1,b=1,-2,3,c=2,1,2,向量r滿足a,rb,Prjcr14.求r.解設r=m,n,p,由rPrjcr

38、a,b,有142m2m3nm2nP3p0,0,n2p|c|Prjcr,解方程組得m=14.14n=10,p=2.故r=14,10,2.或由ra,rb知,r/axb,令rk(ab)k7k,5k,krc21k又Prjcr7k14|c|3所以k=-2,從而r=14,10,2.12.設a=-1,3,2,b=2,-3,-4,c=-3,12,6,證實三向量a,b,c共面,并用a和b表示c.證實由abc=0知a,b,c共面.12令ck1ak2b,即126k13kl2k12k23k2得4k2k1k25為L.故c5ab.113 .動點M(x,y,z)到xOy平面的距離與點M到點(1,-1,2)的距離相等,求點M

39、的軌跡的方程.解依題意,|z|<(x1)2(y1)2(z2)2整理得(x1)2(y1)24(z1)14 .指出以下旋轉曲面的一條母線和旋轉軸:(3)(4)z2(x22x363(x215.求通過點解法一過A,z2xy)解母線為y021解母線為36y2解母線為21.解母線為42x36A(3,0,0)和B(0,0,1)且與B兩點的直線方程為束方程為xy3z30記n=1,入,v26.故所求平面方程為xz2y2x02y90,2y4z0,1,或xOy旋轉軸為z軸.2zW1,旋轉軸為y軸.x02z4y01,旋轉軸為x軸.面成一角的平面的方程.3-IP1x3z0,過直線AB的平面3,貝U<n,k&

40、gt;3.129cos,326y3z30,或x.26y3z3解法二設所求平面的法向量為n=m,n,pnAB(n,k)23m3mp0|P|22nP3m、26m是mx+ny+p(z-1)=0即mx.26my3m(z1)3z16.設一平面垂直于平面z=0,并通過從點1,-1,1到直線0一八的垂線,于是可設平面方程為0,的平面方程為n:y+z=0.直線L與平面求此平面的方程.解設所求平面的法向量為n=A,B,C,那么nyzAx+By+D=0.過點1,-1,1垂直于直線Lx1111、,n的交點垂足0,一,一.于是點1,-1,1和點0,一,一均在Ax+By+D=0上,即2222ABD0-2D,1_c從而故

41、所求平面萬程為x+2y+1=0.BD0AD,一.x1y3z,17 .求過點-1,0,4且平行于平面3x-4y+z-10=0,又與直線-相交的112直線的方程.解過點-1,0,4且平行于3x-4y+z-10=0的平面方程為3x4yz10的平面方令口匚11x1y0151190-t代入(1)2“,即U32416程3x-4y+z-1=0得t=16,從而交點為(15,19,32),從而所求直線方程為yz4192818 .點A(1,0,0)及點B(0,2,1),試在z軸上求一點C,使AABC的面積最小.l|2zi(z1)j2k|1V4x2(z1)24解設C(0,0,z),那么22AC1,0,z,BC0,2,z11 IIijkSABC1|ACB