第三次課課件第二章數(shù)學(xué)模型

1、控制工程基礎(chǔ)(第二章)精儀系李冬梅第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)函數(shù)方框圖和信號(hào)流圖 六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例 七、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)八、小結(jié)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型本章要熟悉下列內(nèi)容：¾建立基本環(huán)節(jié)(質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)、電路網(wǎng)絡(luò)和電機(jī))的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化重要的分析工具：拉氏變換及反變換經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號(hào)流圖建立實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及方塊圖系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)

2、現(xiàn)¾¾¾¾¾第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳遞過(guò)程中的動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來(lái)，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫(xiě)傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型的基本概念l 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表統(tǒng)結(jié)

3、構(gòu)及其參數(shù)與其性能，它揭示了系的內(nèi)在關(guān)系。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過(guò)渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不僅取信號(hào)，而且與它過(guò)去的工作狀態(tài)有分方程常用作動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。于同時(shí)刻的激勵(lì)。微分方程或差對(duì)于給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型表達(dá)不唯一。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對(duì)于線性系統(tǒng)， 它們之間是等價(jià)的。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)

4、數(shù)學(xué)模型l 建立數(shù)學(xué)模型的方法Ø 解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。¾實(shí)驗(yàn)法人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 數(shù)學(xué)模型的形式Ø 時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程Ø 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)Ø 頻率域：頻率特性第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方l 建立數(shù)學(xué)模型的一般步Ø 分析系

5、統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、Ø 從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)傳出量；變換過(guò)程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫(xiě)出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；Ø 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；Ø 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對(duì)象是機(jī)械系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大們將前一類構(gòu)在集的彈參數(shù)法中，我忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無(wú)質(zhì)量的彈簧。這樣受控對(duì)象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。第二章控

6、制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)給傳動(dòng)裝置示意圖及其等效的力學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)示意圖及其等效的力學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 控制系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)Ø 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三素：x (t)(t)ü 質(zhì)量fm(t)參考點(diǎn)d 2dfm (t) = m dt v(t) = m dt 2x(t)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ü 彈簧x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)對(duì)于彈簧，各點(diǎn)受力相同，變形量不同。fk(t)fkkfk (t) = k x1 (t) - x2 (t) = kx(t)tv

7、(t) - v (t)dtò= k= k12-¥tòv(t)dt-¥第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ü 阻尼v1(t)x1(t)v2(t)x2(t)fD(t)fDDfD (t) = D v1 (t) - v2 (t) = Dv(t)æödx (t)dx(t)= D-12ç÷èdtdtø= D dx(t)dt第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械平移系統(tǒng)fi(t)fi(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響m00ìd 2x (t)x (t)ï fi (t) - f

8、D) - fk (t) = m dt2xo (t)oofk(t)fD(t)kï fD(t) = kx (t)íkoïdï fD (t) = Dxo (t)ïîdt機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型d 2dyo (t) + D dt yo (t) + kyo (t) =mdt 2fi (t)式中，m、D、k通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 彈簧阻尼系統(tǒng)fi(t)0)fi

9、 (t) =t) + fk (t)D dx (t) + kx (t) =kf (t)ooidt系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。彈簧-阻尼系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)qi(t)0qo(t) 0JTD(t)Tk(t)k柔性軸粘性液體D齒輪J 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；D 粘性阻尼系數(shù)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ìïTk (t) = k qi (t) -qo (t)ïïd= Dq (t)dtoíTD (t)ïïd 2qo (t) = Tk (t) - TDïîJ dt 2td 2d

10、qo (t) + D dt qo (t) + kqo (t) = kqi (t)Jdt 2第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。ü 電阻i(t)Ru(t)u(t) = R × i(t)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ü 電容i(t)C1u(t) =ò i(t)dt Cu(t)ü 電感i(t)Ldi(t)u(t) = Ldtu(t)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)ìu (t) = Ri(t) + L d i(t)

11、 + 1C òi(t)dtïidti(t)dtí1ïuC ò(t) =ïîo第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型d 2dLCu (t) + RCu (t) + u (t) = u (t)dt 2odtooi一般R、L、C均為常數(shù)，上式分方程。二階常系數(shù)微若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：RC d u (t) + u(t) = u (t)ooidt第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 有源電路網(wǎng)絡(luò)i2(t)i1(t)Cu (t)it)-aR+ìua (t) » 0ui (t) = -C duo (t)íRdtî

12、i1 (t) » i2 (t)RC duo (t) = -u (t)即：idtuo(第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 電動(dòng)機(jī)T (t ) = KTia(t )(t ) + ediae (t ) = R i (t ) + L(t )爾霍夫定律ia aamdtdqo (t )e(t ) = K電磁感應(yīng)定律medtd 2q (t )odqo (t )T (t ) - D牛頓第二定律= J2dtdt第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型()t) + ( R D + KK )q (t) = K L Jq(t) + L D + R J qe (t)aoaaaTeoTi為電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的控制系

13、統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。當(dāng)電樞電感 La 較小時(shí)，通?？珊雎杂?jì)，系統(tǒng)微分方程可簡(jiǎn)化為(K )q (t) = K Jq(t) + KRe (t)aoTeoTi第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 小結(jié)ü 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開(kāi)系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法） 。ü 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ü 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性

14、要素、電感、電容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)多一層能量（信息）的交元，其內(nèi)部就ü 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)q 線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為統(tǒng)；如果方程的時(shí)變系統(tǒng)；線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：f ( x1 + x2 ) =f ( x1) + f ( x2 )ü 可加性：ü 齊次性：或：f (a x) = af ( x)f (ax1 + bx2 ) = af (x1) + bf

15、(x2 )第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的定的工作范圍內(nèi)成立。性只在一為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式d n-1d ndxo (t) + a1xo (t) +"+ an-1xo (t) + an xo (t)dtn-1dtn= b0ddm-1dmdxi (t) + b1xi (t) +"+x (t) + b x (t)dtimidtm-1m1dtm式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)

16、構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，mn。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化l 線性化問(wèn)題的提出Ø 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。Ø 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 線性化的提出q 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；q 非線性系統(tǒng)的分析和綜合常復(fù)雜的；q 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處

17、理，能夠滿足實(shí)際需要。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化¾泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法函數(shù) y = f(x) 在其平衡點(diǎn)(x0, y0) 附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：y = f (x) = f (x ) + df (x)(x - x )00dxx = x01 d 2 f (x)1 d 3 f (x)+2!(x - x0 )+3!(x - x0 )+"23dx2dx3x = x0x = x0第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型略去含有高于一次的增量 Dx=x-x0 的項(xiàng)，則：) + df ( x)y =( x - xf ( x)00dxx = x0或：y - y= Dy = K

18、Dx， 其中：K = df ( x)0dxx = x0上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對(duì)于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實(shí)際意義。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條均為零。對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得線性化的增量方程。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型) + ¶f) + ¶fy =(x - x(x - x)

19、 +"f (x, x1020110220¶x1¶x2x1 = x10 x2 = x20x1 = x10 x2 = x20y - y0 = Dy = K1Dx1 + K2Dx2y0 = f (x10, x20)增量方程：靜態(tài)方程：= ¶f= ¶fK,K其中：12¶x1¶x2x1=x10 x2 =x20x1=x10 x2 =x20第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型¾滑動(dòng)線性化切線法y=f(x)線性化增量方程為：DyDy » Dy' =Dx×tgaDyay0Dx切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。0x0非線性

20、關(guān)系線性化x第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 系統(tǒng)線性化微分方程的建立¾步驟q 確定系統(tǒng)各組成元件在平q 列出各組成元件在工作點(diǎn)態(tài)的工作點(diǎn)；近的增量方程；q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型¾實(shí)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：.T (t) - mgl sinq(t) = ml 2 q (t)ioo將非線性項(xiàng)sinqo在 qo = 0 點(diǎn)附近泰勒展開(kāi).ml 2 q (t) + mglq(t) = T (t)ooi第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型¾實(shí)例：閥控液壓缸第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型=QL0f ( pL0 , x0

21、)()é¶f, x ùpQ=+× DxLf ( p, x)êúLL00¶xëûx = x0pL = pL0()é¶f, x ùp+× Dp+"LêúL¶pëûx = xL0pL = pL0DQL = KqDx - KcDpL()()é¶, x ùé¶, x ùfpfpK=K= -LL,êúêúqc¶

22、x¶pëûëûx= xx= xL00pL = pL0pL = pL0第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型液壓腔工作腔流動(dòng)連續(xù)性方程為：DQ = A d (Dy)dt液壓腔力平衡方程為：d (Dy)d 2y)DpL A = M+dtdtd (Dö d (Dy) =2æKMy)KD×+ A÷Kq (Dx)ccçdt 2AèAødtæö KMKD× y(t) + A÷ y(t) = K ccx(t)çqAèAø第二章控制

23、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型線性化方法：假設(shè)變量相對(duì)于某一工作狀態(tài)（平衡點(diǎn)）偏差很小。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為y(t) =f (x(t)簡(jiǎn)寫(xiě)為y =f (x)。如果系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)為 x, y ，則方程可以在x 點(diǎn)附近臺(tái)勞展開(kāi)1 d 2 f (x )df (x ) y =f (x) =f (x ) +(x - x ) +(x - x )+"2dx2dx2如果 x - x 很小，可以忽略其高階項(xiàng)，因此上述方程可寫(xiě)成增量方程形式Dy = K Dx其中 Dy = y - y = y - f (x )，Dx = x - x ，K = dfdxx= x第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 線性化處理的注意事項(xiàng)

24、16; 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；Ø 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；Ø 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特 性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問(wèn)題處理。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型outout近似特性曲線0in0in真實(shí)特性死區(qū)性飽和非線性outout0in0in間隙非線性繼電器非線性第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型三、拉氏變換和拉氏反變換Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工！第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 拉氏變換

25、的定義設(shè)函數(shù) f(t) (t³0) 在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)， 且存在一正實(shí)常數(shù)s，使得：¥òf (t)e-stdt < ¥0則函數(shù) f(t) 的拉氏變換存在，并定義為：式中：s = s + jw（s，w均為實(shí)數(shù)）為復(fù)變數(shù)；¥ò-stedt稱為拉普拉斯積分；0第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型F(s) 稱為函數(shù)f(t) 的拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t) 稱為L(zhǎng)為拉氏變換的符號(hào)。F(s) 的原函數(shù)；拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)

26、態(tài)數(shù)學(xué)模型l 幾種典型函數(shù)的拉氏變換q 單位階躍函數(shù) 1(t)t < 0f(t)11(t) = ì0ít ³ 0î1¥ò- stL1(t) =1(t)edt00t單位階躍函數(shù)= - 1 e-st¥1=ss0第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 指數(shù)函數(shù)f (t) = e-atf(t)1（a為常數(shù)）¥ò- at- at× e-stdt =Leee0¥ò-( s+a )tdt010t=指數(shù)函數(shù)s + a第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)¥Lsinwt =

27、Lcoswt =sinwt × eò-stdt0f(t)1f(t)=sinwt¥coswt × eò-stdt00由歐拉公式，有：t1 (ejwt - e- jwt )-1f(t)=coswt正弦及余弦函數(shù)sin wt =2jcoswt = 1 (ejwt+ e- jwt )2第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型)( 1¥¥òòLsin wt =wt- jwt- stdt - stj從而：eeeedt2j 001 æö11=-2j ç s - jws + jw ÷è

28、;ø=w+ w2s2同理：第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 單位脈沖函數(shù)d (t)(t < 0且t > e )(0 < t < e )ì0f(t) 1ed (t) = ïílim 1ïî e ®0ee1eòL d (t) =- st× elimdte ®00e單位脈沖函數(shù)0t1(1- e-es )= lime se ®0(1- e-es )¢(es)¢se-e s1-es(1- e) = lim= lim=1由洛必達(dá)法則：lime ®

29、0 esse ®0e ®0所以第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）t < 0f (t) = ì0ít ³ 0¥- sttedt0f(t)îtL f (t) =ò1æö1s1 e- st¥- st=-teç÷2èsø01=01單位速度函數(shù)ts2第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型q 單位加速度函數(shù)f(t)t < 0t ³ 0ì0f (t) = ïí1 t2ïî2L

30、f (t) =¥ 1 t 2e-stdt =1òs3200t單位加速度函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型×1(t )q 冪函數(shù) t nu = st¥ò0¥ò01n!L étn ×1(t )ù =tne-stdt =une-udu =ëûsn+1sn+1函數(shù)的拉氏變換通常可以由拉氏變換表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 拉氏變換積分下限的說(shuō)明在某些情況下，函數(shù) f(t) 在 t = 0 處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0還是0+

31、，并相應(yīng)記L f (t) =¥f (t)e-stdtf (t)e-stdtò0+L f (t)=¥ò0- f (t)+0+f (t)e-stdt= Lò0-+第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 拉氏變換的主要定理Ø 疊加定理q 齊次性：Laf(t)=aLf(t)q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=為常數(shù)；f1(t)+bLf2(t)a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 實(shí)微分定理L é df (t) ù = sF (s) - f (0)êëú

32、ûdt證明：由于¥e-st¥ é df (t) ù e-st¥ò- òf (t)e-stdt = f (t)dtêú-sdtû -së000f (0) + 1 Lé df (t) ùF (s) =即：êëúûssdt第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型所以： Lé df (t) ù = sF (s) - f (0)êë同樣有：úûdtìé

33、9;2df (t)¢=s F(s) - sf (0) - f (02ïLêúdt2ëûïïí""ïé d nf (t) ùïLêú = snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2 f ¢(0) -"- f(n-1) (0)ïîdtnëû,f ¢(0) ，為函數(shù)式中，f ¢(0)f(t) 的各階導(dǎo)數(shù)在 t=0 時(shí)的值。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)

34、學(xué)模型當(dāng) f(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)在 t = 0 時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型f(t) 在t=0 處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt 在t=0當(dāng)f(0+) ¹ f(0)，處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若則：L é df (t) ù = sF (s)(0+ )+ êëúûdtL é df (t) ù = sF (s) - f (0- )- êëúûdt第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 復(fù)微分定理Lf(t)=F(s)，則除了F(s)的極點(diǎn)之

35、外，有：F (s) = -Ltf (t)若ddsd 2F (s) =2L tf (t)ds2""d nF (s) =(-(n = 1, 2, 3, ")nn1) L tf (t)dsn第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 積分定理L éò f (t)dt ù = F (s) + f(0) ,f (-1) (t) ò f (t)dtëûssL ò ft= 1 F(s)當(dāng)初始條件為零時(shí)：s若f(0+) ¹ f(0)，則：(-1) (0+ )= F (s) +fL+ ò f (

36、t)dtss(-1) (0- )= F (s) +fL- ò f (t)dtss第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型f (t)dt=f (t)dt¥- stLedt證明：òòò0¥-stee-st= ¥0-ò f (t)dtf (t) - s dtò- s= 1 ò f (t)dt1s¥ò+f (t)e-st dts0t = 0f (-1) (0) + F (s)=ss第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型同樣：éù111sLêò"ò

37、 f (t)dtú =( -1)( - n+1)F (s) +(0) +"+ff(0)n-1êNnssúëûn當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 延遲定理f(t)f(t-t)f(t)t0t函數(shù) f(t-t)設(shè)當(dāng) t<0 時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意t ³0，有：第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 衰減定理例：Lsin wt=wswt=L+ w 2+ w 2s2s2sin wt=wLe-atLe-at(s + a)2 + w 2coswt=(s + a)(s + a)2 + w 2第二章控制系

38、統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 初值定理é df (t) ù = limé df (t) ùe-st dt¥證明：lim Lò0+s®¥+ êëúûêëdtds®¥= limsF (s)(0+ )= 0s®¥即： f (0+ ) = lim sF (s)s®¥初值定理建立了函數(shù) f(t) 在t=0+ 處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的值間的關(guān)系。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 終值

39、定理若F(s)的所有極點(diǎn)位于左半 s 平面， 即：lim f (t)存在。則：t®¥終值定理說(shuō)明 f(t) 穩(wěn)定值與 sF(s) 在 s=0時(shí)的值相同。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型證明： lim Lé df (t) ù = limsF (s) - f (0)êëúûdts®0s®0= lim sF (s) - f (0)s®0éêëùúût) ù e-stdtdf (t)dt¥ò= lim又由于：

40、lim Lûúdt =ës®0s®00éêëùúûdf (t)dt¥ò=f (¥) - f (0)0f (¥) - f (0) = lim sF (s) - f (0)即：s®0f (¥) = lim sF (s)s®0第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 卷積定理其中，f(t)*g(t) 表示函數(shù) f(t)(t) 的卷積。若 t<0 時(shí)， f(t)=g(t)=0，則 f(t表示為：和 g(t) 的卷積可t

41、tòòf (t -t )g(t )dtf (t )g(t -t )dt=f (t)* g(t) 00第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 f (t)* g(t)= f (t)* g(t)e¥-st證明：Ldtò0f (t )g(t -t )dt e-st dt¥t=òò00)dt e-st dt¥¥f (t )g (tòò00t )dt ¥¥g (t -t )edt- stf (òò00¥f (t )e-stG(s)dtò0= F(s

42、)G(s)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø 時(shí)間比例尺的改變éæ t öùL ê f ç a ÷ú = aF (as),a = constantèøûë例： Le-t = F (s) =1s + 1éù- taL êe a ú = aF (as) =as +1ëû第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型l 拉氏反變換 1 2p js + j¥ò-1f (t) = LF (s) =F (s)e ds ,

43、 t > 0sts - j¥L-1為拉氏反變換的符號(hào)。這種通過(guò)復(fù)變函數(shù)積分求拉氏反變換的方法比較繁瑣，對(duì)于有理分式的象函數(shù)，可將其化成典型函數(shù)象函數(shù)疊加的形式，根據(jù)拉氏變換反查表，即可寫(xiě)出相應(yīng)的原函數(shù)。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型在控制理論中，通常：+ b sm-

44、1+"+ bs + bb smB(s)F (s) =(n ³ m) 01m-1m + a sn-1+"+ as + aa snA(s)n-101n為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫(xiě)成下面的形式：c sm + c sm-1 +"+ cs + cB(s)F (s) = 01m-10(s + p1)(s + p2 )"(s + pn )A(s)使分母 A(s)=0 的根，稱為F(s)的極點(diǎn)；使分子 B(s)=0 的根，稱為F(s)的零點(diǎn)。此時(shí)，即可將F(s)展開(kāi)成部分分式。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型求解拉氏反變換的部分分式法Ø F(s)只含有

45、不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)F (s) = B(s) =A1s + p1A2s + p2Ans + pnAis + pin= åi=1+"A(s)式中，Ai為常數(shù)，稱為s = -pi極點(diǎn)處的留數(shù)。Ai = F (s) × (s + pi )s=- piL-1F(s) = L-1éù =nnAi于是：- p têå s + p úåi =1Aeiiëi =1i û第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型s2 - s + 2的原函數(shù)。例：求F (s) =s(s2 - s - 6)s2s2- s + 2- s + 2

46、A1A2A3解：F (s) =s(s2=- s - 6)s(s - 3)(s=+ss - 3s + 2= éùs2- s + 2= - 1A1 = sF (s)ê(s - 3)(s + 2) ús =03ëûs =0éêës- s + 2 ù2= 8A2 = (s - 3)F (s)=úûs =3s =3s(s + 2)15第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型éêës- s + 2 ù2= 4A3 = 2)F (s)+=(sú

47、1;s =-2s =-2s(s - 3)51 + 8 ×1+ 4 ×即： F (s)15 s - 3s5s(s) = - 1 +38 e3t + 4 e-2t(t ³ 0)f (t)155第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Ø F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)假設(shè)F(s)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)-p1、-p2，其余極點(diǎn)均為各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則：A1s + A2(s + p1)(s + p2 )F (s) = B(s) =Ans + pn+"+A(s)p3式中，A1和A2的值由下式求解：= A1s + A2 s =- pF (s)(s + p)(s + p)12s

48、 =- p 或s =- p或s =- p1212上式為復(fù)數(shù)方程，令方程兩端實(shí)部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型注意，此時(shí)F(s)仍可分解為下列形式：F (s) = B(s) =A1s + p1A2s + p2Ans + pnAis + pin= å+"+A(s)i=1由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此共軛復(fù)數(shù)。A1和A2的也為Ai= F ( s ) × ( s +pi )s = - pi第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型s +1F (s) =例：求的原函數(shù)。s(s2 + s +1)s +1A1s + A2A0解：F (s) =+æ

49、3 öæö+ s +1s2s11sç s + j2÷ç s +- j2÷ø2èøèA0 = sF (s) s=0 = 1(s2 + s +1)F (s)= ( A s + A )1 321 3212s=- j2s=- j2第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型ì- 1 ( A+ A ) = 1ï即：íïïî1222ÞA1 = -1,A2= 03 ( A3- A ) = -1222s所以：F (s) = 1 -s= 1 -s+

50、s +1ss23 ö2æ1 ö2æ+ çè÷øç s + 2 ÷èø2第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型s + 112= 1 -s2+3 ö23 ö21 ö2æ1 ö2æææ+ çè÷ø+ çè÷øç s + 2 ÷ç s + 2 ÷èø2èø2

51、s + 13= 1 -s122+23 ö3 ö23 æ1 ö2æ1 ö2ææ+ ç÷ø+ çè÷øç s + 2 ÷ç s + 2 ÷èø2èø2è第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型查拉氏變換表得：3 t +13 tf (t) = 1- e-tcose-t22 sin2232 æö23313çèt ÷ø-

52、t= 1-e3cossin22222 sin æ3 t + p ö ,2e-t= 1-t ³ 0ç3 ÷23èø第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型s +1仍為上例：求 X (s) =的原函數(shù)。s(s2 + s +1)s + 1a1a2+ a3解：X (s ) =+s(s2 + s + 1)s123123s +s +-j2és + 1æ1=×s +j 3 öù= - 1 +2j 36aê s(s2 + s + 1)÷úç122êëøúû s =- 1 - j 3è22= - 1 - j23a26第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型= és +1× sù= 1aêú