解析幾何常用公式

1、精品1 .AB,A為AB的起點(diǎn)，B為AB的終點(diǎn)。線段AB的長度稱作AB的長度，記作|AB|.數(shù)軸上同向且相等的向量叫做相等的向量。零向量的方向任意。在數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、C,向量I>-1AB、bC、aC的坐標(biāo)都具有關(guān)系：AC=AB+BC.AC=AB+4C2 .設(shè)AB是數(shù)軸上的任一個(gè)向量，則AB=OBOA=X2xi,d(A,B)=|AB|=|x2xi|.4.A(xi,yi),B(X2,y2),則兩點(diǎn)A、B的距離公式d(A,B)=jX2xi2+y2yi2若B點(diǎn)為原點(diǎn)，則d(A,B)=d(O,A)=x2+y2;xi+x2yi+y25 .A(xi,yi),B(x2,y2),中點(diǎn)M(,).A(x

2、,y)關(guān)于M(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)B(2xo-x,2yo-y).6 .直線傾斜角：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.7 .直線的位置與斜率、傾斜角的關(guān)系k=0時(shí)，傾斜角為0°,直線平行于x軸或與x軸重合.k>0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，k值增大，直線的傾斜角也增大，此時(shí)直線過第一、三象限.k<0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，k值增大，直線的傾斜角也增大，此時(shí)直線過第二、四象限.垂直于x軸的直線的斜率不存在，它的傾斜角為90二y2yi8 .若直線l上任意兩點(diǎn)A(xi,yi),B(x2,y2)且xi*x2,則直線l

3、的斜率k=.x2xi9 .直線方程的五種形式(i)點(diǎn)斜式:經(jīng)過點(diǎn)Po(xo,yo)的直線有無數(shù)條，可分為兩類：斜率存在時(shí)，直線方程為yy0=k(xX0)；斜率不存在時(shí)，直線方程為x=x0.斜截式：已知點(diǎn)(0,b),斜率為k的直線y=kx+b中，截距b可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù).y-yix-xi(3)兩點(diǎn)式：=(xiwx2,yiwy2)y2yix2xixy截距式：當(dāng)直線過as和(°,b)(a"b9時(shí)，直線方程可以寫為a+r1,當(dāng)直線斜率不存在(a=0)或斜率為0(b=0)時(shí)或直線過原點(diǎn)時(shí)，不能用截距式方程表示直線(5)一般式:Ax+By+C=0的形式.(A2B20)10. (1)已知

4、兩條直線的方程為li:Aix+Biy+Ci=0,I2:A2x+B2y+C2=0.那么AiBili與l2相交的條件是：AiB2AzBiw0或1WKA2B2w0).A2B2AiBiCili與l2平行的條件是：AiB2A2Bi=0且BiC2B2Ci金0或一二一金一(A2B2c2w0).A2B2C2AiBiCili與l2重合的條件是：Ai=；A2,Bi=?B2,Ci=C2(入w0)或(A2B2c2W0).A2B2C22)已知兩條直線的方程為li：y=kix+bi,l2：y=k2x+b2.那么li與l2相交的條件為kiwk2.li與l2平行的條件為k1=k2且b1Wb2.li與l2重合的條件為ki=k2

5、且bi=b2.11 .直線li:Aix+Biy+Ci=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0垂直？.直線li：y=kix+bi與l2：y=k2x+b2垂直？.若兩直線中有一條斜率不存在時(shí)，則另一條的斜率為0,即傾斜角分別為90。和0。，也滿足|a3=90°.12 .與直線Ax+By+C=0平行的直線可表示為Ax+By+m=0(mwC);|Ax i + By i + C |a2 + b2與直線Ax+By+C=0垂直的直線可表示為BxAy+m=0,14 .點(diǎn)P(xi,yi)到直線Ax+By+C=0(A2+B2w0)的距離為d應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，若給出的直線方程不是一般式，則應(yīng)先把直

6、線方程化為一般式，然后再利用公式求解.15 .點(diǎn)到幾種特殊直線的距離:點(diǎn)P(xi,yi)到x軸的距離d=|yi.點(diǎn)P(xi,yi)到y(tǒng)軸的距離d=|xi|.點(diǎn)P(xi,yi)到直線x=a的距離為d=|xia|.點(diǎn)P(xi,yi)到直線y=b的距離為d=|yi一b|.16 .兩平行直線li：Ax+By+Ci=0,I2：Ax+By+C2=0,C-C2,|Ci-C2|則li與l2的距離為d=/.A2+B2兩條平行線間的距離公式要求：li、12這兩條直線的一般式中x的系數(shù)相等，y的系數(shù)也必須相等；當(dāng)不相等時(shí)，應(yīng)化成相等的形式，然后求解.17 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2；18 .點(diǎn)到圓

7、心的距離為d,圓的半徑為r.則點(diǎn)在圓外？d>r；點(diǎn)在圓上？d=r；點(diǎn)在圓內(nèi)？0<d<r.20 .規(guī)律技巧圓的幾何性質(zhì)：若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，過切點(diǎn)與切線垂直線的直線過圓心；若直線與圓相交，圓心、弦的中點(diǎn)及弦的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形是直角三角形，弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.以A(xi,yi)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程為(xxi)(xX2)+(yyi)(yy2)=0.21 .形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程表示圓的等價(jià)條件(1)A=Cw0;x2、y2的系數(shù)相同且不等于零；(3)(A)2+(1)2-(2)B=0;不含xy項(xiàng).4F一>

8、0,即D2+E24AF>0.ADED2+E2-4F23 .圓的一般方程形式為x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方為(x+g)2+(y+2)2=4(1)當(dāng)D2+E24F>0時(shí)，它表示以(一*E)為圓心，"DE4F為半徑的圓.DE(2)當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，它表示點(diǎn)(2，-2).(3)當(dāng)D2+E24F<0時(shí)，它不表示任何圖形24 .直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn).25 .直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法(1)代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來判斷.若有兩組

9、不同的實(shí)數(shù)解，即Q0,則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即A=0,則相切；若無實(shí)數(shù)解，即A<0,則相離.(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.26 .直線與圓相切，切線的求法(1)當(dāng)點(diǎn)(x0,yo)在圓x2+y2=r2上時(shí)，切線方程為xox+yoy=r2;(2)若點(diǎn)(X0,y0)在圓(xa)2+(yb)2=r2上，切線方程為(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2；27 .若弦長為l,弦心距為d,半徑為r,則()2+d2=r2.28.判斷兩圓的位置關(guān)系幾何法兩圓的位置關(guān)系|

10、CiC2|>ri+2?相離|CiC2|=門+r2?外切|ri-2|<|CiC2|<ri+r2?相交|CiC2|=|cr2|?內(nèi)切|CiC2|<|ri-r2|?內(nèi)含29.過兩圓交點(diǎn)的直線方程設(shè)圓Ci:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.一得(DiD2)x+(Ei-E2)y+FiF2=0.若圓Ci與C2相交，則為過兩圓交點(diǎn)的弦所在的直線方程.求兩圓的公共弦所在直線方程，就是使表示圓的兩個(gè)方程相減即可得到.31 .空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)P(x,y,z)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)二尸xOy平間關(guān)于yOz平面關(guān)于xOz平面關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,-y,z)32 .在空間直角坐標(biāo)系中，由兩點(diǎn)Pi(xi,yi,zi),P2(x2,y2,z2)間的距離公式|PlP2|-7x2-xi2+y2-yi2+z2-zi2.到定點(diǎn)(a,b,c)距離等于定長R的點(diǎn)的