2018年上海虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、2018年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1. （4分）函數(shù)f（x）=lg（2-x）定義域?yàn)?2. （4分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（T）+f（0）+f（1）=.3. （4分）首項(xiàng)和公比均為1的等比數(shù)列an,&是它的前n項(xiàng)和，則2limSn=4. （4分）在ABC中，/A,/B,/C所對(duì)的邊分別是a,b,c,如果a：b:c=2:3:4,那么cosC=.5. （4分）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,bCR）滿足|z|=1,則a?b的范圍是.6. （4分）某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三門

2、參加等級(jí)考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是.7. （5分）已知M、N是三棱錐P-ABC的棱AB、PC的中點(diǎn)，記三棱錐P-ABC的體積為Vi,三棱錐N-MBC的體積為V2,則8. （5分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線號(hào)-/二1的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=12xa的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為.9. （5分）已知y=sinx和y=cosx的圖象的連續(xù)的三個(gè)交點(diǎn)A、B、C構(gòu)成三角形ABC則ABC的面積等于.2210. （5分）設(shè)橢圓二1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過(guò)焦點(diǎn)Fi的直線交橢j；0圓于M、N兩點(diǎn)，若MNF2的內(nèi)切圓

3、的面積為冗，則£八1m口=.11. （5分）在4ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)列Pn（nCN）在線段AC上，且潴足晤什錄下+.蹋，若a二1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=.12. （5分）設(shè)f（x）=x2+2a?x+b?2x,其中a,bCN,xR,如果函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（f（x）都有零點(diǎn)且它們的零點(diǎn)完全相同，則（a,b）為.二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13. （5分）異面直線a和b所成的角為9,則8的范圍是（）A.（0,工）B.（0,兀）C.（0,D.（0,句2214. （5分）命題：若x2=1,則x=1”的逆否命題為（）A.若x豐1,則xw1或x半-1B.若x

4、=1,則x=1或x=-1C.若xw1,貝Uxw1且xw-1D,若x=1,貝Ux=1且x=-115. （5分）已知函數(shù)f（z）=j爐乂10,貝Jf（1）+f（2）+f（3）+-+f（2017）f（x-2）x>0=（）A.2017B,1513CD2216. （5分）已知RtAABC中，/A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面內(nèi)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N,滿足|AK|=2,而乖,則圓|的取值范圍是（）A.鳳尾aB.4,6C"''D二,二；=【一、,_/：L-'三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17. （14分）如圖，

5、在三棱錐PABC中，PA=AC=PC=AB=aPALAB,AC±AB,M為AC的中點(diǎn).（1）求證：PM，平面ABC;（2）求直線PB和平面ABC所成的角的大小.18. （14分）已知函數(shù)儀氐）二行8號(hào)（?-3力+二口號(hào)（2n-3x）,其中xCR,>0,-U且此函數(shù)的最小正周期等于冗.（1）求的值，并寫出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)；（2）求此函數(shù)在kE0,二；的最大值和最小值.19. （14分）如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為2km,寬為1km的矩形，矩形兩邊ARAD緊靠?jī)蓷l互相垂直的路上，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)C修一條直線的路l,這條路不能穿過(guò)古建筑群，且與另兩條路交于點(diǎn)P和Q.（

6、1）設(shè)AQ=x（km）,將4APQ的面積S表示為x的函數(shù)；（2）求4APQ的面積S（km）的最小值.20. (16分)已知平面內(nèi)的定點(diǎn)F到定直線l的距離等于p(p>0),動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F且與直線l相切，記圓心M的軌跡為曲線C,在曲線C上任取一點(diǎn)A,過(guò)A作l的垂線，垂足為E.(1)求曲線C的軌跡方程;(2)記點(diǎn)A到直線l的距離為d,且至<4<維，求/EAF的取值范圍；43(3)判斷/EAF的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.21. (18分)已知無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S,a1=4.(1)如果a2=2,且對(duì)于一切正整數(shù)n,均有求&；(2)如果對(duì)于

7、一切正整數(shù)n,均有an?an+尸&,求Sn；(3)如果對(duì)于一切正整數(shù)n,均有an+an+1=3S,證明：a3n-1能被8整除.2018年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析.填空題(本大題共12題,1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1. (4分)函數(shù)f(x)=lg(2-x)定義域?yàn)?-00,2)【解答】解：要使函數(shù)有意義，可得2-x>0,即x<2.函數(shù)f(x)=lg(2-x)定義域?yàn)椋?-8,2).故答案為：(-8,2).2. (4分)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(-1)+f(0)+f(1)=0.【解答】解：:f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(

8、-1)=-f(1),f(0)=0,即f(T)+f(0)+f(1)=0,故答案為：0.3. (4分)首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列an,&是它的前n項(xiàng)和，則limSn=1.【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列4的首項(xiàng)和公比均為之,n,2":2'1則其前n項(xiàng)和S=；=1-(77)一12則.=1;L8故答案為：1.4. （4分）在ABC中，/A,/B,/C所對(duì)的邊分別是a,b,c,如果a：b:c=2:3:4,那么cosC=-.&一【解答】解：因?yàn)閍：b:c=2：3:4,所以設(shè)a=2k,b=3k,c=4k,222222則根據(jù)余弦定理得：cosC=+bc=4k+9k-16k=J_

9、2ab12k24故答案為：-45. (4分)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bCR)滿足|z|=1,貝Ua?b的范圍是_L工22【解答】解：z=a+bi(a,bCR),且|z|二1,即a2+b2=1,令a=cosQb=sinab=cos0?sin卷曳“28，abeA,4.22故答案為：6. （4分）某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三門參加等級(jí)考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是18.【解答】解：根據(jù)題意，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，分2種情況討論：、從物

10、理、化學(xué)、生物這三門中選1門，政治、歷史、地理這三門選2門，有C31C2=9種選法，、從物理、化學(xué)、生物這三門中選2門，政治、歷史、地理這三門選1門，有C31C2=9種選法，則一共有9+9=18種選法；故答案為：187. （5分）已知M、N是三棱錐P-ABC的棱AB、PC的中點(diǎn)，記三棱錐P-ABC的體積為Vi,三棱錐N-MBC的體積為V2,則等于-1.【解答】解：如圖，設(shè)三棱錐P-ABC的底面積為S,高為h,.M是AB的中點(diǎn)，以口”以-5,.N是PC的中點(diǎn)，三棱錐N-MBC的高為上小2則=Sh，丫24X春SX3h+sh，力小4故答案為：工.42c8. （5分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線彳的一個(gè)

11、頂點(diǎn)與拋物線y2=12xa的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為產(chǎn)士匹_.3【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為（3,0）,2日若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，a則雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（土3,0）,則有a2=9,2則雙曲線的方程為：*-y2=i,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則其漸近線方程為尸土方故答案為：:.9. （5分）已知y=sinx和y=cosx的圖象的連續(xù)的三個(gè)交點(diǎn)A、B、C構(gòu)成三角形ABC貝ABC的面積等于返2L.【解答】解：由題意正余弦函數(shù)的圖象可得：y=sinx和y=cosx的圖象的連續(xù)的三個(gè)交點(diǎn)A、B、C構(gòu)成三角形ABC是等腰三角形，.底邊長(zhǎng)為一個(gè)周期T

12、=2兀，高為ABcABC的面積2元義V2=V2兀,2故答案為：迎冗.2210. (5分)設(shè)橢圓工+?二1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過(guò)焦點(diǎn)Fi的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若MNF2的內(nèi)切圓的面積為冗，則$八1nm=4朋卜222【解答】解：橢圓二十一的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,a=2,43過(guò)焦點(diǎn)Fi的直線交橢圓于M(xi,yi),N(X2,v2兩點(diǎn)，MNF2的內(nèi)切圓的面積為乃.MNF2內(nèi)切圓半徑r=i.MNF2面積Sxix(MN+MF2+MF2)=2a=4,故答案為：411. (5分)在4ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)列Pn(nCN)在線段AC上，且潴足晤二“1晤+.踮，若ai=i,則數(shù)列an的通

13、項(xiàng)公式an=_)nT一【解答】解：如圖所示， D是BC的中點(diǎn)，.二“二晤+麗二%+力前，又隔二“屈，降二-I聘+、踣， Ff+B斤/十印+an(PnB+BC)，-w化為：BA=(i-an-an+i)而計(jì)BC,-w 點(diǎn)列Pn(neN*)在線段AC上，i-an-an+i+'T_aJl=i,-w化為：an+i=-又ai=i,-w則數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為i,公比為-看.12. (5分)設(shè)f(x)=x2+2a?x+b?2x,其中a,bCN,xCR,如果函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(f(x)都有零點(diǎn)且它們的零點(diǎn)完全相同，則(a,b)為(0,0)或(1,0).【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f(x

14、)的零點(diǎn)為方程x2+2a?x+b?2x=0的根，如果函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(f(x)的零點(diǎn)完全相同，則有f(x)=x,即x2+2a?x+b?2x=x,方程x2+2a?x+b?2x=x的根就是函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(f(x)的零點(diǎn)，則有，工+2ax+b-2=0解可得x=0,L1+b2x=x即x2+2a?x+b?2x=0的1個(gè)根為x=0,分析可得b=0,則f(x)=x2+2a?x,解可得xi=0或儂=-2a,f(f(x)=(x2+2a?x)2+2a(x2+2a?x),若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(f(x)的零點(diǎn)完全相同，分析可得a=0或a=1,則(a,b)為(0,0)或(1,0)；故

15、答案為(0,0)或(1,0).二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)13. (5分)異面直線a和b所成的角為9,則8的范圍是()A.(0,B.(0,兀)C.3D.(0,句【解答】解：二.異面直線a和b所成的角為9,8的范圍是(0,弓.故選：C.14. (5分)命題：若x2=1,則x=1”的逆否命題為()A.若x豐1,則xw1或x半-1B.若x=1,則x=1或x=-1C.若xw1,貝Uxw1且xw-1D,若x=1,貝Ux=1且x=-1【解答】解：命題：若x2=1,則x=1”的逆否命題為若XW1,則X2W1”；即若XW1,則XW1且XW-1”.故選：C.f15. (5分)已知函數(shù)f(z)=

16、j爐x4°,貝Uf(1)+f(2)+f(3)+-+f(2017)fCi-2)x>0=()A.2017B.1513CD22【解答】解：:函數(shù)f(工)二I2'工4。，f(x-2)篡>0.f(1)+f(2)+f(3)+-+f(2017)=1009Xf(-1)+1008Xf(0)二1009X21+1008X20三.2故選：D.16. (5分)已知RtAABC中，/A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面內(nèi)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N,滿足后|=2,誦乖,則|麗|的取值范圍是()A.m，圾B,4,6C.-_D【解答】解：以AB,AC為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，則B(4,0)

17、,C(0,6),.|!5|=2,aM的軌跡是以A為圓心，以2為半徑的圓.;MN二NC,，N是MC的中點(diǎn).設(shè)M(2cos%2sin源貝UN(cos%sin+3),BN=(cosa4,sin+3),|BH|2=(cos0r4)2+(sin+3)2=6sin垢8cos+26=10sin(a()+26,當(dāng)sin（a-?。?-1時(shí)，|BN|取得最小值"-I麗26=4,當(dāng)sin（a-?。?1時(shí)，|面5|取得最大值410+26=6.故選B.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.（14分）如圖，在三棱錐PABC中，PA=AC=PC=AB=aPALAB,AC±

18、;AB,M為AC的中點(diǎn).（1）求證：PM，平面ABC;（2）求直線PB和平面ABC所成的角的大小.【解答】證明：（1）在三棱錐P-ABC中，PA=AC=PC=AB=aPA!AB,AC±AB,M為AC的中點(diǎn).PMXAC,AB,平面PACPMXAB,vABAAC=APM，平面ABC.解：（2）連結(jié)BM,PM,平面ABC,PBM是直線PB和平面ABC所成的角,pa=AC=PC=AB=aPA!AB,AC±AB,M為AC的中點(diǎn),PM=/F)2除,BM=JaS+AM2=Ja?+住:2=-a,旦.tan/PBM&=,BM逅5'va一/PBM=arctan-z5直線PB和平

19、面ABC所成的角為arctan.518.(14分)已知函數(shù)fG)=Toccis(-3x)+ccis(2n-3x),其中xCR,>0,-w且此函數(shù)的最小正周期等于冗.（1）求的值，并寫出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)；（2）求此函數(shù)在kE0,的最大值和最小值.【解答】解：函數(shù)f（K）二68號(hào)（：一3x）+ccis（2n-3x）=bsin必+cosx=2sin(1) .函數(shù)的最小正周期等于九.即"二冗33=2可得f(x)=2sin(2，6),由2kng-42x2kn，kCZ得：knT&x&kn弋-故得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)vf(x)=2sin(2x當(dāng)xE0,-y,吟)噌尋

20、當(dāng)2xJ=工時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值為2.三2當(dāng)2x|nJ7r時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為-1.662km,寬為19. (14分)如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為1km的矩形，矩形兩邊ARAD緊靠?jī)蓷l互相垂直的路上，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)C修一條直線的路1,這條路不能穿過(guò)古建筑群，且與另兩條路交于點(diǎn)P和Q.(1)設(shè)AQ=x(km),將4APQ的面積S表示為x的函數(shù);(2)求4APQ的面積S(km)的最小值.【解答】解：(1)設(shè)AQ=x,則由迎二虹二虹得:z=-_BCBPAP-ABAP-2即AP士K-l故S=7APAQ=TTp(x>1)；(2)由(1)得：S，上冬(x>1);G-

21、1J2當(dāng)xC(1,2)時(shí)，S'<0,當(dāng)xC(2,+oo)時(shí)，S>0,故x=2時(shí)，Smin=4.20. (16分)已知平面內(nèi)的定點(diǎn)F到定直線1的距離等于p(p>0),動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F且與直線l相切，記圓心M的軌跡為曲線C,在曲線C上任取一點(diǎn)A,過(guò)A作l的垂線，垂足為E.(1)求曲線C的軌跡方程；(2)記點(diǎn)A到直線l的距離為d,且求/EAF的取值范圍；43(3)判斷/EAF的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【解答】解：(1)如圖，以FK的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,FK所在的直線為x軸，過(guò)。的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，即有F(£,0),直線1：x=-2,22動(dòng)圓

22、M過(guò)點(diǎn)F且與直線1相切，可得|AE=|AF|,由拋物線的定義可得曲線C的軌跡為F為焦點(diǎn)、直線1為準(zhǔn)線的拋物線,可得方程為y2=2px；(2)點(diǎn)A到直線1的距離為d,可得|AE|=|AF尸d,且迎4d生，43設(shè)A(xo,yo),可得yo2=2pxo,即有d=xo+2，則x0=d-史，22即有|EF2=p2+yo2=p2+2p(d-9=2pd,cos/EAF=|施產(chǎn)+|河二|ef12|AE|-|AF|可得-<cossZEAF<=,34可得arccos<九-arccos,43則/EAF的取值范圍是arccoSs冗-arccos4-;43(3) /EAF的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)

23、個(gè)數(shù)為設(shè)A(xo,yo),可得yo2=2pxo,當(dāng)A與O重合時(shí)，顯然一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A不與O重合，由/EAF的平分線交x軸于M,連接EM,可得/AMF=/MAF,即有|MF|=|AF尸d,四邊形AEMF為菱形，EF垂直平分AM,可得/AMF+ZEFM=90,tan/AMF=cot/EFM=J?J_=_JL_|EK|yol可設(shè)yo>0,則直線AM的方程為y-yo=-(x-X0),貝Uyoy-yo2=px-pxo,化為yoy=px+pxo,代入拋物線的方程y2=2px,消去x可得，y2-2y0y+2px0=0,即為(y-y0)2=0,可得y=yo,x=xo,即/EAF的平分線所在的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.21. (18分)已知無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正