有理數(shù)知識(shí)總結(jié)完整版

1、有理數(shù)知識(shí)總結(jié)概念、運(yùn)用：在數(shù)軸上表示數(shù)、利用數(shù)軸比較數(shù)的大10有關(guān)概念有理數(shù)相反數(shù)概念絕對(duì)值J舊 ，一 、數(shù)的大小棗用：幾何意義、比較、近似數(shù)；精確度'加、減、乘、除的運(yùn)算法則 有理數(shù)的運(yùn)算混合運(yùn)算；運(yùn)算順序乘方;意義；科學(xué)計(jì)數(shù)法1 .相反意義的量向東和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，買進(jìn)和賣出。2 .正數(shù)和負(fù)數(shù)像+ 1 , +12, 1.3 , 258等大于0的數(shù)（“ + ”通常不寫）叫正數(shù)。23像-5 , -2.8，-等在正數(shù)刖面加一 （讀負(fù)）的數(shù)叫負(fù)數(shù)。4【注】0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。3 . 有理數(shù)（1）整數(shù)：正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分

2、數(shù)。有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 。（2）有理數(shù)分類按正負(fù)分類正有理數(shù)Y負(fù)有理數(shù)正整數(shù)；正分?jǐn)?shù) 負(fù)整數(shù) 1負(fù)分?jǐn)?shù)1）按有理數(shù)的定義分類2）廠 C正整數(shù)整數(shù),有理數(shù)J 負(fù)整數(shù)有理數(shù)（正分?jǐn)?shù)0負(fù)分?jǐn)?shù)【注】有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)也叫做分?jǐn)?shù)。4 .數(shù)軸（1）規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸?！咀ⅰ?）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，缺一不可。2）數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理數(shù)。（2）在數(shù)軸上比較有理數(shù)的大小1）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2）由正、負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大

3、于一切負(fù)數(shù)。5 .相反數(shù)(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)，如-5與5互為相反數(shù)。(2)從數(shù)軸上看，位于原點(diǎn)兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。(幾何意義)(3) 0的相反數(shù)是0。也只有0的相反數(shù)是它的本身。(4)相反數(shù)是表示兩個(gè)數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨(dú)存在。(5)數(shù)a的相反數(shù)是一a。(6)多重符號(hào)化簡(jiǎn)多重符號(hào)化簡(jiǎn)的結(jié)果是由”號(hào)的個(gè)數(shù)決定的。如果”號(hào)是奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù)； 如果是偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正。可簡(jiǎn)寫為“奇負(fù)偶正”。6 . 絕對(duì)值(1)在數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值。(2) 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零

4、.a,a 0a =<0, a = 0-a,a < 0(3)絕對(duì)值的主要性質(zhì)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即a>0,因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，絕對(duì)值最小的數(shù)是零.(4)兩個(gè)相反數(shù)的絕對(duì)值相等。(5)運(yùn)用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大小兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小 .(6)比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的方法步驟是：1)先分別求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；2)比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大?。?)根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”作出正確的判斷.7.有理數(shù)的加法(1)有理數(shù)加法法則1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。3)互為相反數(shù)的

5、兩個(gè)數(shù)相加得零。4) 一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)。(2)有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律：a+b = b+a加法結(jié)合律：(a+b)+ c=a+( b+c)8 .有理數(shù)的減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a-b=a+(- b)9 .有理數(shù)的加減混合運(yùn)算(1)省略加號(hào)和的形式： 在一個(gè)和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫。例如：把-8+ (+10) + (-6) + (-4)寫成省略加號(hào)和的形式為 -8+10-6-4 。讀作“負(fù)8,正10,負(fù)6,負(fù)4的和”也可讀作“負(fù) 8加10減6減4。(2)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用加法運(yùn)算律。10 .有理數(shù)的乘法(1)有理數(shù)的乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)

6、，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與零相乘都得零。(2)幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的正負(fù)號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正。幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積就為零。(3)乘法運(yùn)算律乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab) c=a( bc)乘法對(duì)加法的分配律：a( b+c尸ab+ac11 .有理數(shù)的除法(1)倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)?！咀ⅰ?沒有倒數(shù)。(2)有理數(shù)除法法則1:除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?！咀ⅰ?不能做除數(shù)。，1 八 C、a - b = a (b = 0)b(3)有理數(shù)的除法法則 2:兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任

7、何一個(gè)不等于的數(shù)，都得零。12 .有理數(shù)的乘方(1)求幾個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方。a a aa ' ann個(gè)(2)乘方的結(jié)果叫做哥，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。(3)有理數(shù)乘方法則：正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)，0的任何非0次哥都是零。13 .科學(xué)記數(shù)法(1) 一般的，10的n次哥，在1的后面有n的0。(2)一個(gè)大于0的數(shù)就記成a父10n的形式。其中1 £a c10,n是正整數(shù)。像這樣的記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。14 .有理數(shù)的混合運(yùn)算(1)先算乘方，再算乘除，最后算加減。(2)同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行。(3)如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的

8、，再算中括號(hào)里的，然后算大括號(hào)里的。15.近似數(shù)和有效數(shù)字(1)準(zhǔn)確數(shù)：完全符合實(shí)際的數(shù)。(2)近似數(shù)：和準(zhǔn)確數(shù)非常接近的數(shù)。近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)接近的程度叫做精確度。(3) 一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第個(gè)不是0的數(shù)字起到精確到的位數(shù)止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。(4)近似數(shù)的精確度有兩種形式：1)精確到哪一位，2)保留幾個(gè)有效數(shù)字。【例題精講】-、有理數(shù)“ 0”的作用:作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)、是整數(shù)表小沒有3個(gè)蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表小某種狀態(tài)0 C表小冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)、數(shù)軸與數(shù)的關(guān)系例

9、1.下列語句中正確的是()A數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù)B.數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示分?jǐn)?shù)C.數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示有理數(shù)D.所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來三、相反數(shù)、倒數(shù)例2、已知a、b互為倒數(shù)，d互為相反數(shù)，e<0且|e|=1,那么(-ab)2 0 09-(c+d)20°2e 前值為例3、知三個(gè)互不相等的有理數(shù)，即可以表示為1, a+b, a的形式，又可表示為0,-,ab的形式，且x的絕對(duì)值為2,求(a+b)2008 +(ab)2009 _(a+b _ab)+x2的值四、絕對(duì)值 例 4、若 a 3 +|2b+5|=0,計(jì)算 2a-b 的值.例 5、若 a <b,化簡(jiǎn) b a +1

10、 - a -b-5 =.例6、a, b在數(shù)軸上的位置如圖_1>a -I 0b（1）化簡(jiǎn)：|a+b| = |b1| =。（2）比較大小：a +10； a-b a+b。【利用幾何意義求解】例7、代數(shù)式| x + 2 | + |x 3|的最小值為。五、有理數(shù)的運(yùn)算例 8、（1） _3 _32 +（-3）2 1x3； 11，|（二）1；32 ,3|- 4 . 5六、科學(xué)記數(shù)法一近似數(shù)及有效數(shù)字例9、用科學(xué)記數(shù)數(shù)表示：1305000000=; - 1020=.例10、水星和太陽的平均距離約為57900000 km用科學(xué)記數(shù)法表示為 .例11、近似數(shù)3.5萬精確到 位，有 個(gè)有效數(shù)字.例12、近似數(shù)

11、0.4062精確到 位，有 個(gè)有效數(shù)字.例13、3.40 30 X 105保留兩個(gè)有效數(shù)字是 ,精確到千位是 .、選擇題（每小題3分，共30分）1.某糧店出售種品牌的面粉，袋上分別標(biāo)有質(zhì)量為（25 士 0.1）kg、 （25 ±0.2） kg、（25±03）kg的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差（A. 0.8kgB. 0.6kgC. 0.5kgD . 0.4kg2、有理數(shù)a等于它的倒數(shù)，則a2004是（A.最大的負(fù)數(shù)B .最小的非負(fù)數(shù)正整數(shù)C .絕對(duì)值最小的整數(shù)D .最小的3、若 ab =0 ,則巴a2的取值不可能是（ 何A. 0B.1C.2D.-24、當(dāng) x =

12、 23時(shí)，ax +bx7的值為9,則當(dāng)3X = 2時(shí)，ax +bx-7的值是(A 、一 23B、-17C、23D、175、如果有 2005 名學(xué)生排成一列，按 1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1的規(guī)律報(bào)數(shù)，那么第2005名學(xué)生所報(bào)的數(shù)是（6、A、1若 |a|二4 , |b|=2 ,B、2且 |a+b|=a+b,C、3那么a-b的值只能是（D、4).7、8、9、A.2B. -2C. 6D.2 或 6x是任意有理數(shù)，則A.大于零 B.觀察這一列數(shù):A.45若工表x 1A.3個(gè)2|x|+x 的伯：(354 ? 7B.竺19).C. 小于零 D.不小于零-,17, -33,依此規(guī)律下一

13、個(gè)數(shù)是（101316C.6521D.6519個(gè)整數(shù)，則整數(shù)x可取值共有（）.B.4 個(gè) C.5D.610、1-2+3-4+ -14+15 0-2 4 -6 8 -28 -30二、填空題（每小題4分，共32分）11.請(qǐng)將3, 4, 6, 10這四個(gè)數(shù)用加減乘除四則運(yùn)算以及括號(hào)組成結(jié)果為 24的算式（每個(gè)數(shù)有且只能用一次）12 . （ 3）2013X（ _1 嚴(yán)4=；32 一 2x13 .右|x-y+3|+ (x + y - 2013)=0,則x - y14 .北京到蘭州的鐵路之間有25個(gè)站臺(tái)（含北京和蘭州），設(shè)制 種票才能滿足票務(wù)需求.15 .設(shè)a,b,c為有理數(shù)，則由1+ b + *構(gòu)成的各種

14、數(shù)值是 同 bIc16 .設(shè)有理數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示, | b-a | + | a+c | + | c-b? I =；17 .根據(jù)規(guī)律填上合適的數(shù)：1 , 8, 27, 64, ,216 18、讀一讀：式子“ 1+2+3+4+5+-+100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫也不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們可將“1+2+3+4+5+ 100+100”表示為£ n ,這里“ 是求和符號(hào)，例如“ 1+3+5+7+9+-+99”（即從1 n 150開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為工（2n-1）;又如10n 1“ 13 +23 +33 +4

15、3 +53 +63 +73 +83 +93 +103 ”可表示為工n3 ,同學(xué)們，通過以上 n 1材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問題：（1） 2+4+6+8+10+- +100 （即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表小為;5x /2（2）計(jì)算：乙（n -1）= （填寫最后的計(jì)算結(jié)果）。n 1解答題（共38分）19、計(jì)算：23_ _4_2 ；_2.75 十匚 72 ； （4 分）5<3J <3J、，一 f 24 ）,20、計(jì)算：9今 ix 50（4 分）:25）21、已知 b - 1 + a - 2 = 0,1111求 T T r-；TTTTab a 1 b 1 a 2 b 2 a 2006 b 2006（7分）22、（7分）閱讀并解答問題求1十22+23 +.十22008的值，解：可令S= 1 + 22+23十十22008 ,則 2S= 22 + 23 + 24 + + 22009 ,因止匕 2S-S= 2 2009 -1 ,所以 1 + 22 + 23 + + 22008 = 22009 1仿照以上