完全四點形和完全四線形調(diào)和性質(zhì)應用例析

1、完全四點形和完全四線形調(diào)和性質(zhì)應用例析作者： 何璇 摘 要本文對高等幾何中的完全四點(線)形的調(diào)和性質(zhì)進行了歸納整理，主要研究內(nèi)容是通過運用完全四點形和完全四線形調(diào)和性質(zhì)解決一些幾何證明、幾何作圖、研究二次曲線的一些性質(zhì)等幾何問題，來體現(xiàn)高等幾何的一些思想觀點和方法。從而能夠用現(xiàn)代幾何學的觀點處理初等幾何問題,使解題更簡潔，拓寬解題思路 ,提高解題能力。關鍵詞：完全四點（線）形；調(diào)和性質(zhì)；高等幾何；初等幾何AbstractThe paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadri

2、lateral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods

3、in higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Hig

4、her Geometry; Elementary Geometry1.前言射影幾何對初等幾何教學的指導，不僅表現(xiàn)在提高數(shù)學思想與觀點上，還直接表現(xiàn)于對初等幾何圖形的射影性質(zhì)的研究中(參見文911)。由射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何三者的關系，我們知道，歐氏幾何為仿射幾何及射影幾何的子幾何，在其中可以討論仿射的對象（仿射不變性質(zhì)和仿射不變量）和射影對象（射影不變性質(zhì)與射影不變量），因而可以用射影幾何去指導與研究初等幾何中的一些問題。而完全四點形和完全四線形的調(diào)和性是射影幾何的重要不變性，有關平面圖形與二次曲線的許多重要概念和性質(zhì)都與此密切相關。它們在射影幾何中占有重要地位。不僅如此，它們在初等幾何

5、中也有很廣泛的應用(參見文810)。2.完全四點（線）形概念簡述 完全四點形中有諸多的調(diào)和共軛線束和調(diào)和共軛點列,如圖1,完全四點形中,為對邊三點形,、為對邊三點形各邊與完全四點形各組對邊的交點.則調(diào)和共軛線束是以、為中心的三組線束。即,。調(diào)和共軛點列在完全四點形的六條邊、及對邊三點形的三條邊、上，共十二組調(diào)和共軛關系(參見文1)。根據(jù)完全四線形與完全四點形的對偶關系,仔細觀察圖1,可以發(fā)現(xiàn),該圖中蘊含著完全四線形,為完全四線形的對頂三線形,由對偶原則可知,在、三條邊上各有一組調(diào)和共軛點列：,以九個頂點、為中心,各有一組調(diào)和共軛線束。正因為完全四點形與完全四線形可以通過一張圖形體現(xiàn),故而下面的

6、討論可僅就完全四點形的點線進行。利用上述性質(zhì)我們可以較為簡單明了地解決許多初等幾何的問題，以使得初幾與高幾的學習能夠融會貫通，并從中體現(xiàn)高幾對初幾的指導作用。3.應用舉例3.1幾何作圖問題3.1.1第四調(diào)和點的作法 我們知道，一直線上的點偶與成為調(diào)和共軛的充要條件是：“和是一個完全四點形的對邊點，和是通過第三個對邊點的一對對邊與的交點”（參見文1）。為此，可通過完全四點形的作圖來作第四調(diào)和點。利用完全四點形和完全四線形的調(diào)和性質(zhì)在初等幾何作圖中的一些具體應用如下： 例1、已知、三點共線于，在直線上求作點關于、的調(diào)和共軛點，有以下幾種方法。限于篇幅，只給出作法，具體作圖過程及證明從略。利用完全四

7、點形和完全四線形的調(diào)和性質(zhì)過點任作一直線，在其上任取異于的兩點、，分別連接、；Q、交于點，連接、；、交于點，再連接、；、交于點，則點即為所求。利用“線段的中點與其所在直線上的無窮遠點成調(diào)和共軛”過點任作一直線，在其上取兩點、分別位于點的兩側(cè)，并且、到的距離相等。連與、與相交于點，過點作直線的平行線交、所在直線于點，則點即為所求（參見文2）。利用“角的內(nèi)、外角平分線關于角的兩邊成調(diào)和共軛”過點任作一條不與垂直的直線，作線段的垂直平分線與直線相交于點，過不共線三點、作一圓，交直線于另一點，再作的外角平分線與、所在直線相交于，則點即為所求。利用二次曲線極點、極線的作圖法過、兩點任作一圓，作出點關于此

8、圓的極線，與、所在直線相交于，則點即為所求。利用調(diào)和共軛的初等幾何作圖（）以為直徑作圓，過作的垂線交圓于，過作圓切線交于，則點為所求。3.1.2 初等幾何作圖利用完全四點(線)形的調(diào)和性質(zhì)可以使我們由純粹幾何方法得到調(diào)和共軛點列或調(diào)和共軛線束，即僅用直尺可作出已知點列上的三點的第四調(diào)和點或已知線束中三直線的第四調(diào)和直線的方法，從而實現(xiàn)用高等幾何方法方便簡潔地解決歐氏平面作圖問題，對初等幾何作圖有重要的指導意義。具體應用如下：例2、(1)已知線段及其中點，是直線外一點，求作：過點且平行于的直線。作法：如圖2連結(jié)并延長，在其上取一點； 連結(jié)交于； 連結(jié)交于； 連結(jié)，則直線為所求作直線。(2)已知線

9、段，且平行，求作AB的中點。 作法：如圖2在上任取兩點； 連結(jié)交于； 連結(jié)交于； 連結(jié)交于，則為所求作的點。(3)已知是的內(nèi)角平分線，求作其外角平分線。 作法：如圖3 用不過的任一直線截分別于； 在上任取一點； 連結(jié)交于； 連結(jié)交于； 連結(jié)交于； 連結(jié)，它即為所求作的直線。(4)已知是的外角平分線，求作其內(nèi)角平分線。 作法：如圖3 用不過的任一直線截分別于 過任作一直線交分別于，； 連結(jié)交于； 連結(jié)，它即為所求作的直線。3.2幾何證明問題3.2.1解決中點、平行問題 已知共線四點、, 如果按此順序的交比, 那么就稱、 關于、 成調(diào)和共軛, 或稱、成調(diào)和點列。而線段的中點就是這直線上無窮遠點關于

10、線段兩端點的調(diào)和共軛點（參見文2）。 例3、已知、是共線五點，且，如果、兩點調(diào)和分割線段，則是中點。 證明：因為、調(diào)和分割線段，故有：，即，把所有線段都以點作原點表達，得,乘出，移項，分解因子得：,把代入此式得：,整理之：（*）。假設，即，或，故有，所以：，與重合，此與、調(diào)和分割矛盾，故，從（*）式便知：，所以平分線段。 例4 四邊形的對邊與交于，與交于，直線平行于四邊形的對角線，求證：另一對角線平分線段。（參見文4）證明：如圖4所示，設平行線與交于，與交于，視四邊形為完全四點形(或四線形)，則為完全四點形的對邊三點形的一條邊，易得，即故P為線段MN的中點，從而對角線平分線段。由此題的證明過程

11、不難證明其逆命題成立。逆命題：四邊形的對邊與交于，與交于，對角線平分線段，求證：直線平行于四邊形的對角線。 由以上說明，這一類初等幾何問題通過構(gòu)造四邊形，進而把問題轉(zhuǎn)化為完全四點(線)形的問題，然后用其調(diào)和性極易得到解決。3.2.2線共點問題 例5、設、是完全四點形的三個對頂點，分別交、 于、，證明：、共點。證明：如圖5，在完全四點形中，根據(jù)定理1.12的推論1(參見文2)知，邊上的四個點、是一組調(diào)和點，即。又在完全四點形中，設與交于，交于，據(jù)定理1.12的推論1（參見文1）知，邊上的四點、是一組調(diào)和點，即。由于,故,所以、共點。該問題是利用完全四點形調(diào)和性質(zhì)解決三線共點問題，還可以解決諸如初

12、等幾何中的證明三角形三中線共點，如：已知：中，分別為的中線，求證共點。3.2.3點共線問題 用初等幾何方法證明“梯形兩底中點，兩條對角線交點，兩腰（所在直線）交點這四點共線”不算太容易，而用射影幾何的理論作指導來證明就很簡單了。 例6、 已知:是梯形，、是兩底、之中點，是對角線與之交點，是兩腰、延長線之交點。(圖6)，求證:四點、共線。 證明:(試想，只要設法證明與、之交點恰恰就是線段、之中點便可)連結(jié)，設直線交于，交于。以F為頂點的一組三角形有:，所以， (1)又以為頂點的一組三角形有：,所以， (2) （1）、（2）相乘得：,于是得：,代回（1）又得出：。所以，是之中點， 是之中點，但線段

13、中中點唯一，所以,即、四點共線。命題得證。 若以射影幾何的理論作指導，此命題的證明就很簡單了: (證法一):用二次曲線的極點與極線的理論作指導。(圖7)把兩直線與看作一條退化二階曲線，則交點是奇異點。因梯形兩底與平行，故設它們交于無窮遠點，、既是線段、之中點，則、就是的共扼點，于是直線是點的極線，必然通過奇異點，所以、三點共線。 同樣，又把直線與看作另一條退化二階曲線，則交點為奇異點，是的極線，必然通過奇異點，所以、三點共線。于是四點、共線。 (證法二):用完全四線形的調(diào)和性質(zhì)作指導。(圖7)設交于、交于，今證、是、之中點。事實上，在由四直線、構(gòu)成的一個完全四線形中，、，是它的三條對頂線。由四

14、線形的調(diào)和性質(zhì)有:,但,所以是無窮遠點，而無窮遠點的調(diào)和共扼點是線段中點，所以、是線段、之中點，命題得證。 高等幾何中的射影幾何是專門研究射影命題(即，只與點線接合性有關的幾何命題)的，它有其自身的一整套理論系統(tǒng)和方法，得出了一大批只與點線接合性有關的很好的結(jié)論。而初等幾何中證明點共線、線共點的間題卻是一個難點，因此，初等幾何中涉及點共線、線共點的一些命題，若用高等幾何作指導，證明可來得較為簡單和方便。這也就是為什么師范數(shù)學系學生(未來的初中數(shù)學教師)為什么要把高等幾何作為必修的專業(yè)課的理由之一。 例7、已知如圖8，、為三角形三邊上的點，；連接、并延長分別交、于、，連接交、于、，為中點。求證：

15、、三點共線。證明：由Menelaus定理可知，要證、共線，即證 (*) (參見文4)將、看作完全四點形的四個頂點，可知，即,也即, 又因，故，可見，（*）式成立，所以、三點共線。 由該題可得出完全四點形調(diào)和性質(zhì)的一個結(jié)論：完全四點形六條邊中的三條邊(不通過同一頂點的且分屬三組對邊中的一條)與對邊三點形三邊所得的交點共線。(參見文5)3.2.4平分角度問題例8、 在四邊形中對角線平分。在上取一點，與相交于，延長交于，求證。（參見文6）證明：如圖9，過作的垂線與交于,交于則。連交于，交于。 在完全四點形中，根據(jù)調(diào)和性質(zhì)，故，知和重合。又，且，知與是的內(nèi)外角平分線，所以 由該例題不難看出，利用完全四

16、點（線）形的調(diào)和性解決某些初等幾何平分角問題時，主要在于完成兩個步驟，一是構(gòu)造四邊形，得四直線調(diào)和分割，二是設法建立交錯二直線相互垂直關系，由此即可證明平分角結(jié)論。3.2.5線段相等問題例9 如果三角形中一個角的平分線過對邊的中點，那么這個三角形是等腰三角形。如圖10，已知在中，平分，且點為線段的中點，求證：為等腰三角形。證明：有一角的兩邊與這個角的內(nèi)外角平分線調(diào)和共軛，如圖10，可作出的外角平分線，可知。在完全四點形中有，因為點為線段的中點，可知單比，所以單比，故點為無窮遠點，即直線與交于無窮遠點，從而，所以，而點為線段的中點，所以為等腰三角形。3.2.6判斷兩直線垂直 例10、平面內(nèi)任何兩

17、直線垂直的充要條件是這兩直線與無窮遠直線的交點、調(diào)和分割虛圓點（1、i、0）、（1、-i、0）。 證明：充分性： 設 、是平面內(nèi)任意兩條直線, 它們分別交無窮遠直線于、兩點, 則有：；設為的夾角，則由Laguerre定理得：即與垂直。 必要性：假設這兩條直線，交于，則以為圓心的任意圓必通過兩虛圓點、, 且， 為此圓的漸近線； 由知是圓的共扼直線。由于二次曲線的兩條漸近線調(diào)和分割任意一對共軛直線是真, 所以這兩直線和無窮遠直線的交點調(diào)和分割、兩點。3.3.應用于自極三點形的建立，二次曲線方程的簡化 先給出有關定義和定理定義： 如果兩點、的聯(lián)線被它和的交點，所調(diào)和分割, 則稱兩點和關于二次曲線成共

18、軛點。如圖11：若，則稱與關于成共軛點。 定理：不在上的兩點、關于：成共軛點的充要條件是：。（參見文7）調(diào)和分割應用于二次曲線方程的化簡, 主要在于建立坐標三點形時, 適當取三點形的三頂點,使它們兩兩聯(lián)線交的兩交點被它們自已調(diào)和分割, 坐標三點形是自極三點形, 然后利用共扼條件, 即可簡化方程。 例11：設二階曲線的方程為：，試化簡之。 解：如圖12，在平面上任取一點 （但不在上），以表示關于的極線，在上但不在上任取一點，以表示關于的極線，則通過，設是、的交點，由于的一個共軛點是，一個共軛點是，所以的極線，是的一個自極三點形。 由和關于成共軛，代入共軛條件定理得：；同理和共軛得，和共軛得。所以這時的方程變化為：可見：取自極三點形作為坐標三點形, 利用其每兩個頂點之間的調(diào)和共扼關系, 曲線方程的交差乘積項便可消去, 從而達到簡化目的。4.結(jié)束語以上例題恰當?shù)乩猛耆狞c（線）形的調(diào)和性質(zhì)證明高等初等幾何問題，降低了解決問題的難度，命題的證明思路清晰，過程簡潔。注重揭示高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，這樣可以擴大我們的知識領域，拓寬我們的視野，有助于站在新的高度上，深入地理解初等幾何，提高我們駕馭教材的能力。高等幾何是較歐氏幾何高觀點的幾何學，歐氏幾何是高等幾何(射影幾何、仿射幾何)的