資料分析公式

1、合成增長率數(shù)量分別為A與B的兩個部分，分別增長a%與b%0那么“A、B整體”的增長率；應該滿足下面的關(guān)系(我們將;稱為a%與b%的合成增長率)：AXa%+BXb%ATB混合增長率如果第2期相對第I期的增長率為n，第3期相對第2期的增長率為。，第N4-1期相對第N期的增長率為r”那么第N+1期相對于第1期的增長率r.稱為、一、小的混合增長率。根據(jù)公式可得：a,X(l+r)X*-X(14-rN),r-1l=1a；3i平均增長率如果第1期的值為a,N期之后的第N+1期的值為an+J，那么從第1期到第N+1期的平均噌長率Y滿足以下定義關(guān)系式：awt=aiX(1+T)X或者：汕=(1+y)na1根據(jù)前面

2、對“混合增長率”的定義，我們還可以推出下面的公式：(1+t)n=-=l+r=(l+rl)X-X(l+rN)a15=/1FT=/而T=/1+3)xX(12N1注：以年為周期的平均增長率，被稱為“年平均增長率”或者“年均增長率”、“年均增幅”、“年均增速”。一、增長率逆推近似公式方法點晴如果第一期為A。，第二期的值為A,第二期相對第一期的增長率為x%,則：AAA=Aox(l+x%)=>Ao=T：L57=AX(l-x%)4：r=rF7(x%)AAX(lx%)1十x%1+x%如果第一期為A。，第二期的值為A,第二期相對第一期的減少率為x%,則：A=AoXC-x%>nA°rv=AX

3、(l+x%)+r47(x%)2、AX(l+x%)1X%1X%二、合成增長率之十字交叉法原理點睛數(shù)垃分別為A與B的兩個部分，分別增長a%與b%,整體增長率為r%,那么我們可以得到下面的關(guān)系：A/hAXa%+BXb%=（A+B）r%=>-g=像上面這種兩部分合成增長率的題型，我們一般不用列式子的方式而采用“十字交叉法”的方式:來求解，即將上述式子轉(zhuǎn)換成如F形式：A: arb%/Ar-br-=/Ba-rB: ba-r注：上面這種方式計算得到的比例，是增長之前的比例而不是增長之后的比例。核心提示所謂“十字交叉法”，本質(zhì)上是一種“加權(quán)平均問題:兩部分各自的增長率對最后的合成增長率都有影響，各自影響

4、的大小，由其本身值的大小所決定，這就是“十字交叉法”的本質(zhì)所在。善如一個地區(qū)的城市人口和農(nóng)村人口之比為3:7,城市人口增長5%,農(nóng)村人口增長6%,那么矮個地區(qū)的人口增長率應該在5%和6%之間。城市人口占3份，農(nóng)村人口占7份，那么城市、農(nóng)村對最終合成增長率的影響力之比為3«7,即這個合成增長率與5%、6%的距離之比應該是7:3,即5.7%。這樣的結(jié)果是比較容易口算得出的，但一定要注意這個比例對應的是增長之前本部分我們苜先介紹“年均增長率”與“各年增長率”之間的數(shù)量近似關(guān)系，下一部分我們將介紹“年均增長率”與“混合增長率”之間的數(shù)量近似關(guān)系。根據(jù)前面的介紹，我們知道：令”義義（1+“一1

5、在數(shù)學上，又有下面的近似公式：1+口）乂一義（1+a）=4（1+口）+i+（1+1>|）于是，就得到了需要的這個近似公式：g知1+G十+川按照上面的公式近似得到的結(jié)果一般會比其實的數(shù)值略大一些，并且“各年增長率”越是接近，誤差越小。我們前面講述了“年均增長率”與“各年增長率”之間的數(shù)量近似公式，當我們知道各年的增長率時，我們用上面那個公式來求解“年均增長率”。但有時候，我們并不知道每一年各自的增長率，僅僅只知道或者只關(guān)心初值和末值(即“混合增長率”)，那么我們就需要運用另外的公式來近似求解了。根據(jù)本節(jié)開始的介紹，我們知道：(1+了)典1=1+ai在數(shù)學上，我們又有下面的近似公式(所謂“泰

6、勒展開”)：(l-Hr):>1=l-i-NT+N(rt-nT2+-l+NT+N(：rt 3X必球9-l = (l + r%)X(l + v%)T = r% + v% + r%Xv% rx A 15乘積的增長率:各自增長率的和，加上各自增長率的積。實用提示：由于“增長率的積”一般數(shù) 值很小，計算的時候給出大致的數(shù)值即可，不需要算出非常精細的值。AX(l + r%)7 BX(l + v%) y _ 1 + r% < r% v%2- A7_訐孩7_ j十而B比值的增長率：各自增長率的差，除以“1加分母的增長率、實用提示：一般v%很小，我們往往直接用“增長率的差(分子增長率減去分母增長率)

7、”來代 替上面這個數(shù)值，或者稍微做一點修正即可。翻番近似公式在資料分析的計算當中，我們經(jīng)常能夠碰到“翻一番”即“增長100%”的概念，當增長率維持 在一定的水平上，多少年可以翻一番呢？這樣的問題也就是研究下面式子當中r與N之間的 關(guān)系：(H-T)N=2=>N = log(l+T>2很明顯，我們在考場上不可能對這樣的式子進行手工計算，于是我們運用另外一個近似的公 式來代替上面這個需要求“對數(shù)”的復雜公式；(14-r)N=2>NT2于是，就得到了我們需要的這個近似公式：z.N(N-l)2rNrd5r乙從上面的推導可以看出，按照上面的公式近似得到的“混合增長率”一般會比真實的數(shù)值略

8、小一些，并且“年均增長率“越小，誤差同時也越小。另外，我們還有一個結(jié)論也經(jīng)常用到，即；>1或者7言-c當兩個變量分別發(fā)生一定的變化，它們的“乘積”以及“比值”又會發(fā)生什么樣的變化呢？對于這個問題在前面做過定性的分析，但由于這樣的問題非常重要，我們有必要在這里進一步進行定量分析。我們假定兩個變量A、B分別增長了r%、v%(取負值時代表為“下降”)，那么其乘積“AXB”與比值“A/B”分別發(fā)生如下比率的變化：我們再次假定兩個變量A.B分別增長了r%、v%（取負值時代表為“下降”），那么其比值“A/B”的變化率應該為J2學。因為這個變化率的分母是正的，所以我們可以知道,比值TV/Q“A/B”是

9、否變大（即增長率是否為正）取決于分子A的變化率是否大于分母B的變化率。注：所謂“分子A的變化率大于分母B的變化率”，包括A的增反快于B,也包括A的減小慢于B。三大模型基礎模型A增長快于B,或A減小發(fā)于BA增長慢于B,或A減小快于B比值變化部大金變小我們再來進行下面兩個數(shù)學變形：B十AA】A1B.A11BA'B二一1；A-1A-1BAAA由上面兩個變形我們可以發(fā)現(xiàn)法A、言天這兩個式子，與能的變化具有同樣的方向，于是我U十八15八15們得到了另外兩個拓展模緞：拓展模型IA增長快于B,或A減小慢于BA增長撿于B,或A減小快于B比值變化B：A變大b£a變小模型解釋：當A的增長快于B,

10、或者A的減小慢于R時，A占“A和B”總體的比重在上升，反之則下降。在資料分析當中，我們經(jīng)?？梢耘龅健斑B續(xù)兩年”增長的模型，這時候的“混合增長率”與“各年-2<ri + r2增長率”之間滿足比較簡單的數(shù)量關(guān)系:r=(l+rl)X(l-rr2)-1=+Xr2<我們很容易發(fā)現(xiàn)，上面這個公式跟我們剛剛學過的“復合變化率公式”當中的“乘積增長率”具有完全相同的形式，但統(tǒng)計意義是不相同的。我們在運用上面公式進行計算的時候,兩個增長率的和是主要部分，積是用來修正的次要部分，所以兩個增長率的積一般采用大致的估算即可，不需要太高的精度。八、三角上溯模型核心提示“2009年，某地區(qū)完成GDP共計837

11、2億元，同比增長8.2%,增氏率提高了1.1個百,分點”上面這樣的語段經(jīng)常出現(xiàn)在資料分析當中，我們根據(jù)2009年的GDP和其增長率可以算得2008年的GDP,根據(jù)2009年的增長率和增長率的變化可以求得2008年的增長率，最后再通過2008:年的GDP和2008年的增長率便可求得2007年的GDP。由此，我們僅僅通過上段當中關(guān)于2009年當年的描述,便可求得兩年之前的2007年的數(shù)值，這樣的模型我們稱之為“三角上溯模型”。：由于這樣的模型出現(xiàn)的頻率比較高，所以要求大家對這樣的模型有一個非常熟練的掌握。我i們不再給出相關(guān)的公式，而是僅儀通過對第一段的解析來幫助大家理解和把握這種題型的內(nèi)涵和解題方式：當某個經(jīng)濟量保持相同的增長率持續(xù)發(fā)展時，這個量的各期數(shù)值應該構(gòu)成一個“等差數(shù)列”.我們假