九年級培優(yōu)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案

1、九年級培優(yōu)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案一、旋轉(zhuǎn)1.已知正方形ABCD的邊長為4,一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與BCDC的延長線交于點(diǎn)E、F,連接EF,設(shè)CE=a,C已b.(1)如圖1,當(dāng)a=4&時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)a=4時(shí)，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形并求出b的值；(3)如圖3,請直接寫出/EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式.圖1圖2圖3【答案】(1)4V2；(2)b=8;(3)ab=32.【解析】試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長為4,可得AC=46，/ACB=45°.再CE=a=4j2,可得/CAE=/AEC,從而可得/CAF的度

2、數(shù)，既而可得b=AC;(2)通過證明ACD4ECA即可得；(3)通過證明ACD4ECA即可得.試題解析：(1)正方形ABCD的邊長為4,.-.AC=472,ZACB=45°.CE=a=472，/CAE=/AEC=絲-=22.5/CAF=/EAF-/CAE=22.5°,2/AFC=/ACD-/CAF=22.5，CAF=/AFQ.b=AC=CF=4我；(2) ZFAE=45°,ZACB=45°,./FAU/CAE=45°,/CAE+/AEC=45°,./FACACCF.4/2_CECCA'44V2'=/AEC又./ACF=

3、/ECA=135°,AACFAEC/8,即b=8.(3) ab=32.AC提不：由(2)知可證ACQECA,ECCF42,CAab4.2.ab=32.2.如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn).分別延長OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.(1)求證：DELAG;(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)次角(0之360°)得到正方形OFF'。'，如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/力/行是直角時(shí)，求皮的度數(shù)；(注明：當(dāng)直角邊為斜邊一半時(shí)，這條直角邊所對的銳角為30度)若正方形

4、ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求長的最大值和此時(shí)。的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由.【答案】(1)DE，AG(2)當(dāng)/"A行為直角時(shí)，a=30或150°.315°【解析】分析：(1)延長ED交AG于點(diǎn)H,證明四根據(jù)等量代換證明結(jié)論；(2)根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到£W=3(T,分兩種情況求出。的度數(shù)；(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出OA和OF的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF'長的最大值和此時(shí)M的度數(shù).詳解：|(1)如圖1,延長ED交AG于點(diǎn)H,',"點(diǎn)。是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn),在月。和。門E中，

5、OA=OD乙4。=上U。"9。'DOE上=上，UG0+4/K?=9(r/LGAOI"EO=9(T即pn4q；如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，上。八?成為直角有兩種情況:G'Ki）我由0,增大到"0過程中，當(dāng)4M"90"時(shí)，11?。4Of）06怦1,'在RtA"#/'中，sin/AGO1*'-,7版二30'?由1。凡。/11付，,，0D/A6150G*="G*0=30口?即。=30,1；（n）o由900增大到18°'過程中，當(dāng)匕。八C=9（T時(shí),同理可求£ROG

6、'=35二1眥一胱=1501綜上所述，當(dāng)乙MG'=90"時(shí)，取=30"或15卜.當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、廠,在一條直線上時(shí)，月F的長最大,正方形ABCD的邊長為1,rOA-OD-OC-OU-2,*,0G=2叫W2.，AF'=A0+0F=+22,入此時(shí)優(yōu)=315".點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一定的綜合性，注意分類討論的思想3.如圖，在OABCD中，AB=10cm,BC=4cm,/BCD=120°,CE平分/BCD交AB于點(diǎn)E.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)

7、，連接CP,將PCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使CE與CB重合，得到AQUB,連接PQ.(1)求證：4PCQ是等邊三角形；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4PBQ的周長是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形？(3)【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析；(3)t為2s或者14s.【解析】分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明PC®4QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可；(2)利用平行四邊形的性質(zhì)證得4BCE為等邊三角形，然后根據(jù)全等三

8、角形的性質(zhì)得到PBQ的周長為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可；(3)根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)的距離，分類討論求解即可.詳解：(1)二旋轉(zhuǎn).-.PCEAQCB，CP=CQ/PCE=/QCB, /BCD=120,°CE平分/BCD,/PCQ=60； /PCE吆QCE=ZQCB+ZQCE=60,° .PCQ為等邊三角形.(2)存在.CE平分/BCD,/BCE=60,.在平行四邊形ABCD中， .AB/CD/ABC=180-120=60°BCE為等邊三角形BE=CB=4 旋轉(zhuǎn).,.PCEAQCB .EP=BQ CapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+

9、PQ=4+CP.-.CP±AB時(shí)，PBQ周長最小當(dāng)CP,AB時(shí)，CP=BCsin60=2>/3 .PBQ周長最小為4+2百(3)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí)，P,B,Q不能構(gòu)成三角形當(dāng)0wy6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，/CPE=ZCQB,/CPQ=ZCPB+ZBPQ=60°則：/BPQ+/CQB=60°,又/QPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=180/CBQ=1806060=60°/QBP=60；BBPQ<60°,所以/PQB可能為直角由(1)知，PCQ為等邊三角形，/PBQ=60；/CQB=30°/CQB=/CPB/CPB=30°

10、;/CEB=60；/ACP=/APC=30°PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2所以占212s當(dāng)6vtv10時(shí)，由/PBQ=120°>90°,所以不存在當(dāng)t>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得：/PBQ=60°,由（1）得/CPQ=60°/BPQ=/CPQ+/BPC=60+°/BPC,而/BPC>0°,/BPQ>60°/BPQ=90；從而/BCP=30BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s綜上所述：t為2s或者14s時(shí)，符合題意。點(diǎn)睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用，結(jié)合平行四邊形、等邊

11、三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行解答即可，注意分類討論思想的應(yīng)用，比較困難4.把兩個(gè)直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)。重合.現(xiàn)將三角板EFG繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0°<a<90°）,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）.（1）探究：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過程）；（2）利用（1）中你得到的結(jié)論，解決下面問題：連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在15某一位置，使4G

12、KH的面積恰好等于4ABC面積的右？若存在，求出此時(shí)BH的長度；若不存在，說明理由.I5I【答案】（1）BH=CK;（2）存在，使GHH的面積恰好等于ABC面積的三的位置，此時(shí)BH的長度為3上巫.【解析】（1）先由ASA證出CGKBGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；（2）根據(jù)面積公式得出Sghk=S四邊形ckgh-Sackh=2x2-3x+9,根據(jù)GKH的面積恰好等于ABC面積的3,代入得出方程1x2-3x+9=X-X6.6求出即可.122122解：（1）BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK理由是：連接OC,由直角三角形斜邊上中線性

13、質(zhì)得出OC=BGAC=BC,。為AB中點(diǎn)，/ACB=90,/B=/ACG=45;CO±AB,/CGB=90=ZKGH, 者B減去/CGH得：/BGH=ZCGK在4CGK和4BGH中ZKCfZECG二BG,/KGC:NBGH .CGKABGHI(ASA)， .CK=BH即BH=CK；CQGZ的面四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形積，即等于4ACB面積的一半，等于9;5（2）假設(shè)存在使4GKH的面積恰好等于ABC面積的一的位置.12設(shè)BH=x,由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=xCH=CB-BH=6-x,.SachK=1CHXCK=3x1x2,2

14、212、J2.Saghk=S四邊形ckghSackh=9(3xx2)x2-3x+9,5GKH的面積恰好等于ABC面積的一，12工x2-3x+9=XX6X62122解得x3J6,x23V6（經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意）存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的5的位置，此時(shí)x的值為366.熏睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn),有一定的難度，但是一道比較好的題目.12此題5.如圖，4ABC是等邊三角形，AB=6cm,D為邊AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿AA以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿ABfD以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在A

15、B上方作等邊三角形PQN.將4PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到4MNQ.設(shè)四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(2)(3)(4)當(dāng)占.=1八、當(dāng)占.=1八、當(dāng)占.=1八、t(s)(0<t<3).N落在邊BC上時(shí)，求t的值.N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值.Q沿AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值.S=S菱形pqmn=2Sapnq=t2;-苧+竽邛(4)15t=1或【解析】試題分析：(1)由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC

16、上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)(2)(3)邊形當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上,3當(dāng)0D細(xì)；四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形為五邊形PQFENB重合，此時(shí)DQ=3；此時(shí)PD=DQPQMN;當(dāng)5wt乙時(shí)，四MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)12<t虧,列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值.試題解析：(1)4PQN與4ABC都是等邊三角形,，當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.DQ=3.-2t=3.3-t=,(2)二當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上,PD=DQ,當(dāng)0<t<2時(shí),此時(shí)，PD=t,

17、DQ=2t2 .t=2t3 .t=0(不合題意，舍去)，3當(dāng)至wy3時(shí)，此時(shí)，PD=t,DQ=6-2t4 .t=6-2t,解得t=2;綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2;(3)由題意知：此時(shí)，PD=t,DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)， .MN=BQ,.PQ=MN=3t,BQ=3-2t.-3t=3-2t3，解得t=s3如圖，當(dāng)0wt刖Sapncf"PQ2=4t2；2 .S=S菱形pqmn=2Sapnq=t,3B如圖，當(dāng)"wtn寸，設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,MN=PQ=3t,NE=BQ=32t,.ME=MNNE=PQBQ=5t-3,EMF是等邊三角形,I

18、冏Saemf=(5t3)27甲+IS%*/%*ME2=4(4)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,此時(shí)<t<12Tt=1或圖考點(diǎn)：幾何變換綜合題6.如圖1,是邊長分別為6和4的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDiEi疊放在一起.（1）操作：固定ABC,將CD1E1繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CDE,連接AD、BE,如圖2.探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？并請說明理由；（2）操作：固定AABC,若將CD1E1繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得至UCDE,連接AD、BE,CE的延長線交AB于點(diǎn)F,在線段CF上沿著CF方向平移，（點(diǎn)F與點(diǎn)P重合即停止平移）平移后的4CDE設(shè)為4PQR如圖3

19、.探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）；（3）探究：如圖3,在（2）的條件下，設(shè)CQ=x,用x代數(shù)式表示出GH的長.【答案】（1）BE=CD理由見解析；（2）4CHQ是等腰三角形；（3）"x.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BCCD=CE/ACB=ZECD=60,然后求出/ACD=ZBCE再利用邊角邊”證明ACD和BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）求出/ACF=30,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/CHQ=30；從而得到/ACF=ZCHQ,判斷出4CHQ是等腰

20、三角形；（3）求出/CGP=90,然后利用/ACF的余弦表示出CG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH,然后根據(jù)GH=CG-CH|理即可得解.試題解析：（1）BE=CD理由如下：4ABC與CDE是等邊三角形,，AC=BC,CE=CQ/ACB=/ECD=60.° /ACB-ZACE之ECD-/ACE,即/BCE之ACD.在ACD和ABCE中，AB=BClACD=BCECD=CE' .ACDABCE(SA§,BE=AD;(2)二.旋轉(zhuǎn)角為30°,/BCF=30,°/ACF=60-30=30；/CHQ=ZRQP-ZACF=60-30=30；/ACF=ZC

21、HQ, .CHQ是等腰三角形；(3)/CGP=180-ZACF-ZRPQ=180-30-60=90°,飛飛.CG=CP?cos30<x+4),.CHQ是等腰三角形，.CH=2?CQcos30°=2=?'x,k/？yZ.GH=CG-CH=/(x+4)-x=2-x.考點(diǎn)：幾何變換綜合題.7 .如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個(gè)扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個(gè)扇形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，計(jì)算指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和.如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字(1)請你通過畫樹狀圖或列表的方法分析，并求指

22、針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10的概率；(2)小亮和小穎小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則是：指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10,小穎獲勝；指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10,為平局；指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10,小亮獲勝.你認(rèn)為該游戲規(guī)則是否公平？請說明理由；若游戲規(guī)則不公平，請你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則.【答案】(1)1；(2)不公平.3【解析】試題分析：(1)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率.(2)判斷游戲的公平性，首先要計(jì)算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平.試題解析：(1)共有12種等可能的結(jié)果，小于10的情況有4種，一一

23、1所以指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10的概率為-.3察與678911789103口101112410111213(2)不公平，因?yàn)樾》f獲勝的概率為耳父斗*,S1O:=j;5一小亮獲勝的概率為小亮獲勝的可能性大，所以不公平.12可以修改為若這兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則小亮贏；積為偶數(shù)，則小穎贏.考點(diǎn)：1.游戲公平性；2.列表法與樹狀圖法.8 .如圖所示，在ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE/BC,如圖，然后將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到圖，請解答下列問題：(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：在圖中，BD與CE的數(shù)量

24、關(guān)系是;在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB=kAC(k>1),按上述操作方法，得到圖，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】(1)BD=CE;AM=AN,/MAN=/BAC理由如下：在圖中，DEBC,AB=AC.AD="AE."AR=AC,=£.CAEf.A-A_,AD-AE_在ABD與AACE中AABDAACE.BD=CE/ACE玄ABD.在ADAM與EAN中,11111/AEN=ZACE-+ZCAE,DMBD,ENCE,BD=CE，DM=E

25、N,/ADM=/ABD+ZBAD,/AEN=ZADM.y.'AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN,/DAM=/EAN.，/MAN=/DAE=/BAC.AM=AN,/MAN=/BAC.(2)AM=kAN,/MAN=/BAC.【解析】(1)根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE®4ADB,所以BD=CE;根據(jù)題意可知ZCAE=BADAB=AC,AD=AE,所以得到BA44CAE,在ABM和ACN中，11DM=BD,EN=CE：,可證ABM0ACN,所以AM=AN,即/MAN=/BAC.工人（2）直接類比（1）中結(jié)果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.9.（特例發(fā)現(xiàn)）如圖

26、1,在ABC中，AG±BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtAACF過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分另1J為P、Q.求證：EP=FQ（延伸拓展）如圖2,在4ABC中，AG±BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊，向4ABC外作RtAABE和RtAACF7,射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE,AC=kAF請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.（深入探究）如圖3,在4ABC中，G是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)，向ABC外作任意4ABE和AACF,射線GA交EF于點(diǎn)H,若/EAB=/AGB,/FA

27、C玄AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論.（應(yīng)用推廣）在上一問的條件下，設(shè)大小恒定的角/IHJ分別與4AEF的兩邊AE、AF分別交于點(diǎn)M、N,若4ABC為腰長等于4的等腰三角形，其中/BAC=120,且/IHJ=/AGB=0=60k=2；求證：當(dāng)/IHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接寫出線段MN的最小值（請?jiān)诖痤}卡的備用圖中補(bǔ)全作圖）.【答案】（1）證明參見解析；（2）HE=HF；（3）成立，證明參見解析；（4）證明參見解析，MN最小值為1.【解析】試題分析：（1）特例發(fā)現(xiàn)：易證AEBBAG,AFQ0CAG,即可求得EP=AGFQ=A

28、G,即可解題；（2）延伸拓展：過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.易證1II ABGsEAP,AC84FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,.PE=FQ然后證明1 EPHAFQHI,即可得出HE=HF;（3）深入探究：判斷PEAGAB,得到PE=AG,II AQFACGA,FQ=,得到FQ=AG,再判斷EPHFQH,即可得出HE=HF;（4）應(yīng)用推廣：由前一個(gè)結(jié)論得到4AEF為正三角形，再依次判斷MHNsHFNMAMEH,即可得出結(jié)論./PEA+/PAE=90,試題解析：（1）特例發(fā)現(xiàn)，如圖:/GAB+ZPAE=90,/PEA=ZGAB,./EPA=ZAGB,AE=AB,/.APEAA

29、GAB,.PE=AG同理，4QF心AGAC,FQ=AG,.1.PE=FQ(2)延伸拓展，如圖:/PEA+/PAE=90,°/GAB+ZPAE=90,°/PEA=/GAB,/EPA=/AGB,FQAFAGACAB=kAEIFFAE.AG=kAE1.PE=AG,同理,QFAAGAC,AC=kAF,FQ=AG,PE=FQEP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EP噌FQH,.HE=Hp(3)深入探究，如圖2,在直線AG上取一點(diǎn)P,使得/EP/AGB,彳FQ/PE,/EAP+ZBAG=180/AGB,ZABG+ZBAG=180-/AGB,/EAP=ZABG,/EPA

30、=/AGB,AAPEABGA,PEAEII.AB=kAE,PE=AG,由于/FQA=/FAC=ZAGC=180-ZAGB,同理可得,|FQAF11AQFsCGAAC=kAF，F(xiàn)Q=AG,.EP=FQ/EP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EPHFQH,.HE=Hp(4)應(yīng)用推廣，如圖3,在前面條件及結(jié)論，得到，點(diǎn)H是EF中點(diǎn)，AE=AF,=/EAB=/AGB,/FAC=ZAGC-./EAB+ZFAC=180，°/EAF=360-°(/EAB+ZFAQ-/BAC=60AEF為正三角形.又H為EF中點(diǎn)，ZEHM+ZIHJ=120°,ZIHJ+ZFHN

31、=120,HMEH./EHM=/FHN.ZAEF=ZAFE,.HEMsHFN,HNFN,eh=FH且/MHN=/HFN=60；.MHNAHFNI,AMHNAHFNAMEH,在HMN中，/MHN=60°,根據(jù)三角形中大邊對大角，要MN最小，只有HMN是等邊三角形，ZAMN=60,./AEF=60,MN.MN/EF,AEF為等邊三角形，.MN為11AEF的中位線，MNmin=2EF=X2=1考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.三角形全等及相似的判定性質(zhì).10.如圖1,正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE(ABvAE)在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為如在

32、旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.(1)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC,直接寫出/FCD的度數(shù)；(3)如圖3,如果=45°,AB=2,AE=W,求點(diǎn)G至UBE的距離.G【答案】(1)證明見解析；(2)45?；?35。；(3)1口.【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,AE=AG,/BAD=/EAG=90,再求出/BAE=ZDAG,然后利用邊角邊”證明ABE和4ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，據(jù)此

33、求解即可.111$BE。=5屯AEG=16S6BEC-BEh-X2甲Xft=16(3)根據(jù)/和'/求解即可.試題解析：(1)如圖2,二四邊形ABCD是正方形，AB=AD,/BAE+/EAD=90.四邊形AEFG是正方形，AE=AG,/EAD+ZDAG=90:/BAE=ZDAG.ABEAADG(SAS.，BE=DG.(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，此時(shí)/FCD的度數(shù)為45°或135°.G/dr/，Z1%1一、，、/月f1D3P卬J口，,zC>(3)如圖3,連接GRGE.由已知a=45；可知/BAE=45.又.GE為止方形AEFG

34、的對角線，./AEG=45.，/Z/1=4V7,.GE=8.1,5小IfEC-SxAEG=於正方砌iEFG=161.過點(diǎn)B作BHAE點(diǎn)H.AB=2,.=AH=V7.=.DC(G)B/GE.設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h.11Sabeg-'BE*h-y,245X/i=12士16寸5.一TL1八5點(diǎn)G至ijBE的距離為“.GE二3考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.止方形的性質(zhì)；質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用.4.3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性11.邊長為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上(如圖1),現(xiàn)將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落

35、在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交DF于點(diǎn)M,BC邊交DG于點(diǎn)N.(1)求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)(如圖2),求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)如圖3,設(shè)4MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請證明你白結(jié)論.n【答案】(1)2(2)22.5。；(3)不變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，DA旋轉(zhuǎn)了45,從而根據(jù)扇形面積公式可求DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，根據(jù)平行的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可求

36、正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為(3)延長BA交DE軸于H點(diǎn)，通過證明三DCN和”切片D赭X可得結(jié)論.(1):人點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，DA旋轉(zhuǎn)了4".45rx22n.DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為m/:MN/AC,.嚴(yán)MN.=G451KBM=.ba=bc.am=cn.又.。八=DCf=£DG%ADMDCN.LADM-(900-45°)=22.5°，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為4225。=223".不變化，證明如下：如圖，延長BA交DE軸于H點(diǎn)，則臼所=4W.UDM尸9=900-450-=45憶又DA=DCDAU=

37、180090。=阿=1OCNDAHDCN"三必"CN又£MDE=MDN=45。用M=叫,ADMH=ADMN.,MN=MH=AM+AH,MN=AMCN.，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，P值無變化.考點(diǎn)：1.面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的性質(zhì);質(zhì).3.扇形面積的計(jì)算；4.全等三角形的判定和性12.(1)發(fā)現(xiàn)如圖，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BCa,ABb.填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為(用含a,b的式子表示)(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC3,AB1.如圖所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD,BE.找出圖

38、中與BE相等的線段，并說明理由；直接寫出線段BE長的最大值.(3)拓展如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為5,0，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA2,PMPB,BPM90,求線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)CB的延長線上，a+b;(2)DC=BE,理由見解析；BE的最大值是4;(3) AM的最大值是3+2J2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-J2,J2)【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,推出CADEAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE

39、由于線段BE長的最大值二線段CD的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；(3)連接BM,將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至iJPBN,連接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2J2+3；如圖2,過P作PE±x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1);點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b,，當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b故答案為CB的延長線上，a+b；(2)CD=BE,理由

40、：4ABD與4ACE是等邊三角形，.AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,°ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即/CAD=ZEAB,在ACAD與EAB中，AD=ABCAD=EABAC=AEACADIAEAB,.CD=BE二線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由(1)知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長線上，最大值為BD+BC=AB+BC=4(3)二.將APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至IJPBN,連接AN,則APN是等腰直角三角形，PN=PA=2,BN=AM,.A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),.OA=2,OB=5,.AB=3,線段AM長的最

41、大值二線段BN長的最大值，當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值,最大值=AB+AN,.AN=.2AP=2萬，最大值為22+3；如圖2,過P作P已x軸于E,'4V APN是等腰直角三角形，PE=AE=、2， .OE=BO-AB-AE=5-3、2=2-、2， P(2-、.2,2).【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.13.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1) .(1)將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段BE.當(dāng)BE與CD第一次平行時(shí)，畫出

42、點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑，并直接寫出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長；(2)線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).【答案】（1）見解析；J5兀；（2）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（3,3）或（6,6）.【解析】【分析】（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心即可得到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑為弧線，再運(yùn)用弧長計(jì)算公式即可解答；（2）連接兩對對應(yīng)點(diǎn)，分別作出它們連線的垂直平分線，其交點(diǎn)即為所求【詳解】解：（1）點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑如圖所示，出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長為904筋=遍兀;180本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)變換及其作圖，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)角以及確定旋轉(zhuǎn)中心的方法是解答本題的

43、關(guān)鍵.14.如圖，已知RtABC中，/ACB=90：AC=BC,D是線段AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合）.過點(diǎn)B作B已CD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到線段CF,連結(jié)EF.設(shè)/BCE度數(shù)為.(1)補(bǔ)全圖形；試用含的代數(shù)式表示/CDA.(2)若空心，求的大小.AB2(3)直接寫出線段AB、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)答案見解析；45；(2)30;(3)_222AB2CF2BE.【解析】試題分析：(1)按要求作圖即可；由/ACB=90°,AC=BC得/ABC=45°,故可得出結(jié)論；(2)易證FCEsACB,得JAC;連結(jié)FA,得AFC是直角三角形，求出2/ACF=30,°從而得出結(jié)論;/ACB=90°,AC=BC/ABC=45°