第21練關于平面向量數量積運算的三類經典題型

1、11第21練 關于平面向量數量積運算的三類經典題型題型分析 高考展望平面向量數量積的運算是平面向量的一種重要運算，應用十分廣泛，對向量本身，通過數量積運算可以解決位置關系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關問題，因此是高考必考內容，題型有選擇題、填空題，也在 解答題中出現，常與其他知識結合，進行綜合考查體驗高考1.（2015山東）已知菱形 ABCD的邊長為a, /ABC=60° ,則B DC D等于（）D.2aA. 3a2 B. -3a2 C.3a2 244答案 D解析如圖所示,由題意，得 BC=a, CD = a, Z BCD = 120 .BD2=B

2、C2+CD22BC CD cos 120 =a2+a2-2a ax ； j= 3a2, .BD= V3a. BD CD = |BDHCD|cos 30 = V3a2x = 2a22 22.(2015重慶)若非零向量 a,b滿足|a|=U-|b|,且(a-b)±(3a+2b),則a與b的夾角為()3A. B. C.3T D.兀 424答案 A解析由(a-b)±(3a+ 2功得(a- b) (3a + 2b) = 0,即 3a2 ab-2b2= 0.又 v |a|=乎同，設a,3b= 0,即 3|a|2|a| |b| cos 0-2b2=0,-1 |b|2 -|b|2 cos

3、0- 2|b|2=0, 33 cos 0=乎.又0W g 兀,3 .(2015陜西)對任意向量a, b,下列關系式中不恒成立的是()A.|a b|< |a|b|B.|ab|w |R|b|C.(a+ b)2= |a+ b|2D.(a+ b)(a- b)=a2- b2答案 B解析 對于A,由|ab|=|a|b|cos a, b|w |a|b恒成立；對于 B,當a, b均為非零向量且方向相反時不成立；對于C、D容易判斷恒成立.故選B.4 .(2016 課標全國乙)設向量 a=(m, 1), b= (1, 2),且 |a+b|2= |a|2+|b|2,則 m =.答案 2解析由 |a+b|2=

4、|a |2+ |b|2,得 ab,所以 mX1+1X2=0,得 m = - 2.5 .(2016上海)在平面直角坐標系中，已知 A(1 , 0), B(0, 1), P是曲線y = 1-x2上一個動點，則BPbA的取值范圍是 .答案 0, 1+平解析由題意知y="/1 x2表示以原點為圓心，半徑為1的上半圓 設P(cos % sin力，氏0,兀BA=(1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 BP BA= cos a+ sin a+ 1 =2sin( 1+1 e 0, 1+ 亞BP BA的范圍為0, 1+啦.高考必會題型題型一 平面向量數量積的基本運算例1 (

5、1)(2015四川)設四邊形ABCD為平行四邊形，岫46, |AD|=4,若點M, N滿足bM= 3MC, DN=2lNC,則 AM NM 等于()A.20 B.15 C.9 D.6、. ,f1 .-一 一(2)(2015福建)已知ABAC, |AB|=；, |AC|=t,若點P是 ABC所在平面內的一點， 且AP =-AB- + 4AC,則PBpC的最大值等于()|AB| |AC|A.13 B.15 C.19 D.21答案(1)C (2)A解析 (i)AM = AB+3AD, nM = cM 諦=1AD+1AB, .1.am nM = 14AB+3aD)工(4AB 4434121 f2f21

6、22-3AD)=48(16AB -9AD ) = 48(16X 69X4 )=9,故選 C.(2)建立如圖所示坐標系，則B5 0 C(0, t), AB= t, 0) AC=(0, t),京="十岑=勺，0 產4(0, t)=(1, 4),P(1, 4), PBPC=11, - 4;!(-1, t-4)AB| |AC|= 17- +4t 產 17 2、4t =13,故選 A.點評(1)平面向量數量積的運算有兩種形式：一是依據長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a, b的數量積a b與代數中a, b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“ ？.(2

7、)向量的數量積運算需要注意的問題：ab= 0時得不到a= 0或b= 0,根據平面向量數量積的性質有 |a|2=a2,但 |a b|< |a| |b|.變式訓練 1 在 ABC 中，ADXAB, BC=2 欣 BD, |AD|= 1,則 aC aD 等于()A.2 .3 B. 3 C."23D."33答案 A解析在 ABC 中，BC=2V3 BD ,所以 AC AD = (AB+BC) AD = (AB+2* BD) AD,又因為BD = AD-AB,所以 AC AD = (1 2V3)AB+ 2V3 AD AD=(1 2檎AB AD + 2m AD AD=(i -2峋

8、AB aD + 2/ Ad2,因為 AD± AB,所以 AD，AB,所以 AD AB=0,所以 AC AD = (12姆)*0+2m* 1 = 2#,故選 A.題型二利用平面向量數量積求兩向量夾角例2 (1)設a, b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量x 1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1 y+x2 y2+x3 丫3+ y4的所有可能取值中的最小值為 4|a|2,則 a與b的夾角為()2兀 兀 兀A.萬 B.3 C.6 D.0(2)已知向量a, b滿足|a|=2|b|w0,且關于x的函數f(x) = - 2x3+ 3|a|x2+6a b

9、x+5在R上單調遞減，則向量a, b的夾角的取值范圍是()一 叫 一 叫 f 兀-2 Tt 1A.0，6Bf 3 c© 6 F，U答案(1)B (2)D解析(1)設a與b的夾角為為由于xi, y(i=1, 2, 3, 4)均由2個a和2個b排列而成，4記S= Z (xi y),則S有以下三種情況： i=1S=2a2+2b2;S=4a b;S=|a|2+2a b+ |b|2.|b|=2|a|, 中 S=10|a|2,中 S= 81a12cos 為中 S= 5|a|2+4|a|2cos a易知最小，即 8|a|2cos 0= 4|a2,. cos 0=，兀 一 I又 0W 兀，0=-,故

10、選 B. 3(2)設向量 a, b 的夾角為 0,因為 f(x)= - 2x3 + 3|a|x2 + 6abx+5,所以 f (x) = -6x2+6|a|x+ 6ab,又函數f(x)在R上單調遞減，所以f (x)<0在R上恒成立，所以A= 36|a|24X(1 21 26)x(6ab)w0,解得 a b< 4同，因為 a b= |a|b| cos。，且|a|=2|b|w0,所以 |a|b|cos 0= 2|a| cosg -1|a|2,解得cos -1,因為 長0,兀所以向量a, b的夾角9的取值范圍是 拿 "故選D.點評 求向量的夾角時要注意：(1)向量的數量積不滿足

11、結合律.(2)數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數量積小于。且兩向量不能共線時，兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2若非零向量a, b滿足|a|=|b|, (2a+b) b=0,則a與b的夾角為()A.30B.60 ° C.120 ° D.150答案 C解析設a與b的夾角為6,292由題意得 |a|= |b|, (2a + b) b=0,可得 2a b+ b = 2|a| |b|cos 0+b =2|a| |a|cos 9+ |a| = 0,解 1得 cos 9=-因為 o v 180 ,所以 9= 120 ,故選 C.題型三利用數量

12、積求向量的模例3 (1)已知向量a, b的夾角為45°,且|a|=1, |2a劃=通，則|b| =.(2)已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, Z ADC = 90°, AD = 2, BC = 1,點P是腰DC上的動點，則|該+3附的最小值為 .答案 (1)3姆 (2)5解析 由|2ab|= 回,貝U |2a-b|2=io,及4a2-4a b+ b2= 10,又向量a, b的夾角為45 °,且同=1,所以 4X 1-4X1 x|b|cos |b|2=10,即 |b一2/|b|6= 0,解得 |b|=3&.方法一 以點D為原點，分別以DA、DC所在直

13、線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設DC = a, DP = x. D(0, 0), A(2, 0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA= (2, - x), PB=(1, a-x),l-PA + 3PB=(5, 3a-4x), 99|FA+3PB| =25+(3a-4x) >25,.I京+3晶|的最小值為5.方法二 設涼= xK(0vxv 1), PC = (1-x)DC, S<=DA-DP= DA-xDC,一 一 一一 1 一PB= PC+CB = (1 x)DC+DA,2 f 5 ff，PA +3PB = DA+ (3 4x)DC,|pA+

14、3pB|2=25DA2+2X5X (3 4x)DA DC + (3 4x)2DC2 = 25+(3-4x)2DC2>25,，|京+3晶|的最小值為5.點評(1)把幾何圖形放在適當的坐標系中，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a= (x, y),求向量a的模只需利用公式|a|= x2 + y2即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：同=時.變式訓練3 已知向量a, b, c滿足|a|=4, |b|= 2寸2, a與b的夾角為j, (ca) (c a)= 1, 則|c a|的最

15、大值為()A./2+1 B.乎+1 C啦j 1 D.V2+ 1答案 D解析 在平面直角坐標系中，取 B(2j2, 0), A(242, 2也)，則OA=a, OB= b,設c=OC = (x, y),貝U(c-a) (c-b)=(x-2V2, y-272) (x- 2V2, y) = (x- 22)2+y(y-2J2) = - 1,即(x 2<2)2 + (y 42)2= 1 ,所以點 C(x, y)在以D(242, m)為圓心，1為半徑的圓上，|c- a| = (x- 2亞 2+ (y 2啦 2,最大值為|AD|+1 =亞+1.故選D.高考題型精練1 .已知空間四邊形 ABCD的每條邊

16、和對角線的長都為 1,點E、F分別是AB、AD的中點,則eF dC等于()a.4A C乎 D4答案 D解析 由題四邊形ABCD的邊和對角線的長都為 1,點E、F分別是AB、AD的中點，則EF1 -11平行于 BD,則 EF DC = -BD DC = -x 1 X 1 X cos 120 =-.2 .（2016課標全國丙）已知向量BA= g 當），BC=償，；），則/ ABC等于（）A.30B.45C.60D.120 °答案 A解析 |猷|= 1, |B|= 1,八 BA BC y/3cosZ ABC =f 2|BA| |BC|又 < 0 < Z ABC <180

17、, ./ ABC=30 .3 .（2015湖南）已知點A, B, C在圓x?+y2=1上運動，且ABLBC.若點P的坐標為（2, 0）,則麗十麗十命|的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9答案 B解析由A, B, C在圓x2+ y2= 1上，且ABXBC, .AC為圓的直徑，故玄+P&=2p6=（4, 0）,設 B（x, y）,o o-）則 x +y =1 且 xC 1 , 1, PB = （x-2, y）,所以 FA+PB+PC=（x6, y）.故|球+ 殖+ 無|= 12x+ 37, - 1 < x< 1,當x=- 1時有最大值相=7,故選B.4.已知三點A(-1

18、 , 1)、B(3, 1)、C(1 , 4),則向量BC在向量BA方向上的投影為A.D.2限13答案 A解析BC = (- 2, 3), BA= (-4, - 2),向量 靛在向量 戢方向上的投影為BC BA|BA|,故選A.-2X(4"3X(2)=乖d4(+(2155 .（2015安徽） ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a, b滿足m = 2a, AC=2a+b,則下列結論正確的是（）A.|b|= 1 B.a±b C.a b= 1 D.（4a+ b）±BC答案 D解析 在 AABC 中，由壺=/m=2a+b 2a=b，得 |b|=2.又|a|= 1,所以

19、a b= |a|b|cos 120 = - 1,所以(4a+ b) BC=(4a+b) b= 4a b+|b|2= 4X(-1)+4=O,所以(4a+b),就，故選D.6 .已知i, j為互相垂直的單位向量，a=i-2j, b= i+九 且a, b的夾角為銳角，則實數 入的取值范圍是()1 1A.(-8, -)B.(-, +8)2 21C.(-2, -) U (；, +°° )D.(-oo, - 2)U (-2,-)oo/答案 D解析 a, b的夾角為銳角，a b= 1 x 1 + (2) Z>0 且 1 x(2) 1 x 入wo,1/(一* -2)U(-2,-),故

20、選 D.7 .已知向量a, b,其中|a|=/3, |b|=2,且(a+b)，a,則向量a和b的夾角是 .答案6解析(a+ b)±a,(a+ b) a= a2+ a b= 3 + V5x 2cos <a, b> = 0,cos <a, b> =- 2，又 0w a, b> < u,，a和b的夾角為丫68 .(2016浙江)已知向量a, b, |a|= 1, |b|=2.若對任意單位向量 e,均有|a e|十|b eg,則a b的最大值是.答案12解析由已知可得，垂刁a e|十 |b e|> |a e+ b e|= |(a+ b) e|,由于上

21、式對任意單位向量e都成立.引a+b|成立. -6>(a+b)2=a2+b2+2a b= 12 + 22+2a b.1即 6>5+2ab,a b<9 .如圖，在 ABC 中，點 O 為 BC 的中點，若 AB=1, AC=3,aB, AC> = 60°,則 |OA|答案皆解析因為AB, AC= 60: f Y13所以 AB AC=|AB| |AC|cos 60 =1X 3x5 = 2，一 1 一 一又 AO = 2(AB+AC),所以 ao2=4(aB+ac)2=4(ab2+ 2 AB aC+AC2),即aO2 = 4(1 + 3+9)=,所以 |OA|=g3.

22、10 .已知點 O 是銳角 ABC 的外心，AB=8, AC=12, A = f,若aO=xAB +yAo,則 6x+ 9y 3答案 5解析 如圖，設點O在AB, AC上的射影分別是點 D, E,它們分別為AB, AC的中點，連,、 .一一 _7f 7 f7f 7 f.、接 OD, OE.由數量積的幾何意義，可得 AB AO= |AB| |AD|=32, AC AO = |AC| |AE |= 72,依題意有 AB aO = xAB2 + yAC AB= 64x+ 48y =32,即 4x+ 3y =2, aC aO=xAB aC+ yAo2=48x+ 144y=72,即 2x+6y = 3,將兩式相加可得 6x+ 9y= 5.d= (8, 6),且 b/ d, (4a+d)±c.11 .設 a=(-1, 1), b= (x, 3), c=(5, y), (1)求b和c;(2)求c在a方向上的投影；求化和E使c=加