余數(shù)性質(zhì)及同余定理B級(jí)答案

1、年冷知識(shí)框架1、 帶余除法的定義及性質(zhì)1. 定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（bw。，若有a-Hb=qr,也就是a=b><q+r,0尋vb；我們稱(chēng)上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：（1）當(dāng)r0時(shí)：我們稱(chēng)a可以被b整除，q稱(chēng)為a除以b的商或完全商（2）當(dāng)r0時(shí)：我們稱(chēng)a不可以被b整除，q稱(chēng)為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型：如圖這是一堆書(shū)，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看

2、出余數(shù)一定要比除數(shù)小。2. 余數(shù)的性質(zhì)被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)；余數(shù)小于除數(shù).2、 余數(shù)定理：1 .余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22 .余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23,16除以5的余數(shù)

3、分別是3和1,所以23-16=7除以5的余數(shù)等于2,兩個(gè)余數(shù)差3-12.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。例如：23,14除以5的余數(shù)分別是3和4,2314=9除以5的余數(shù)等于4,兩個(gè)余數(shù)差為3+54=43 .余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于3X1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X191以5的余數(shù)等于3X4除以5的余數(shù)，即2.乘方:如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么an與b

4、n除以m的余數(shù)也相同.一同余定理1 定義整數(shù)a和b,除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱(chēng)a和b對(duì)于模m同余或稱(chēng)a和b在模m下同余，即a三b(modm)2 同余的重要性質(zhì)及舉例。1a三a(modm)(a為任意自然)；2若a=b(modm),貝Ub=a(modm)3若a=b(modm),b=c(modm)貝Ua三c(modm);4若a=b(modm),貝Uac三bc(modm)5若a=b(modm),c=d(modm),貝Uac=bd(modm);6若a=b(modm)貝Uan三bm(modm)其中性質(zhì)3常被稱(chēng)為"同余的可傳遞性"，性質(zhì)45常被稱(chēng)為"同余的可乘性

5、，"性質(zhì)6常被稱(chēng)為"同余的可開(kāi)方性"注意：一般地同余沒(méi)有"可除性"，但是：如果：ac=bc(modm)且(c,m)=1則a三b(modm)3 整數(shù)分類(lèi)：1用2來(lái)將整數(shù)分類(lèi)，分為兩類(lèi)：1, 3,5,7,9,(奇數(shù))；0,2,4,6,8,(偶數(shù))2用3來(lái)將整數(shù)分類(lèi)，分為三類(lèi)：0,3,6,9,12,(被3除余數(shù)是0)1, 4,7,10,13,(被3除余數(shù)是1)2, 5,8,11,14,(被3除余數(shù)是2)3在模6的情況下，可將整數(shù)分成六類(lèi)，分別是：0(mod6):0,1 (mod6):1,2 (mod6):2,3 (mod6):3,4 (mod6):4

6、,6, 12,18,24,7, 13,19,25,8, 14,20,26,9, 15,21,27,10, 16,22,29,重難點(diǎn)一個(gè)自然數(shù)被9除的余數(shù)和這個(gè)自然數(shù)所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)相同。5(mod6):5,11,17,23,29,同余在解答競(jìng)賽題中有著廣泛的應(yīng)用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一些運(yùn)用技巧和方法.例題精講【例1】一個(gè)兩位奇數(shù)除1477,余數(shù)是49,那么，這個(gè)兩位奇數(shù)是多少這個(gè)兩位奇數(shù)能被1477-49=142S整除，且必須大于49/428=2x2x3x7x17,所以這樣的兩位奇數(shù)只有51.【鞏固】2024除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是22.求出符合條件的所

7、有的兩位數(shù).|2024-22-2002)2002-2x7x11x13,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11/3,14,22,26,77,91,因?yàn)椤坝鄶?shù)小于除數(shù)”，所以多去I1/邛422,26,答案只有77,91.【例2】?jī)蓴?shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415,則被除數(shù)是.因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除敷的4倍，所以根據(jù)和信問(wèn)題可知，除數(shù)為(4】S-4-8)+(4+1)=79F所以，破除數(shù)為79x4+區(qū)=324.【鞏固】用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)自然數(shù)各是多少本題為帶余除法電義式的基本題型.根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分

8、別為無(wú)加可以得到=40y+16，解方程組存|工="",即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856,2Ljc+y+40+16=933y=2【例3】一個(gè)家庭，有父、母、兄、妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100,父親歲數(shù)最大，問(wèn)：母親是多少歲從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余L就知四個(gè)歲數(shù)都是靠+】型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù).只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43歲，母37歲，兄13歲，妹7歲.【鞏固】有三所學(xué)校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍；有一所

9、學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的倍；還有一所學(xué)校高中、初中人數(shù)相等.三所學(xué)校總?cè)藬?shù)是5480人，那么A?？?cè)藬?shù)是人.】三所學(xué)校的高中生分別是：工校742人，B校732人，C校722人.如果4校或C校初中人數(shù)是高中人數(shù)的L5僭，該杈總?cè)藬?shù)是有數(shù)，而按照給出條件得出其他兩墳總?cè)藬?shù)恭是偶數(shù)，與三?？?cè)藬?shù)5480是偶數(shù)矛盾，因此只能是B校的初中人教是高中人數(shù)的1£倍.三校初中的愚人數(shù).是5會(huì)。-296=加4,被3宗余大7翌被3整以722被3除余2J42被31余余L從余數(shù)來(lái)看【例4】C2X2+J-5s"2-2=4,就斷定初中人教是高中人數(shù)的2倍，只能是匚校，所以，4校總?cè)藬?shù)是742+742=

10、1-4（人）.求4373091993被7除的余數(shù).1方法一：先將437M309XI993算出以后，即437M309父19%=2691207的,再求得此數(shù)被7除的余數(shù)為L(zhǎng)方法二：因?yàn)?73I余以7的余數(shù)為3,309除以7的余數(shù)為L(zhǎng)由修同余的可乘性”知：（437x309）除o以7的余數(shù)為U.IL又因?yàn)?993除以7的余數(shù)為5,所以14”*瑞9H993）除以7的余數(shù)箏于Gx】即J5除以7的余數(shù)，算出437x3Q學(xué)K1993板7除的余數(shù)為1.全法三：利用全敷判別法，算出如7M制u.=2&U】207后9，奇敬節(jié)的救之和與候蹴節(jié)的敬之和的是即（2+也+。4心+一門(mén)+2+0）-7+22-3三兆,36

11、除以7的余數(shù)為1,即437"93被7除的余數(shù)為L(zhǎng)【鞏固】一個(gè)數(shù)被7除，余數(shù)是3,該數(shù)的3倍被7除，余數(shù)是_。I余數(shù)是3x3+7的余數(shù)，為2【例5】若2836,4582,5164,6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為.I設(shè)除數(shù)為人因?yàn)?8%,4582,5164,6522除以人的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差於能被A整除.凡因?yàn)橛鄶?shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù).4582-2836=1746>5164-4W82-582、6522-5164=t因?yàn)樨?#163;2J35初二14,所以A是194的大于1。的約數(shù).194的大于I。的的數(shù)只有97和19

12、4.如果月-J94,23S6+1守4-14-120，余數(shù)不是兩位數(shù),與題意不符.加果人=97,經(jīng)檢驗(yàn)，余數(shù)都是23,除數(shù)十余數(shù)=97+23=120,根據(jù)題竟可知，這個(gè)自然數(shù)去除29弧233,195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為&）,既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任奇兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0，那么這個(gè)自然數(shù)是290-2打=57的約數(shù)，又是195=38的藥數(shù)因此就是57和38的公約數(shù)，因?yàn)?7和38的公為數(shù)只有19和I,而這個(gè)數(shù)大于I,所以這個(gè)自然數(shù)是19.【例6】有這樣一類(lèi)2009位數(shù)，它們不含有數(shù)字0,任何相鄰兩位（按照原來(lái)的順序）組成的兩位數(shù)都有一個(gè)約數(shù)和20相差1,這樣的

13、2009位數(shù)共有個(gè).I第一個(gè)數(shù)確定，就能確是第二個(gè)數(shù)，以此類(lèi)推，整個(gè)數(shù)就定下表了，所以一共就9個(gè)數(shù).【鞏固】在兩位數(shù)10,11,，98,99中，將每個(gè)被7除余2的數(shù)的個(gè)位與十位之間添加一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，其余的數(shù)不變.問(wèn)：經(jīng)過(guò)這樣改變之后，所有數(shù)的和是多少10+H+98+991905被7除余2的商住數(shù)是7K+2=16,7x3+2-23,，7x13+2=93,共12個(gè)數(shù).這些數(shù)按題中要求靠加小數(shù)點(diǎn)以后，都變?yōu)樵瓟?shù)的，因此這一手埃使忌和減少了(16*23+493)x(1i)-£X2588.60210所,九經(jīng)過(guò)改變之后，所有數(shù)的和是4905-5X8,643164【例7】甲、乙、丙三數(shù)分別為603,

14、939,393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少根據(jù)題奇，這三個(gè)數(shù)除以4都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來(lái)；6（13年以一、fj,鋁9+4=給f393+乩=*3與由于qng=，要消去余數(shù)心口,1.我們只能先把余數(shù)處理成相同的.蔣南款相減.這樣我們先杷第二小式子乘以1.使得被除數(shù)和余撤都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4.于是我們可以得到下面的式孑：6034-A=&，,4（9為*2）+丹=2K22r3（31Hx4卜用=工尤4萬(wàn)這群余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被4整除，93<2-603

15、-127,393x4-603-969>（1275,969）=51=3x17,51的約數(shù)有1、3.17.51,其中1、3顯然不滿(mǎn)足，檢驍門(mén)和51可知17滿(mǎn)足，所以尺等于17.【鞏固】已知60,154,200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a1,a2,a31,求該自然數(shù)的值.根據(jù)題意可知.自然數(shù)61,154,201被讀數(shù)除所得余數(shù)分別是由于工3內(nèi)，所以自然數(shù)6二3721與154同余；由于G=所以61X154=9角4與201同金1所以除數(shù)是3721-154=3567和空94-201=鋁的公約轂，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法可得到(3567,9193)-2Q,該除數(shù)為2g.經(jīng)檢驗(yàn)成立.【例8】【答案】29已知n是

16、正整數(shù)，規(guī)定n!12Ln,令m1!12!23!3L2007!2007,則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少I(mǎi)叩IkI+2以2+3%3+2«07!>2007=1tx(；2-I)+-1)+35«t4-1)+WD7及3)。8-】)-21-11+Jk2k41-3U-4-20081-20071=2QQHI-120處能嵋整除2口口8"所以2(Wist-I的余數(shù)是2(XH.【鞏固】已知n是正整數(shù)，規(guī)定n!12Ln,令Q3!34!45!5L2012!2012,則整數(shù)Q除以2013的余數(shù)為多少c=3lx3+4x4+5Jx5-一+20121x2012=lkC2D+2kg1>十

17、3卜4一D十+2012(2013-1)-11-21x2=2!-11+3!-2145-3!+2013!-2012E-11-2h2-20131-62013能夠楚I空2013"所以20I3!-6的余數(shù)是2007.【例9】設(shè)n為正整數(shù)，k2004n,k被7除余數(shù)為2,k被11除余數(shù)為3,求n的最小值.20(用被7除余數(shù)為2,板II除余敬也為2,所以2"被7除余數(shù)為2,被1】除余數(shù)為3.由于展=2被7除余2r而：fB被7除命1,所以n除以3附余數(shù)為1；由于爐.256被11除余3,嚴(yán)-1024械1除余1,所以總除以I。的余數(shù)為&葉見(jiàn)打+2是3和1。的公倍數(shù)，最小為31口=3。，

18、所以n的最小值為28.【鞏固】試求不大于100,且使3n7n4能被11整除的所有自然數(shù)n的和.通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出非被11除的余數(shù)，依次為：寸為3,鏟為9,妙為5,丁為4,必為1因而V1被i除的余藪§個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3,9,5,41,3,9,5,%I,;樊似地，可以求出7.被II除的余上10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7,5>2,3110,4、6,9,8;于是:T+7*+4被“除的條數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3,7,0,0,%0,8,7,5,6,;這就表明，每一個(gè)周期中，只有第3、4、6個(gè)這三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足題意，即>1=346/3.14,1693,94.96時(shí)3*+7,4能被11整除，所

19、以,所有滿(mǎn)足條件的自然數(shù)停的和為：州3十4+6+J3+14升16+93+94+96=13+43十i十2s3=1480,【例10】一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少這個(gè)自然數(shù)去除見(jiàn))，164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除9。+IS4=254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同、因此這個(gè)自然數(shù)是254-22034的約數(shù)，又大于10,這人自然數(shù)只能是17或者是34.如果這個(gè)數(shù)是34,那么它去除90.164,220后所得的余數(shù)分別是22,28.16,不符合題目條件；如果這個(gè)數(shù)是17,那么它去

20、除加、164、220后所得的余數(shù)分別是5、II、16,符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是17.【鞏固】?jī)晌蛔匀粩?shù)ab與ba除以7都余1,并且ab,求abba.abba能7隹除，即(1Oct(10B4-«)=9x(a-b,能7隹除*所以只能有n8=7,那幺ab可能為92和81,臉?biāo)憧傻卯?dāng)7=92時(shí)，最=29滿(mǎn)足題目要求，力乂£=8乂29=2668三少課堂檢測(cè)【隨練1】已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10,那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)權(quán)題為一道余數(shù)與約數(shù)個(gè)敦計(jì)算公式的小鯨合性題目.由題意所求的自然數(shù)一定是20(18-10即1998的約數(shù)，同時(shí)還要滿(mǎn)足大于10這個(gè)條件.這樣

21、題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個(gè)女于10的約數(shù)，199B=2x33x37,共有(1+1)X(3+1)X(1+1)=再個(gè)約數(shù)，其中L2,3，如9是比H)小磬的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個(gè).【隨練2】22003與20032的和除以7的余數(shù)是找規(guī)律.用7除2,2【作業(yè)1】大于35的所有數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)和商相等除以7的余數(shù)只能是。6所以商只能是0-6,滿(mǎn)足大于7的數(shù)只有兩和余敕都為5.6,所以只能是40、48.【作業(yè)2】一個(gè)三位數(shù)除以36,得余數(shù)8,這樣的三位數(shù)中，最大的是。I因?yàn)樽畲蟮娜粩?shù)為999,999+3b工727,所以滿(mǎn)足題意的三位數(shù)最大為：36x27+8-9HD【作業(yè)3】三個(gè)數(shù)：23,51,72,各除以大于1的同一個(gè)自然數(shù)，得到同一個(gè)余數(shù)，則這個(gè)除數(shù)是。,2、之32自，的余數(shù)分別是2,4,h2,4,1,2,%1，,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為I;2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2;2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4.因?yàn)橛?I-23=28>72-51=21,（2跖21）=7,所以這個(gè)除數(shù)是7,【作業(yè)4】學(xué)校新買(mǎi)來(lái)11