人教版九級數學上冊知識點總結(同名23190)

1、人教版九年級數學上冊知識點總結第二十一章二次根式21.1二次根式知識點一二次根式的概念(1) 一般地，我們把形如, a (a> 0)的式子叫做二次根式。 二次根式 a 的實質是一個非負數 a的算術平方 根。其中“一 叫做二次根號。(2) 正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點： 二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“、廠。如J4是二次根式，雖然 J4=2,但2不是二次根式。 被開方數a必須是非負數，即a> 0.如.3就不是二次根式，但式子 (3) 2是二次根式。 “ f 的根指數為2,即“ £，一般省略根指數 2,寫作“，注意，不可誤認為根指數是“ 1 或“ 0提示

2、：判斷是不是二次根式，一看形式，二看數值，即形式上要有二次根號，被開方數要是非負數。知識點二二次根式的性質1 . aa> 0既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以它一定是非負數，即,a?a>0，我們把這個性質叫做二次根式的非負性。2 ja2 = a a>0，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時常用于二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把一個非負數寫成完整平方數的形式，常用于多項式的因式分解。3a2= a (a >0)，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時用于二次根式的化簡，即當被開方數能化為完全平方數式時，就可以利用該性質去掉根號；逆用時可以把一個非負數化

3、為一個二次根式。知識點三代數式定義：用根本運算符號根本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方把數和表示數的字母連接起來的式子，叫做代數式。21.2二次根式的乘除知識點一二次根式的乘法法那么一般地，對二次根式的乘法規(guī)定：.a . b = . ab (a > 0,b > 0)，即二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變。知識點二積的算術平方根的性質JJJab = Ja 7 b a>0，b> 0，積的算術平方根等于積中各個因式的算術平方根的積。知識點三二次根式的除法法那么一般地，對二次根式的除法規(guī)定:a>0, b>0，即兩個二次根式相除，把被開方數相除,根指數不變。知

4、識點四商的算術平方根的性質a>0,b >0，即商的算術平方根等于被除式的算術平方鏟除以除式的算術平方根。知識點五最簡二次根式必須滿足以下兩個條件：(1) 被開方數不含分母；(2) 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。21.3二次根式的加減知識點一二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并，二次根式加減法的實質是將被開方數相同的二次根式合并，合并時只把系數相加減，根指數和被開方數不變。知識點二二次根式的混合運算(1) 二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號 的先算括號里面的。(2) 在

5、二次根式的運算中乘法法那么和乘法公式仍然適用。22.1 一元二次方程知識點一 一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數一元，并且未知數的最高次數是 2二次的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點： 只含有一個未知數；未知數的最高次數是2;是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式2 2一般形式：ax + bx + c = 0(a 工0).其中，ax是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b 是一次項系數；c是常數項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解 的定義是解方程過程中驗根的依據。22.2降次一一解一

6、元二次方程22.2.1 配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程(1) 如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地,對于形如x2=a(a > 0)的方程，根據平方根的定義可解得X1=、. a ,x 2= , a.(2) 直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(mz0)形式的方程，如果 p>0，就可以利用直接開平方法。3用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們 互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。4直接開平方法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數或含有未知數的式子的平方項

7、 的系數為1;兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元一次方程，求出原 方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程 轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。1把常數項移到等號的右邊；2方程兩邊都除以二次項系數；3方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；4假設等號右邊為非負數，直接開平方求岀方程的解。公式法知識點一公式法解一元二次方程1一般地，對于一元二次方程ax2+bx+C=0a工0，如果b2-4ac > 0，那么方程的兩個根為:-

8、_2b b 4acx=1，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由2a一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。2一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0a工0的過程。3公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax2+bx+c=0a工0，一般a化為正值 確定公式中a,b,c的值，注意符號； 求出b2-4ac的值； 假設b2-4ac >0，那么把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，假設b2-4ac < 0，那么方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b2-

9、4ac叫做方程ax2+bx+c=0a工0根的判別式，通常用希臘字母表示它，即=b2-4ac.22.2 . 3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程1把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。2因式分解法的詳細步驟： 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0; 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一個因式分別為零，得到一元一次方程; 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用適宜的方法解一元一次方程方法名稱理論依據適用范圍直接開平方法平方根的意義形女口 x

10、=p 或mx+n2=p(p > 0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當 ab=0，那么 a=0 或 b=0一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因 式的積的一元二次方程。2224 元二次方程的根與系數的關系假設一元二次方程 x2+px+q=0的兩個根為xi,X2,那么有xi+X2=-p,x iX2=q.bc假設一元二次方程 a2x+bx+c=0(a工0)有兩個實數根xi,x 2,那么有x+X2=, ,xiX2= aa22.3實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：(1) 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是量，哪些是未知量以及

11、它們之間的等量關系。(2) 設：是指設元，也就是設岀未知數。(3) 列：就是列方程，這是關鍵步驟，一般先找岀能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。(4) 解：就是解方程，求出未知數的值。(5) 驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。(6) 答：寫岀答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型(1) 數字問題三個連續(xù)整數：假設設中間的一個數為x，那么另兩個數分別為 x-1，x+1。三個連續(xù)偶數奇數：假設中間的一個數為 x,那么另兩個數分別為 x-2,x+2。三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分

12、別為a,b,c，那么這個三位數是100a+10b+c.2增長率問題設初始量為a,終止量為b，平均增長率或平均降低率為x,那么經過兩次的增長或降低后的等量關系為a1 X2=b。3利潤問題利潤問題常用的相等關系式有：總利潤=總銷售價-總本錢；總利潤=單位利潤X總銷售量；利潤 =成本x利潤率4圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示岀來，建立 一元二次方程。第二十三章旋轉23.1圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點o轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點o叫做旋轉中心， 轉動的角叫做旋轉角。 我們把旋轉中心、旋轉角度

13、、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二 旋轉的性質旋轉的特征：1對應點到旋轉中心的距離相等； 2對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角； 3 旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：1圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。 2對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。 3圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三 利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質： 1任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；2對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心； 轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度作

14、旋轉角 截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點； 接：即連接到所連接的各點。23.2 中心對稱知識點一 中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的是兩個圖形的位置關系； 只有一個對稱中心； 繞對稱中心旋轉 180°兩個圖形能夠完全重合。 知識點二 作一個圖形關于某點對稱的圖形 要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最 后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成

15、中心對稱圖形。知識點三 中心對稱的性質有以下幾點：1關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；2關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；3關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行或共線且相等。知識點四 中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉 180 °，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心 對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五 關于原點對稱的點的坐標 在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p x,y 關于原點對稱點為 -x,-y 。第二十四章 圓24.1 圓24.1.1 圓知識點一 圓

16、的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段 0A繞它固定的一個端點 0旋轉一周，另一個端點 A所形成的圖 形叫作圓。固定的端點 0叫作圓心，線段 0A叫作半徑。第二種：圓心為 0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0的距離等于定長r的點的集合。比擬圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但 是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念1弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。2?。簣A上任意兩點間的局部叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧， 每一條弧都叫做半圓。3等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。4等弧：

17、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等 弧，而不是長度相等的弧。垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理CD, AB是弦，且CD1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如下列圖，直徑為丄AB,AM=BM垂足為A=BCAD=BD垂徑定理的推論：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M,丄ABAM=BM AC=BCAD=BDk注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑

18、定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否那么結論 不成立弧、弦、圓心角知識點 弦、弧、圓心角的關系1弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 也相等。2在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其 余的各組量也相等。3注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比方兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。圓周角知識點一圓周角定理1圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一 半。2圓周角定理的推論：半圓或直徑所對的

19、圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。3圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然∈遣荒芨臑椤巴一虻认业模衲敲淳筒怀闪⒘?，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。24.2點、直線、圓和圓的位置關系點和圓的位置關系知識點一點與圓的位置關系1(2)點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。 用數量關系表示：知識點二1以點點p在圓外占過點作圓經過一個點的圓如點假設設。 0

20、的半徑是r，點P到圓的距離0P=d那么有:> r ；點p在圓上 _d=r；點p在圓內 < _d_-AA外的任意一點如點 0為圓心，以0A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。2 經過兩點的圓如點 A、B以線段AB的垂直平分線上的任意一點如點0為圓心，以0A或0B為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。3經過三點的圓 經過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B C作圓，作法：連接 AB BC或AB AC或BC AC并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交

21、于點0,以點0為圓心，以0A或OB OC的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心(1) 經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。(2) 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四反證法(1) 反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原 命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。(2) 反證法的一般步驟： 假設命題的結論不成立； 從假設出發(fā)，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與等相矛盾的結論； 由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。直線和圓的位置關系知

22、識點一直線與圓的位置關系(1) 直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。(2) 直線與圓的位置關系可以用數量關系表示假設設。0的半徑是r，直線I與圓心0的距離為d,那么有：直線I和。0相交呂 < r ;直線I和。0相切d = r;直線I和。0相離> r。知識點二切線的判定和性質(1) 切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2) 切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。(3) 切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切 線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三 切線長定理(1) 切

23、線長的定義：經過園外一點作圓的切線， 這點和切點之間的線段的長， 叫做這點到圓的切線長。(2) 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩 條切線的夾角。(3) 注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是 一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內切圓和內心(1)三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角(2)三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心時，

24、過三角形的頂點和 內心的射線，必平分三角形的內角。2423圓和圓的位置關系知識點一圓與圓的位置關系(1) 圓與圓的位置關系有五種： 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種； 如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切兩種； 如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。(2) 圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示：假設設兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是 J2,且J V2,那么有 兩圓外離ri+2 兩圓外切r H=r l+2 兩圓相交r'工、i d v ri+2 兩圓內切 d=r 2-r i 兩圓內含Ud，2-r i24.3正多邊形和圓知識點一正多

25、邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成nn是大于2的自然數等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質(1) 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n個全等的直角三角形。(2) 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正 n

26、邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正 n邊形也是中心對稱圖形，正 n邊形的中心就是對稱 中心。(3) 正n邊形的每一個內角等于 52) i8° ，中心角和外角相等，等于 6。nn24.4弧長和扇形面積知識點一弧長公式i80C=2n R,所以n°的圓心角所對的弧長的計在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長 算公式 1= 門 X 2 n R= _R。360i80知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=n R，所以圓心角為n °的扇形的面積出_n R2'為S扇形=360比擬扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn):c n R2n R 11廠、1 心扇形=刼碩2R 2lR,所以s扇形2lR知識點三圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為I，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為 I，扇形的弧長為2 n r，因此圓錐的側1 2面積s圓錐側2 2 r 1rl。圓錐的全面積為Q1錐全Q1錐側s底rl r。25.1隨機事件與概率隨機事件知識點一 必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣 的事件稱為不可能事件；在一