抽取與內插的頻譜分析

1、抽取與內插的頻譜分析工科試驗班鐘匯凱3080100443我們知道，為了避免在抽樣信號中出現(xiàn)混疊，抽樣定理要求被抽樣的信號是一個帶限信號。然而，在實際應用中，絕大多數(shù)信號都不能滿足這個要求，為了減小混疊的影響以及放寬對濾波器性能指標的要求，在實際應用中往往采取一種提高抽樣率的辦法，使信號的抽樣率遠遠大于限帶濾波器通帶頻率的兩倍。例如，在下圖中，當抽樣頻率略大于限帶頻率前的兩倍時，混疊的影響還是很明顯的，而當抽樣頻率遠遠大于兩倍的.時，混疊的影響就非常之小了。雖然提高抽樣率可以減小混疊的影響，但是，在對連續(xù)時間信號進行處理的離散時間系統(tǒng)中，過高的抽樣率將增加系統(tǒng)的成本，因為，過高的抽樣率將要求離散

2、時間系統(tǒng)以較高的速率工作，而高速率器件的成本一般都要貴于低速率的器件?？梢栽O想，如果能對信號的抽樣率進行調整，使得在信號的抽樣和恢復中使用較高的抽樣率，在離散時間處理中使用較低的抽樣率，那么，上述性能和成本的矛盾就可以得到適當?shù)恼壑校x散時間信號的抽取和內插就是一種調整信號抽樣率的辦法。從技術性能層面來看。這兩種方法類似于連續(xù)時間信號的抽樣和內插。抽取離散時間信號的抽取包含信號抽樣和尺度變換兩個步驟：首先，以抽樣間隔N對離散時間信號進行抽樣，然后再對抽樣信號進行1/N的尺度壓縮變換。下圖是離散時間信號的抽取過程，圖中，xn是離散時間信號，xsn是抽樣信號，抽樣間隔N=3,xdn是抽取信號，它

3、是xsn進彳t1/N尺度壓縮變換后所得到的結果。AI那k.圖4.54離散時間信號的抽取由圖可見，在抽樣信號xsn和抽取信號xdn之間存在以下關系：由于抽樣信號xsn在N的整數(shù)倍上和離散時間信號xn相等，因此，式(4.55)也可等效為：皿(2)雖然式(1)和式(2)在形式上完全相同，但兩者的含義不同：式(1)的含義是，抽取信號xdn是由抽樣信號xsn進彳t1/N尺度壓縮變換的結果；而式(2)的含義是，抽取信號xdn是從離散時間信號xn中每隔(N-1)個點取一個樣本值所組成的一個新序列，這個過程就稱為離散時間信號的抽取。既然xdn是xsn進行尺度變換的結果，那么，利用xsn的傅里葉變換和傅里葉變換

4、的尺度換性質就可以求得抽取信號xdn的變換式。根據(jù)式(1)和傅里葉變換的尺度變換特性可以求得：而抽樣信號xsn的傅里葉變換為(4將此式代入式（3）而得：N七=0由于(4.59)N,抽取信號xdn的傅里葉變換為:此式表明，抽取信號的頻譜是被擴展N倍的離散時間信號的頻譜以2p為間隔周期重復的結果?；蛘哒f，抽取信號的頻譜由N個離散時間信號的頻譜疊加而成，這N個頻譜的頻帶被擴展了N倍，而且，每個頻譜之間相距2P。如果考慮抽取信號和抽樣信號之間的關系，那么，由式（3）可知，抽取信號的頻譜僅僅是抽樣信號頻譜擴展N倍的結果。下圖給出了當N=3時，離散時間信號、抽樣信號以及抽取信號的頻譜，其中，下圖a主要用來

5、說明抽取信號的頻譜和抽樣信號頻譜之間的關系，而下圖b主要用來說明抽取信號的頻譜和原序列頻譜之間的關系。八八八Q*-I2箝小上=口/八人入人7/T#3工膏3-11234x/3Ek-2:ihJ°/八/?人6內-2.T-J31,46t內插離散時間信號的內插是抽取的逆過程，它可以增加信號的抽樣率，因此，內插也稱為增抽樣。內插一般用來從抽取信號中還原出離散時間信號，其基本過程是在抽取信號的兩個相鄰樣本值之間插入（N-1）個零值點，這也是從抽取信號到抽樣信號的轉換，然后再利用一個低通濾波器濾出原離散時間信號，整個過程的相關波形及系統(tǒng)結構如圖。根據(jù)內插的定義，當n/N為整數(shù)時，抽取信號xdn和內插

6、信號xin的關系為：再勺俳內而當福不為整數(shù)時，xin=0。根據(jù)這個定義可將抽取信號表示為：0網(wǎng)=雙颯|（5）再利用尺度變換性質，可以求得：叱該式表明，內插信號的頻譜式"是對抽取信號的頻譜“式/門）進行尺度壓縮變換的結果，其尺度因子為1/N。如果使內插信號通過一個截止頻率為南m的低通濾波器"Z）,則濾波器的輸出就是離散時間信號xn,這樣，我們就從抽取信號中還原出了原來的離散時間信號，整個還原過程的相關頻譜如圖所示，圖中假設內插因子N=3。八八八九八八八,1#圭*，川2jfin05KFileEditViewinsertToolsDesktop.VindowHelp名，晶|4|曳R6向夏/圖19周-n舉例與MATLAB分析抽取Xones(1,11)X1=X2NX2=X3NMATLAB仿真6420-2642。小6420-26420-264204ONotenewtoolbarbuttons:djj巨-hingfitPl辦，ji匚Ie。0050505內插x1=zeros(1,18),1,1,1,1,1,zeros(1,18);x2=