小波變換的理解

1、由于小波變換的知識涵蓋了調(diào)和分析，實變函數(shù)論，泛函分析及矩陣論，所以沒有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很難學(xué)好小波變換.但是對于我們工科學(xué)生來說，重要的是能利用這門知識來分析所 遇到的問題.所以個人認(rèn)為并不需要去詳細學(xué)習(xí)調(diào)和分析，實變函數(shù)論，泛函分析及矩陣論等數(shù)學(xué)知識.最重要是的理解小波變換的思想！ 從這個意義上說付立葉變換這一關(guān)必需得過！ 因為小波變換的基礎(chǔ)知識在付立葉變換中均有提及，我覺得這也就是很多小波變換的書都將付立葉分析作為其重要內(nèi)容的原因.所以我認(rèn)為學(xué)習(xí)小波應(yīng)從數(shù)字信號處理中的付立葉分析開始.當(dāng)然也可從信號與系統(tǒng)這本書開始.然后再看楊福生老師的小波變換書.個人覺得他的書最能為工科學(xué)生所接受.2信號

2、的分解付立葉級數(shù)將周期信號分解為了一個個倍頻分量的疊加，基函數(shù)是正交的，也就是通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正交基.通過分解我們就能將特定的頻率成分提取出來而實現(xiàn)特定的各種需要，如濾波，消噪等.付立葉變換則將倍頻譜轉(zhuǎn)換為了連續(xù)譜，其意義差不多.小波變換也是一種信號分解思想：只不過它是將信號分解為一個個頻帶信號的疊加.其中的低頻部分作為信號的近似，高頻部分作為信號的細節(jié). 所謂的細節(jié)部分就是一組組小波分量的疊加，也就是常說的小波級數(shù).3小波變換的時頻分析思想付立葉變換將信號從時域變換到了頻域，從整體上看待信號所包含的頻率成分.對于某個局部時間點或時間段上信號的頻譜分析就無能為力了，對于我們從事信號的奇異性檢測的

3、人來說，付立葉變換就失去了意義 （包括加窗付立葉變換）.因為我們要找的是信號的奇異點（時域方面）和奇異點處所包含的頻帶（頻域方面）也就是說需要一種時頻分析方法.當(dāng)然能有純時域的分析方法更好?。〒?jù)說數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)能達到這種效果）.小波變換之所以可以檢測信號的奇異點，正在于它的"小”.因為用小的波去近似奇異信號要比正弦波要好的多. 4小波變換的實質(zhì) 小波變換的公式有內(nèi)積形式和卷積形式，兩種形式的實質(zhì)都是一樣的.它要求的就是一個個小波分量的系數(shù)也就是"權(quán)".其直觀意義就是首先用一個時窗最窄，頻窗最寬的小波作為尺子去一步步地"量"信號， 也就是去比較信號與

4、小波的相似程度.信號局部與小波越相似，又去一步步地比則小波變換的值越大，否則越??！當(dāng)一步比較完成后，再將尺子拉長一倍,較， 從而得出一組組數(shù)據(jù)如此這般循環(huán)，最后得出的就是信號的小波分解（小波級數(shù)） 然這只是一種粗略的解釋5連續(xù)小波變換，二進小波變換與離散小波變換的關(guān)系當(dāng)尺度及位移均作連續(xù)變化時，可以理解必將產(chǎn)生一大堆數(shù)據(jù)，作實際應(yīng)用時并不需要這么多的數(shù)據(jù)，因此就產(chǎn)生了離散的思想將尺度作二進離散就得到二進小波變換，同時也將信號的頻帶作了二進離散當(dāng)覺得二進離散數(shù)據(jù)量仍顯大時，同時將位移也作離散就得到了離散小波變換！6 MALLAT 算法的意義想必大家都注意到，小波變換是以內(nèi)積或卷積的形式實現(xiàn)的，這

5、給數(shù)值計算帶來了不利之處，因為用計算機作數(shù)值積分其計算量大MALLAT 算法則解決了這一問題，它不涉及小波的具體形式，只是對系數(shù)進行操作！其計算也就是用高通及低通濾波系數(shù)與小波系數(shù)作卷積因為作信號處理時，我們往往并不關(guān)心小皮的具體形式，更為關(guān)心小波系數(shù)需提出的是該算法僅適用于正交小波如果小波不是正交的（如B樣條小波）則算法失效！7小波變換的模極大值及其意義對于我們搞信號奇異性檢測的人來說，小波變換最重要的應(yīng)用就是用模極大值定值奇異點我覺得模極大值可以從兩個方面去理解：第一，從直觀角度，上文已說明小波變換的實質(zhì)就是一種度量波形相似程度的方法信號與小波越相似，則小波系數(shù)越大這也就可理解為出現(xiàn)了小波

6、變換的模極大值因為當(dāng)信號出現(xiàn)奇異點時，或是間斷點，或是一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點， 其在各個尺度下都將必然出現(xiàn)大的小波系數(shù)從而可以定位奇異點！第二個方面從小波的取法來看，當(dāng)小波取為光滑函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時，從公式可以推導(dǎo)出小波變換將出現(xiàn)模極大值點或是過零點也就是很多書上說的模極大值檢測和零交叉檢測這些可以查書看！我只談?wù)勥B續(xù)小波變換，對于離散的也有同樣的argument 。小波函數(shù)的dilation 和translation 是這樣一個形式：1/sqrt|s|psi （ （x-u）/s ） ， s 是 scale ， u 是該小波atom的 center 。由于根據(jù)定義，小波的積分是0 ，也就是說小

7、波函數(shù)的傅立葉變換在零點為零。再有于小波函數(shù)的傅立葉變換一般是連續(xù)的（比如如果小波是屬于L_1 的），這樣在0 的一個小臨域小波的傅立葉變換很接近零，這也就是說小波函數(shù)的傅立葉變換可以看成某個高通濾波器的 transfer function ， 這樣小波變換W（ f） 實際是在measure 該函數(shù) f 在 u 點附近的 variation 。從這個角度看的話，如果小波的寬度很大（對應(yīng)尺度s 很大），該函數(shù)在該小波的窗口下的variation 就很大；如果小波的寬度小（對應(yīng)尺度s ?。?，則函數(shù)在該小波的窗口下的variation 就相對比較?。ǔ切盘柺莊ractal ，呵呵）。小波情結(jié)到了小

8、波版很久，總覺得應(yīng)該寫些什么。這篇文章也就獻給那些所有正在研究或即將研究小波的同學(xué)、老師和科研人員們。這是篇與技術(shù)無關(guān)的文章，撰寫的是我對小波的感受。從我開始接觸小波，研究小波，到迷戀小波的真實記錄。因此， 我把它起名叫小波情結(jié)。剛開始，接觸小波的時候在研一。關(guān)于老師布置的從頻域構(gòu)造一種小波的作業(yè)開始。后來我才知道，這種小波本質(zhì)上就是meyer 小波。當(dāng)時，就一個字，嫩。實際上就是對小波毫無所知。腦子里就是一疊的公式。正交條件，容許條件等一大堆，與概念理解相差甚遠的東東。但，還是樂此不疲的編程?？傁肟纯矗矣H手締造的小波長的是什么樣，也有些略帶孩子氣的，想把它作為桌面和自己的酷酷頭像之類的欲望

9、。于是，十一的頭三天，我基本上閉門造車。當(dāng)時，我用的是matlab ，也是我最后得到哭笑不得結(jié)果的直接的助手與幫兇。因為構(gòu)造的過程的起始，我就把函數(shù)離散化了。緊接著就是平移，對乘，積分，抽取，插值，dsp 里的一套 trick 把我搞得叫苦不迭。程序也累計到了1000 行左右。當(dāng)時，最可恨的就是對點，由于 dsp 下標(biāo)的 1 ， 2， 3 離散化，所以我也就用手指開始傻傻的算。連續(xù)幾天晚上鏖戰(zhàn)，終于在 3 號的晚上。通過IFFT 后，美妙的波形出來了。注意，美妙和丑陋只有一步之遙。這是我的對小波的第一課體會。當(dāng)我一看屏幕，瘋了，徹底瘋了。一個DELTA 函數(shù)類似的波形， 就在我眼前。心想： 忙

10、乎了三天，整了個 DELTA 函數(shù)出來。這難道就是回報嗎？別急，小波是緊支撐的啊。概念上對頭，一定是取點的問題。我便拿起MATLAB 自帶的照妖鏡（放大鏡）一看，呵呵，一個差強人意的波形就在我眼前了。我當(dāng)時大喊一聲，爽，那時已經(jīng)凌晨 2:00 。第一次的經(jīng)歷，對我來說收獲很豐。然后，第二次挑戰(zhàn)，則是徹底改變我對小波是個深不可測的家伙的看法。這次作業(yè)，就是用剛才構(gòu)造的小波，做消噪。我這次，又一次的想起，愛情格言：我心靈的古堡經(jīng)不起你輕輕的一擊。女生問：結(jié)果呢？回答：碎了。一個如此，不精確的波形，怎么能消噪呢？而且，當(dāng)時老師要用連續(xù)小波的方法。也就是內(nèi)積求和的方法。我和同學(xué)，首先合作，用mathm

11、atic 做了個好一點的波形。因為，除最后一步，反傅里葉變換外，其他都是解析的。然后，一個困擾我許久的問題產(chǎn)生了。一個函數(shù)可以由無窮多個小波的膨脹和伸縮疊加起來。那么，我把函數(shù)從-inf 到 +inf 積分，假設(shè)函數(shù)有直流分量， 所以積分不為零。但是小波，積分卻為零。這不是矛盾嗎？后來，也就是研二我才知道，有些時候積分后不可以交換。還有，其實有限的小波逼近，必須加上尺度函數(shù)才可以。但當(dāng)時， 我們只是采用了把小波的支撐取寬的辦法解決了此問題。但， 我由于不太喜歡這種方法的冗長和費時，所以想令辟蹊徑。于是，mallet 一個令我崇拜的算法，終于在我閱讀超星的時候，跳在了我生命里。首先，便是看冗長的

12、證明，勉強理解了。當(dāng)看到濾波器組的解釋后，我開始豁然開朗。這是我熟悉的dsp 概念。因此，我花了一晚上，把這個算法徹底搞懂了。但概念的理解和程序的成功編制，還是有一小步，就是這一步，使無數(shù)英雄竟折腰。我的幸運之神便是MATLAB 里的 DEMO 。那個里面，有一個詳細的算法解釋。并且從哪里我知道了些怪怪的函數(shù)。WKEEP(),DYADDOWN(),DYADUP() 等等。而且，又一個問題，理論和實際差別產(chǎn)生了。這個問題甚至現(xiàn)在，還困擾著很多的小波工作者。一個長度為100 的信號，分解后理論上高頻 50, 低頻 50 。但用卷積算法，假設(shè)濾波器長度為10 。因此總長度109 ，做抽取后長度 55

13、 。多了5 。這怎么辦呢。我去問了很多老師，回答都一樣。就是MATLAB 里用的函數(shù)WKEEP() 。把兩頭丟掉。當(dāng)時我勉強接受了這個結(jié)果。但始終有個概念，小波變換就是正交變換，它和傅里也變換一樣，一定可以寫成正交陣的形式。第二次作業(yè)的完成，我的小波課結(jié)束了。但我的小波情結(jié)還在繼續(xù)。關(guān)于，正交陣的猜想還在困擾著我。一本電磁場和小波結(jié)合的外文書籍，幫助了我。圓周卷積的概念，歷歷在目。是呀， 卷積對著傅里葉變換，而圓周卷積對應(yīng)著離散傅里葉變換。這就是連續(xù)與離散的區(qū)別和聯(lián)系啊。于是我用db 小波，構(gòu)造了一個完全正交的矩陣。當(dāng)我把這個矩陣和它的轉(zhuǎn)置相乘的時候，單位陣出來了。那天，我高興得流淚。最終，我

14、把圓周卷積用快速傅里葉變換實現(xiàn)出來。今后的日子，我便覺得，思維的水再也關(guān)不住了。步步為營，我實現(xiàn)了db 小波的時域構(gòu)造，采用矩陣特征向量法和casade 理論兩種解法，我都成功了。慢慢的我開始醉心于消失矩，開始懂得框架，開始懂得雙正交。然后就是，PR 條件，二代小波，小波插值，因子化，等等。于是，我也在研學(xué)一邊和大家交流，一邊閱讀大量書籍和文獻，而且實現(xiàn)里面的每一個例子和思想。當(dāng)我們還在覺得自己懂點小波的時候，美國人已把它用于指紋壓縮，產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟和社會效益；當(dāng)我們，還在對二代不屑一顧的時候，一個叫JPEG2000 標(biāo)準(zhǔn)的東東，徹底給我們上了一課。當(dāng)我們，還在國家著名期刊上，打著錯誤的提升

15、公式的時候，當(dāng)我們，還在為些不值一提的程序保密的時候，一個叫各相異性小波的東東又開始蠢蠢欲動?？纯茨切┐髱焸儼?，看看他們的態(tài)度，再看看我們，我們努力的夠嗎。你說看不懂文獻，我就要問你，你看了一遍，十遍，還是一百遍呢？如果說你認(rèn)為是高手，你是否寫了超過10 萬行以上小波的代碼，看了10 本以上的書，100 篇的文獻，實現(xiàn)里面所有的例子和思想了呢。我們差得很遠。但是我們服氣嗎，我們認(rèn)輸了嗎，我們不再努力了嗎。什么時候有中國的JPEG2008 呢，什么時候我們能毫無保留的進行坦誠的交流和無私的分享呢，什么時候我們把學(xué)術(shù)的銅臭撥掉，把做小波看成一次和上蒼對話的機會，和真理的交鋒呢。我始終在問自己這些問題。為關(guān)于學(xué)術(shù)的單純的問題。我找到了答案。在研學(xué)上。因此，我毫無保留的幫助大家，同時也在修正自己。我開始變得勤奮，開始編每個需要的程序，而基本上不用