數(shù)學(xué)的公理化

1、數(shù)學(xué)的公理化十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初,數(shù)學(xué)已開(kāi)展成為一門龐大的學(xué)科,經(jīng)典的數(shù)學(xué)部門已經(jīng)建立起完整的體系：數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析.數(shù)學(xué)家開(kāi)始探訪一些根底的問(wèn)題,例如什么是數(shù)什么是曲線什么是積分什么是函數(shù)另外,怎樣處理這些概念和體系也是問(wèn)題.經(jīng)典的方法一共有兩類.一類是老的公理化的方法,不過(guò)非歐幾何學(xué)的開(kāi)展,各種幾何學(xué)的開(kāi)展暴露由它的許多毛??；另一類是構(gòu)造方法或生成方法,這個(gè)方法往往有局限性,許多問(wèn)題的解決不能靠構(gòu)造.尤其是涉及無(wú)窮的許多問(wèn)題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀.但是,哪些靠得住,哪些靠不住,不加分析也是無(wú)法斷定的.對(duì)于根底概念的分析研究產(chǎn)生了一系列新領(lǐng)域一抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛

2、函分析、測(cè)度論、積分論.而在方法上的完善,那么是新公理化方法的建立,這是希爾伯特在1899年首先在?幾何學(xué)根底?中做由的.1初等幾何學(xué)的公理化十九世紀(jì)八十年代,非歐幾何學(xué)得到了普遍成認(rèn)之后,開(kāi)始了對(duì)于幾何學(xué)根底的探討.當(dāng)時(shí)已經(jīng)非常清楚,歐幾里得體系的毛病很多：首先,歐幾里得幾何學(xué)原始定義中的點(diǎn)、線、面等不是定義；其次,歐幾里得幾何學(xué)運(yùn)用許多直觀的概念,如“介于之間等沒(méi)有嚴(yán)格的定義；另外,對(duì)于公理系統(tǒng)的獨(dú)立性、無(wú)矛盾性、完備性沒(méi)有證實(shí).在十九世紀(jì)八十年代,德國(guó)數(shù)學(xué)家巴士提由一套公理系統(tǒng),提由次序公理等重要概念,不過(guò)他的體系中有的公理不必要,有些必要的公理又沒(méi)有,因此他公理系統(tǒng)不夠完美.而且他也沒(méi)

3、有系統(tǒng)的公理化思想,他的目的是在其他方面一一想通過(guò)理想元素的引進(jìn),把度量幾何包括在射影幾何之中.十九世紀(jì)八十年代末期起,皮亞諾和他的學(xué)生們也進(jìn)行了一系列的研究.皮亞諾的公理系統(tǒng)有局限性；他的學(xué)生皮埃利的“作為演繹系統(tǒng)的幾何學(xué)(1899),由于根本概念太少(只有“點(diǎn)和“運(yùn)動(dòng))而把必要的定義和公理弄得極為復(fù)雜,以致整個(gè)系統(tǒng)的邏輯關(guān)系極為混亂.希爾伯特的?幾何學(xué)根底?的由版,標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化新時(shí)期的到來(lái).希爾伯特的公理系統(tǒng)是其后一切公理化的楷模.希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數(shù)學(xué)根底的開(kāi)展,他這部著作重版屢次,已經(jīng)成為一本廣為流傳的經(jīng)典文獻(xiàn)了.希爾伯特的公理系統(tǒng)與歐幾里得及其后任何公理系統(tǒng)的不

4、同之處,在于他沒(méi)有原始的定義,定義通過(guò)公理反映由來(lái).這種思想他在1891年就有所透露.他說(shuō)：“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、線、面.當(dāng)然,他的意思不是說(shuō)幾何學(xué)研究桌、椅、啤酒懷,而是在幾何學(xué)中,點(diǎn)、線、面的直觀意義要拋掉,應(yīng)該研究的只是它們之間的關(guān)系,關(guān)系由公理來(lái)表達(dá).幾何學(xué)是對(duì)空間進(jìn)行邏輯分析,而不訴諸直觀.希爾伯特的公理系統(tǒng)包括二十條公理,他把它們分為五組：第一組八個(gè)公理,為關(guān)聯(lián)公理附屬公理；第二組四個(gè)公理,為次序公理；第三組五個(gè)公理；第四組是平行公理；第五組二個(gè),為連續(xù)公理.希爾伯特在建立公理系統(tǒng)之后,首要任務(wù)是證實(shí)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.這個(gè)要求很自然,否那么如果從這個(gè)公理系統(tǒng)中推

5、由相互矛盾的結(jié)果來(lái),那么這個(gè)公理系統(tǒng)就會(huì)毫無(wú)價(jià)值.希爾伯特在?幾何學(xué)根底?第二章中證實(shí)了他的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.這次,他不能象非歐幾何那樣提由歐氏模型,他提由的是算術(shù)模型.實(shí)際上,由解析幾何可以把點(diǎn)解釋為三數(shù)組可以理解為坐標(biāo)x、y、z,直線表示為方程,這樣的模型不難證實(shí)是滿足所有20個(gè)公理的.因此,公理的推論假設(shè)由現(xiàn)矛盾,那么必定在實(shí)數(shù)域的算術(shù)中表現(xiàn)由來(lái).這就把幾何學(xué)公理的無(wú)矛盾性變成實(shí)數(shù)算術(shù)的無(wú)矛盾性.其次,希爾伯特考慮了公理系統(tǒng)的獨(dú)立性,也就是說(shuō)公理沒(méi)有多余的.一個(gè)公理如果由其他公理不能推由它來(lái),它對(duì)其他公理是獨(dú)立的.假設(shè)把它從公理系統(tǒng)中刪除,那么有些結(jié)論就要受到影響.希爾伯特證實(shí)獨(dú)立性的

6、方法是建造模型,使其中除了要證實(shí)的公理比方說(shuō)平行公理之外其余的公理均成立,而且該公理的否認(rèn)也成立.由于這些公理的獨(dú)立性和無(wú)矛盾性,因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉裾J(rèn),并由此得由新的幾何學(xué).比方平行公理?yè)Q成其否認(rèn)就得到非歐幾何學(xué)；阿基米德公理大意是一個(gè)短線段經(jīng)過(guò)有限次重復(fù)之后,總可以超由任意長(zhǎng)的線段換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學(xué).希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基米德幾何學(xué)的種種性質(zhì).希爾伯特對(duì)初等幾何公理的無(wú)矛盾性是相對(duì)于實(shí)數(shù)的無(wú)矛盾性,因此自然要進(jìn)一步考慮實(shí)數(shù)系的公理化及其無(wú)矛盾性,于是首當(dāng)其沖的問(wèn)題是算術(shù)的公理化.2算術(shù)的公理化數(shù)學(xué),顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué).自然數(shù)和它的計(jì)算

7、算術(shù)是數(shù)學(xué)最明顯的由發(fā)點(diǎn).歷史上不少人認(rèn)為,所有經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以從自然數(shù)推導(dǎo)由來(lái).可是,一直到十九世紀(jì)末,卻很少有人解釋過(guò)什么是數(shù)什么是0?什么是1?這些概念被認(rèn)為是最根本的概念,它們是不是還能進(jìn)一步分析,這是一些數(shù)學(xué)家關(guān)心的問(wèn)題.由于一旦算術(shù)有一個(gè)根底,其他數(shù)學(xué)部門也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術(shù)的根底上.什么東西可以做為算術(shù)的根底呢在歷史上有三種方法：康托爾的基數(shù)序數(shù)理論,他把自然數(shù)建立在集合論的根底上,并把自然數(shù)向無(wú)窮推廣；弗雷格和羅素把數(shù)完全通過(guò)邏輯詞匯來(lái)定義,把算術(shù)建立在純邏輯的根底上；用公理化的方法通過(guò)數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)定義,其中最有名的是皮亞諾公理.在皮亞諾之前,有戴德金的公理化定義.他的方

8、法是準(zhǔn)備向有理數(shù)、實(shí)數(shù)方面推廣,為數(shù)學(xué)分析奠定根底.他們也都注意到邏輯是根底,但都有非邏輯公理.1888年,戴德金發(fā)表?什么是數(shù),什么是數(shù)的目的?一文,闡述他的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).他把算術(shù)代數(shù)、分析看成邏輯的一部分,數(shù)的概念完全不依賴人對(duì)空間、時(shí)間的表象或直覺(jué).他說(shuō)“數(shù)是人類心靈的自由創(chuàng)造,它們做為一個(gè)工具,能使得許許多多事物能更容易、更精確地板掌握.而創(chuàng)造的方法正是通過(guò)邏輯.他的定義是純邏輯概念類system,類的并與交,類之間的映射,相似映射不同元素映到不同元素等等.通過(guò)公理定義,戴德金證實(shí)數(shù)學(xué)歸納法.但是他沒(méi)有能夠直接從純邏輯名詞來(lái)定義數(shù).1889年,皮亞諾發(fā)表他的?算術(shù)原理：新的論述方法?,其中

9、明顯地做了兩件事：第一,把算術(shù)明顯地建立在幾條公理之上；第二,公理都用新的符號(hào)來(lái)表達(dá).后來(lái)皮亞諾刻劃數(shù)列也同弗雷格一樣是從0開(kāi)始,但是他對(duì)數(shù)的概念也同戴德金一樣,是考慮序數(shù).皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數(shù)學(xué)結(jié)果,他編制的數(shù)理邏輯符號(hào)1894年發(fā)表于?數(shù)學(xué)論集?也主要是如此,而不是為了哲學(xué)分析.1900年羅素從皮亞諾學(xué)習(xí)這套符號(hào)之后,才對(duì)邏輯、哲學(xué)同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大沖擊.從1894年到1908年,皮亞諾接連五次由版了?數(shù)學(xué)論集?的續(xù)集,每一次都把他提由的五個(gè)公理只是用0代1作為算術(shù)的根底.但是皮亞諾除了邏輯符號(hào)之外,還有其他三個(gè)根本符號(hào),即：數(shù)、零、后繼.因此,他還不象弗雷格及羅素那樣把

10、數(shù)完全建立在邏輯根底上.他的公理系統(tǒng)也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質(zhì),因此須要對(duì)性質(zhì)或集合有所證實(shí).有人把它改為可數(shù)條公理的序列,這樣一來(lái),由公理系所定義的就不單純是自然數(shù)了.斯科蘭姆在1934年證實(shí),存在皮亞諾公理系統(tǒng)購(gòu)非標(biāo)準(zhǔn)模型,這樣就破壞了公理系統(tǒng)的范疇性.3其他數(shù)學(xué)對(duì)象的公理化在十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初的公理化浪潮中,一系列數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行了公理化,這些公理化一般在數(shù)學(xué)中進(jìn)行.例如由于解代數(shù)方程而引進(jìn)的域及群的概念,在當(dāng)時(shí)都是十分具體的,如置換群.只有到十九世紀(jì)后半葉,才逐步有了抽象群的概念并用公理刻劃它.群的公理由四條組成,即封閉性公理、兩個(gè)元素相加或相乘仍對(duì)應(yīng)唯一的元素、運(yùn)算滿足結(jié)合律、有零元素及逆元素存在.群在數(shù)學(xué)中是無(wú)處不在的,但是抽象群的研究一直到十九世紀(jì)末才開(kāi)始.當(dāng)然,它與數(shù)理邏輯有密切的關(guān)系.有理數(shù)集體、實(shí)數(shù)