矩陣的秩與行列式的意義

1、這里首先討論一個(gè)長(zhǎng)期以來(lái)困惑工科甚至物理系學(xué)生的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即，究竟什么是面積，以及面積的高維推廣（體積等）？1關(guān)于面積：一種映射大家會(huì)說(shuō)，面積，不就是長(zhǎng)乘以寬么，其實(shí)不然。我們首先明確，這里所討論的面積，是歐幾里得空間幾何面積的基本單位：平行四邊形的面積。平行四邊形面積的定義，幾何上說(shuō)是相鄰兩邊邊長(zhǎng)乘以他們之間的夾角的正弦。然而為了應(yīng)對(duì)更一般情形和更高維度的數(shù)理問(wèn)題，我們有必要把面積的定義推廣開(kāi)來(lái)。注意到以下事實(shí)：面積是一個(gè)標(biāo)量，它來(lái)自于（構(gòu)成其相鄰邊）兩個(gè)矢量。因此，我們可以將面積看成一個(gè)映射：中:關(guān)（M）X笑（M）T3（河）,vXV/其中V就是一個(gè)矢量，V*V代表兩個(gè)矢量的有序?qū)?；f就

2、是面積的值。下面我們將說(shuō)明這個(gè)映射是一個(gè)線性映射。從最簡(jiǎn)單的例子出發(fā)。如果第一個(gè)矢量是（1,0）,第二個(gè)矢量是（0,1）;也就是說(shuō)，兩個(gè)矢量分別是X和丫軸上的單位正向量，那么由這兩個(gè)矢量張成的四邊形就是一個(gè)正方形，其面積根據(jù)定義，就是長(zhǎng)乘以寬=1*1=1。(p(a,b)-11Ab因此有：以(1,0),(0,1)=1a倍；把第二個(gè)矢量縮放”b倍，面積也會(huì)成為ab倍。這表明，面積映射對(duì)于其兩個(gè)操作數(shù)如果我們把第一個(gè)矢量”縮放“a倍，面積將會(huì)相應(yīng)是原來(lái)的原來(lái)的b倍。如果同時(shí)縮放，很顯然，面積將會(huì)變成原面積的0),(0»1)=a(h0),(0,1)（矢量）的標(biāo)量積是各自線性的，如下：一勺(口

3、(10)，b(0,1)二以功(1,0)4。J)=最后，我們要說(shuō)明，面積映射對(duì)于其操作數(shù)（矢量）的矢量加法也是線性的。因?yàn)槭噶考臃ú僮鞯谋旧硎蔷€性的，那么其面積映射理應(yīng)對(duì)此也是一個(gè)線性映射。這里我們打算從幾個(gè)實(shí)際的例子出發(fā)，說(shuō)明映射的加法線性性的后果。顯然（兩個(gè)共線矢量所張成的平行四邊形還是一條線，因此面積為o:(p1a,b-=0=0假定面積映射是一個(gè)關(guān)于矢量加法的線性映射，那么我們有:注意計(jì)算過(guò)程中用到了上面的結(jié)論。這說(shuō)明:夕(1,0),(0,1)=一儀(0,1),(1,0)也就是說(shuō)，交換相互垂直操作數(shù)矢量的順序，面積映射取負(fù)。孰正孰負(fù)取決于認(rèn)為的定義。一般，我們把X軸單位矢量在前，丫軸單位矢

4、量在后，從X軸到Y(jié)軸張成的一個(gè)平行四邊形的面積，取做正號(hào)。右手定則由此我們引入右手定則。注意右手定則只在三維空間中有效。如果以X正方向?yàn)槭祝琘正方向?yàn)槲?，右手定則告訴我們，紙面向外是面積的正方向；如果反過(guò)來(lái)，那么紙面向內(nèi)就是該面積的正方向，與規(guī)定的正方向相反，取負(fù)號(hào)。那么面積正負(fù)號(hào)的幾何意義就明顯了。由此，我們不難得到平面內(nèi)任意兩個(gè)矢量所張成的平行四邊形的面積(*):8(ab),(Gd)二3(磯1,0),磯0,1)+8佐(0,1),。(1,0)=。"一我們不難看到，所謂面積就是一個(gè)2X2矩陣的行列式:如下圖。(p(a.b)=-abb其中第一行就是我們的第一個(gè)行向量(a,b)；第二行就

5、是第二個(gè)行向量(c,d)o或者第一列是第一個(gè)列向量(a,b)AT,第二列是第二個(gè)列向量(c,d)AT。這取決于我們把矢量寫成行向量(前者)還是列向量(后者)的形式。行列式的計(jì)算性質(zhì)由此我們很容易能發(fā)現(xiàn)，行列式的值與把矢量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無(wú)關(guān)的。這也就是為什么說(shuō)，在計(jì)算行列式時(shí)，行和列的地位是對(duì)等的。并且注意到，由上述分析，交換矢量的順序，面積的值取負(fù)號(hào)，這也就是為什么行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負(fù)號(hào)的原因。另外，行列式的其他計(jì)算性質(zhì)，都一一反映在面積映射的線性性之中。由此我們可見(jiàn)，行列式就是關(guān)于面積”的推廣。他就是在給定一組基下，N個(gè)向量張成的一個(gè)N維廣義

6、四邊形的體積。這就是行列式的本質(zhì)含義。2,行列式的推廣由上，我們可以輕松推廣到三維體積的計(jì)算:注意到，行列式的定義，是每一行各取一個(gè)不同列的元素的乘積并且符號(hào)和所謂的逆序性有關(guān)（PARITY）。所謂逆序性，其幾何意義就是在規(guī)定了一個(gè)正方向之后（比如從1,2,3,4,5.N這個(gè)順序定義為正號(hào)），交換任意一對(duì)數(shù)都取一次負(fù)號(hào)。這樣的性質(zhì)我們?cè)谏鲜龅拿娣e函數(shù)中已經(jīng)有所看到，實(shí)際上體積，更高維度的廣義體積，也有正方向之說(shuō)，只不過(guò)已經(jīng)難以用右手法則（以及叉乘）來(lái)形象說(shuō)明罷了。右手定則的局限性也是將高維面積推廣成行列式表達(dá)的一個(gè)動(dòng)機(jī)之一。對(duì)于這種交換任何一對(duì)指標(biāo)（操作數(shù)）就改變符號(hào)的性質(zhì)，我們叫做：反對(duì)稱（

7、ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘積，是因?yàn)槿绻腥我鈨蓚€(gè)元素是同行（列）的，那么交換他們的列指標(biāo)，乘積不變但符號(hào)要相反，這乘積必須是0,也就是在行列式的值中不予體現(xiàn)。行列式的定義之所以這么冗雜，就是來(lái)自于面積映射的反對(duì)稱性。實(shí)際上面積映射是一個(gè)2-FORM,把2-FORM拓展到任意的R-FORM,我們能看到R-FORM的形式和一個(gè)R乘R矩陣的行列式是完全一致的。由上我們已經(jīng)可以看到，2-FORM代表的是平面內(nèi)的面積；3-FORM自然而然就是3維空間內(nèi)的體積；4-FORM是4維空間里的超體積。以此類推。而實(shí)際上，由上我們已經(jīng)看到，將這些矢量在給定的基坐標(biāo)下寫成矩陣（

8、必定是方陣），矩陣的行列式就是對(duì)應(yīng)的面積（體積）。這個(gè)推廣的證明各位應(yīng)該能在任何一本線性代數(shù)的專門教材中看到（如果沒(méi)有的話可以自證）。3,線性無(wú)關(guān)的幾何意義記空間的維度為N,給定一組矢量，什么是他們線性無(wú)關(guān)性？我們下面將說(shuō)明，一組矢量的線性相關(guān)性本質(zhì)上，是描述他們所張成的廣義平行四邊形體積是否為NULL（零）。我們?nèi)匀粡淖詈?jiǎn)單的2維空間出發(fā)。如果兩個(gè)2維空間的向量是線性相關(guān)的，那么就是說(shuō)，其中一個(gè)與另外一個(gè)共線，也就是說(shuō)，他們所張成的四邊形，面積是零。反之，如果線性無(wú)關(guān)，則不共線，則面積不為O同理，如果三個(gè)三維空間的向量是線性無(wú)關(guān)的，那么他們?nèi)呔筒还裁妗Ｒ虼怂麄兯鶑埑傻钠叫辛骟w，體積不是零

9、。更進(jìn)一步地，我們知道，二維空間如果給定三個(gè)向量，他們必定共面（二維空間內(nèi)不可能存在一個(gè)體積”），因此他們必定線性相關(guān)。推而廣之，我們不難理解，為什么一個(gè)維度為N的空間內(nèi)，任意一組M個(gè)向量（M>N）必定線性相關(guān)了：因?yàn)榫S度大于空間維度的超平形四邊體不存在。由此我們得到一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：N個(gè)向量線性無(wú)關(guān)=他們所弓成的N維體體積不為零反之，如果N個(gè)向量線性相關(guān)，那么他們所張成N維體，體積為零。例如，一對(duì)共線矢量張成的平行四邊形，退化成一個(gè)線，其面積顯然是0;一組共面的三個(gè)矢量張成的平行六面體，退化成一個(gè)面，其體積顯然是0。因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道行列式與面積的關(guān)系，因此我們有結(jié)論：線性無(wú)關(guān)矢量組成

10、的矩陣的行列式不為零；線性相關(guān)矢量組成的矩陣的行列式必為零。4,行列式與矩陣的逆我們知道，行列式為0的矩陣，不可逆；行列式不為零的矩陣，可逆。注意我們?yōu)楹?jiǎn)便起見(jiàn)，只討論方陣的行列式。因此我們不禁要問(wèn)，代表面積的行列式，是如何和線性變換的可逆性聯(lián)系在一起的呢？當(dāng)我們理解了線性變換的幾何意義之后，就不難解答了。我們現(xiàn)陳述如下：記線性變換的矩陣為Ao如果我們把空間中一組線性無(wú)關(guān)的矢量都寫成列向量的形式，那么他們所張成的N維體體積不為零，根據(jù)上面的分析，其值由行列式給出。向量經(jīng)過(guò)線性變換A變換之后，得到的新向量形式如下：記=AX孱i1)n注意到A是一個(gè)N*N的矩陣，向量是列向量。變換前，N維體的體積是

11、：V=I過(guò)2ctn變換之后，N維體的體積是(注意到，第二個(gè)等式實(shí)際上說(shuō)明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是N*N矩陣A和另外一個(gè)N個(gè)列向量組成的N*N矩陣的乘法)：禹宓司|=A.(%波=|川|過(guò)1也一.'A的行列式如果不為零，則代表這個(gè)變換后，N維體的體積不是NULLo又結(jié)合線性無(wú)關(guān)與體積的性質(zhì)，我們可以說(shuō)：如果A的行列式不為零，那么A可以把一組線性無(wú)關(guān)的矢量，映射成一組新的，線性無(wú)關(guān)的矢量；A是可逆的（一對(duì)一的映射，保真映射，KERNEL是0）如果A的行列式為零，那么A就會(huì)把一組線性無(wú)關(guān)的矢量，映射成一組線性相關(guān)的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是0。我們可以研究

12、他的陪集）如果A的行列式為負(fù)數(shù)，那么A將會(huì)改變?cè)璑維體體積的朝向。從線性無(wú)關(guān)到線性相關(guān)，其中丟失了部分信息，因此這個(gè)變換顯然就是不可逆的。線性是否無(wú)關(guān)和所張成N維體的體積有直接關(guān)系，這個(gè)體積值又與A的行列式有關(guān)。因此我們就建立了A的行列式與其是否可逆的幾何關(guān)系。舉例說(shuō)明，我們假設(shè)A是一個(gè)3維的矩陣。如果映射前，有一組三個(gè)線性無(wú)關(guān)的矢量，我們知道它們張成的體積不是0;經(jīng)過(guò)映射后，他們對(duì)應(yīng)的新矢量也能張成一個(gè)平行六面體，那么這個(gè)平行六面體的體積就是原體積乘以A的行列式。顯然，如果A的行列式是0,那么變換后的新平行六面體”的體積將不可避免的也是0。根據(jù)上文的結(jié)論，我們有：變換后的這一組新矢量線性相關(guān)

13、。結(jié)論：線性變換A的行列式是否為零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一組線性無(wú)關(guān)的矢量變換成另一組保持無(wú)關(guān)性的矢量。5,秩有時(shí)候，雖然A并不能保持把空間一組最大數(shù)目矢量的線性無(wú)關(guān)性，但它能保證一組更少數(shù)目矢量的線性無(wú)關(guān)性。這個(gè)數(shù)目往往少于A的維度（或者說(shuō)，線性空間的維度），這個(gè)數(shù)目就叫做線性變換A的秩。例如，一個(gè)秩為2的三乘三矩陣Ao因?yàn)橹刃∮?,那么任何一個(gè)3維六面體經(jīng)過(guò)他的變換后，體積都為零（退化一個(gè)面）；但存在一個(gè)面積不為零的面，在變換之后還可以是一個(gè)非零面積的面。所謂一個(gè)線性變換的秩，無(wú)非就是變換后，還能保持非零體積的幾何形狀的最大維度。理解了秩，行列式和可逆性的幾何意義，我們就能隨意構(gòu)造一些線性變換A,