異面直線所成的角的求法

1、_異面直線所成的角的求法法一：平移法例 1：在正方體ABCDA1B1C1D1 中，求下列各對(duì)異面直線所成的角。（1） AA1與 BC ；（2） DD1與 A1B ；（3） A1B 與 AC。法二：中位線例 2：在空間四邊形ABCD 中， AB CD ，且 ABCD ，點(diǎn) M、N 分別為 BC 、AD 的中點(diǎn)，求直線 AB 與 MN 所成的角。變式：在空間四邊形ABCD 中，點(diǎn) M、N 分別為 BC 、AD 的中點(diǎn)， AB CD 2，且 MN -可編輯修改 -_2 ，求直線 AB 與 CD 所成的角。習(xí)題 1在空間四邊形 ABCD 中，AD BC 2，E，F(xiàn) 分別為 AB 、CD 的中點(diǎn)， EF

2、 3 ，求 AD 、BC 所成角的大小2正 ABC 的邊長(zhǎng)為 a，S 為 ABC 所在平面外的一點(diǎn)， SA SB SC a， E，F(xiàn) 分別是 SC 和 AB 的中點(diǎn)求異面直線 SA 和 EF 所成角-可編輯修改 -_3S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SA SB SC，且ASB BSC CSA ，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)求異面直線SM與BN所成的角的2余弦值SNCBMA4如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BCA 90 °，M、N 分別是 A1 B1 和 A1C1 的中點(diǎn)，若 BC CA CC 1，求 BM 與 AN 所成的角5如圖 128 的正方體中， E 是

3、AD的中點(diǎn)(1)圖中哪些棱所在的直線與直線BA 成異面直線 ?(2)求直線 BA 和 CC 所成的角的大小；(3)求直線 AE 和 CC 所成的角的正切值；(4)求直線 AE 和 BA 所成的角的余弦值DCEAFBDC-可編輯修改 -AB(圖 1 28)_法三：補(bǔ)形法例 3：如圖， PA 平面 ABC ，ACB=90 °且PA=AC=BC ，求下列各對(duì)異面直線所成的角的正切值 .（ 1）PB 與 AC ； (2)AB 與 PC 。法四：空間向量法例 4：在正方體ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分別是 BB1 ,CD 的中點(diǎn)，求證：AED1F變式 1. 如圖，在正方體ABCD

4、-A 1B1 C1D 1 中， E、F 分別是相鄰兩側(cè)面BCC 1 B1 及 CDD 1C 1的中心。求A 1 E 和 B1F 所成的角的余弦值。ADBC-可編輯修改 -EFAD_2.已知空間四邊形ABCD中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分別為BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的角為，求cos 的值。3. 已知空間四邊形ABCD 中， AB=CD=3 ，E 、F 分別是 BC 、AD 上的點(diǎn)，且BE ：EC=AF ：FD=1 ：2 ， EF=7 ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。AFG-可編輯修改 -DBE_法五：證明垂直法例 5：在正方體ABCDA1B1C1D1 中，

5、 E 、F 分別是 BB1, CD 的中點(diǎn)，求AE與 D1F 所成的角。變式：在長(zhǎng)方體ABCDA1 B1C1 D1 中， E 是 BB1 的中點(diǎn)，AA12, ABBC2 ，求AE與 D1 C 所成的角。-可編輯修改 -_利用模型求異面直線所成的角模型：引理：已知平面的一條斜線a 與平面 所成的角為1，平P面 內(nèi)的一條直線b 與斜線 a 所成的角為 ，與它的射影 a 所成的角a為 。求證： cos = cos ·cos 。212A1c2 OB b1.如圖， MA 平面 ABCD ，四邊形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，試求異面直線MB 與 AC所成的角。MDCAB2 已知三棱柱

6、ABCA1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1 在底面 ABC 上的射影為BC 的中點(diǎn)，則異面直線AB 與 CC1 所成的角的余弦值為（）（A ）3（ B ）5C1443A 1B1（C） 7(D)44CD-可編輯修改A-B_3. 如圖，在立體圖形P-ABCD 中，底面 ABCD 是一個(gè)直角梯形， BAD=90 °，AD/BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA 底面 ABCD ，PD 與底面成30 °角， AE PD 于 D 。求異面直線AE 與 CD 所成的角的余弦值。PEDA FBC-可編輯修改 -_練習(xí)題：1在正四面體ABCD 中，點(diǎn) M、 N 分別為 BC

7、 、 AD 的中點(diǎn)，則直線AB 與 MN 所成的角為。2長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1 D1 中， AA1=AB=2 ，AD=1 ，點(diǎn) E、F、G 分別是 DD1 、AB、 CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E 與 GF 所成的角為3.直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 BAC 90， ABACAA1 ，則異面直線 BA1 與 AC1所成的角等于 _.4.已知正四棱柱 ABCDA1 B1C1D1 中， AA12 AB，E 為 AA1 中點(diǎn)，則異面直線 BE 與 CD1所成的角的余弦值為_(kāi).5.已知正四棱錐 SABCD 的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E 是 SB 的中點(diǎn)，則 AE， SD 所成的角的余弦值為 _.6如圖 1， P 是正方形ABCD 所在平面外一點(diǎn)， PD平面DABCD， PDAD ，則 PA與 BD所成的角的度數(shù)為_(kāi).HGCEF7。 設(shè)空間四邊形 ABCD ，E、 F、 G、 H 分別是 AC 、 BC 、 DB 、BADA 的中點(diǎn)，若 AB 12 2 ， CD 42 ，且四邊形 EFGH 的面積為 123 ，則 AB 和 CD 所成的角 為 .8.如圖 PA平面 ABCD,ABCD 為正方形，且 PA=AB,M 、N 分別為 PB 、CD 的中點(diǎn)，求（ 1 ）PA 與 CD 所成的角；-可編輯修改 -_（ 2 ）PD 與 BC 所成的角；（ 3 ）PD