異面直線典型例題

1、典型例題一例1 若，則，的位置關(guān)系是（ ）A異面直線 B相交直線C平行直線 D相交直線或異面直線分析：判斷兩條直線的位置關(guān)系，可以通過(guò)觀察滿足已知條件的模型或圖形而得出正確結(jié)論解：如圖所示，在正方體中，設(shè)，則若設(shè)，則與相交若設(shè)，則與異面故選D說(shuō)明：利用具體模型或圖形解決問(wèn)題的方法既直觀又易于理解一般以正方體、四面體等為具體模型例如，相交，相交，則，的位置關(guān)系是相交、平行或異面類似地；，異面，異面，則，的位置關(guān)系是平行、相交或異面這些都可以用正方體模型來(lái)判斷典型例題二例2 已知直線和點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線和平行分析：“有且只有”的含義表明既有又惟一，因而這里要證明的有兩個(gè)方面，即存在性和

2、惟一性存在性，即證明滿足條件的對(duì)象是存在的，它常用構(gòu)造法（即找到滿足條件的對(duì)象來(lái)證明）；惟一性，即證明滿足條件的對(duì)象只有一個(gè)，換句話說(shuō)，說(shuō)是不存在第二個(gè)滿足條件的對(duì)象因此，這是否定性命題，常用反證法證明：（1）存在性 ， 和可確定一個(gè)平面，由平面幾何知識(shí)知，在內(nèi)存在著過(guò)點(diǎn)和平行的直線（2）惟一性假設(shè)在空間過(guò)點(diǎn)有兩條直線和滿足和根據(jù)公理4，必有與矛盾， 過(guò)點(diǎn)有一條且只有一條直線和平行說(shuō)明：對(duì)于證明“有且只有”這類問(wèn)題，一定要注意證明它的存在性和惟一性典型例題三例3 如圖所示，設(shè)，分別是空間四邊形的邊，上的點(diǎn)，且，求證：（1）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是梯形分析：只需利用空間等角

3、定理證明即可證明：連結(jié)，在中， ，且在中， ，且 ， 頂點(diǎn)，在由和確定的平面內(nèi)（1）當(dāng)時(shí)，故四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，故四邊形是梯形說(shuō)明：顯然，課本第11頁(yè)的例題就是本題（2）的特殊情況特別地，當(dāng)時(shí)，是空間四邊形各邊中點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形是平行四邊形如果再加上條件，這時(shí)，平行四邊形是菱形典型例題四例4 已知是兩條異面直線，直線上的兩點(diǎn)的距離為6，直線上的兩點(diǎn)的距離為8，的中點(diǎn)分別為且，求異面直線所成的角分析：解題的關(guān)鍵在于依據(jù)異面直線所成角的定義構(gòu)造成和異面直線平行的兩條相交直線，然后把它們歸納到某一三角形中求解解：如圖，連結(jié)，并取的中點(diǎn)，連結(jié)，分別是和的中位線，即 ， 所成的銳角或

4、直角是異面直線所成的角又 ，在中，又，故異面直線所成的角是說(shuō)明：在求兩條異面直線所成的角時(shí)，一般要依據(jù)已知條件，找出與兩條異面直線分別平行并且相交于一點(diǎn)的兩條直線但是，異面直線所成角的定義中的點(diǎn)一般是在圖形中存在著的，需要認(rèn)真觀察分析圖形的性質(zhì)，從而找出這一點(diǎn)和過(guò)這一點(diǎn)與兩異面直線平行的直線，以得到兩條異面直線所成的角，在求這個(gè)角的大小時(shí)，一般是根據(jù)平面圖形中解三角形的知識(shí)求解的典型例題五例5 已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為求：（1）異面直線的公垂線段及的長(zhǎng)；（2）異面直線和所成的角分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解解：（1

5、）如圖，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)由已知，得，是的中點(diǎn)，同理可證是的公垂線段在中， （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角連結(jié)，在中，由余弦定理，得故異面直線和所成的角為說(shuō)明：對(duì)于立體幾何問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，同時(shí)要將轉(zhuǎn)化過(guò)程簡(jiǎn)要地寫出來(lái)，然后再求值典型例題六例6如圖所示，兩個(gè)三角形和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線、交于同一點(diǎn)，且(1)證明：，；(2)求的值分析：證兩線平等當(dāng)然可用平面幾何的方法而求面積之比則需證兩個(gè)三角形相似，由于三角形是平面圖形，故也可用平面幾何的方法證明證明：(1)當(dāng)和在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，如圖甲與相交于點(diǎn)，且，（因?yàn)椤⒐裁妫┩恚?2)，且，和，和的方向相反，同理因

6、此，又，當(dāng)和在點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，如圖乙所示，同理可得(1)(2)說(shuō)明：此題與是否共面并不重要，因?yàn)榈冉嵌ɡ韺?duì)各種位置已作說(shuō)明典型例題七例7是矩形所在平面外一點(diǎn)，與成角，與成角，求：(1)直線與的距離；(2)求直線與的距離分析：要求出與、與的距離，必須找到它們的公垂線段，公垂線段的長(zhǎng)度即為異面直線間的距離解：如圖所示，在矩形中，又，是異面直線、的公垂線段，其長(zhǎng)度為異面直線、的距離在中，是與所成的角，又，(2)在矩形中，又，是直線、的公垂線段，其長(zhǎng)度為異面直線、的距離在中，是異面直線與所成的角，又，直線與的距離為說(shuō)明：(1)求異面直線之間距離的步驟是：找（作）線段；證線段是公垂線段；求公垂線段的長(zhǎng)度(2

7、)求異面直線間的距離的問(wèn)題，高考中一般會(huì)給出公垂線段典型例題八例8、是三條直線，若與異面，與異面，判斷與的位置關(guān)系，并畫圖說(shuō)明分析：這是一道考查異面直線概念及空間直線位置關(guān)系的問(wèn)題，同時(shí)也考查了圖形語(yǔ)言的表達(dá)能力解：直線與的位置關(guān)系有以下三種情形如圖：直線與的位置關(guān)系可能平行（圖中的(1)）；可能相交（如圖中的(2)）；可能異面（圖中的(3)）說(shuō)明：本題也考查了空間想象能力和邏輯劃分、分類討論的能力典型例題九例9如果兩條異面直線稱作“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中，共有幾對(duì)異面直線（）A12對(duì)B24對(duì)C36對(duì)D48對(duì)分析：一般地，立體幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題，是由所數(shù)的量的性質(zhì)，確定一規(guī)律，然后按此

8、規(guī)律進(jìn)行計(jì)數(shù)正方體的各棱具有相同的位置關(guān)系所以以一條棱為基量，考察與其異面的幾對(duì)，問(wèn)題可解解：如圖，正方體中與異面有，各棱具有相同的位置關(guān)系，且正方體有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算成本，異面直線共有對(duì)說(shuō)明：分析清楚幾何體特點(diǎn)是避免重復(fù)計(jì)數(shù)的關(guān)鍵計(jì)數(shù)問(wèn)題必須避免盲目亂數(shù)，做到“不重不漏”典型例題十例10如圖，已知不共面的直線，相交于點(diǎn)，、是直線上兩點(diǎn)，、分別是，上一點(diǎn)求證：和是異面直線證法1：假設(shè)和不是異面直線，則與在同一平面內(nèi)，設(shè)為，又，且，同理：，共面于，與已知，不共面相矛盾，、是異面直線證法2：，直線，確定一平面設(shè)為，且，又，不共面，與為異面直線說(shuō)明：證明兩條直線異面的方法有兩種(1)用定

9、義證明（即定義法）：此時(shí)需借反證法，假設(shè)兩條直線不異面，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然后，推導(dǎo)出矛盾即可(2)用定理證明（即定理法）：用該法證明時(shí)，必須闡述出定理滿足的條件：，然后可以推導(dǎo)出直線與是異面直線典型例題十一例11已知平面與平面相交于直線，為直線上的兩點(diǎn)在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線求證和是異面直線已知：平面平面=，如圖求證：、是異面直線證明：假設(shè)，不是異面直線，則它們必共面、在同一平面內(nèi)即、所確定的平面與、確定的平面重合這與平面平面=矛盾、是異面直線說(shuō)明：證明兩條直線為異面直線，用反證法往往比較簡(jiǎn)單典型例題十二例12已知空間四邊形，求證它

10、的對(duì)角線和是異面直線證法一：（反證法）如圖假設(shè)和不是異面直線，則和在同一平面內(nèi)、在同一平面內(nèi)，即四邊形是平面四邊形，這與已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立因此和是異面直線證法二：（定理法）過(guò)和作一平面，則對(duì)角線在平面內(nèi)對(duì)角線與平面交于外的一點(diǎn)，即點(diǎn)不在直線上，且點(diǎn)在平面外根據(jù)異面直線判定定理知：和是異面直線說(shuō)明：判定兩條直線是異面直線的證明問(wèn)題常用這兩種方法，即(1)反證法，(2)用判定定理典型例題十三例13已知空間四邊形，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線證法一：（定理法）如圖由題設(shè)條件可知點(diǎn)、不重合，設(shè)所在平面和是異面直線證法二：（反證法）若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過(guò)、的平面為

11、(1)若、重合，則是的中點(diǎn)，這與題設(shè)相矛盾(2)若、不重合，、四點(diǎn)共面，這與題設(shè)是空間四邊形相矛盾綜上，假設(shè)不成立故和是異面直線說(shuō)明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用首先看一個(gè)有趣的實(shí)際問(wèn)題：“三十六口缸，九條船來(lái)裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說(shuō)怎么裝？”對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做也許你在試驗(yàn)幾次后卻無(wú)法成功時(shí)，覺(jué)得這種裝法的可能性是不存在的那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？用反證法可以輕易地解決這個(gè)問(wèn)題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個(gè)單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個(gè)雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個(gè)問(wèn)題典型例題十四例14已知、分別是正方

12、體的棱、的中點(diǎn)求證：分析：欲證兩個(gè)角相等，可通過(guò)等角定理或其推論來(lái)實(shí)現(xiàn)證明：如圖，連結(jié)，分別為，中點(diǎn)，為平行四邊形又，四邊形是平行四邊形同理又與方向相同說(shuō)明：有關(guān)證明角相等問(wèn)題，一般采用下面三種途徑：(1)利用等角定理及其推論；(2)利用證三角形相似；(3)利用證三角形全等本例是通過(guò)第一種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)請(qǐng)同學(xué)們?cè)倮玫谌N途徑給予證明典型例題十五例15由四個(gè)全等的等邊三角形的封面幾何體稱為正四面體，如圖，正四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，與是一對(duì)異面直線，在圖形中適當(dāng)?shù)倪x取一點(diǎn)作出異面直線、的平行線，找出異面直線與成的角分析1：選取平面，該平面有以下兩個(gè)特點(diǎn)，(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交

13、于點(diǎn)，伸展平面，在該平面中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角如圖分析2：選取平面，該平面有以下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)在平面中，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角如圖分析3：選取平面，該平面有如下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)在平面中，過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)，連結(jié)，可以看出：與所成的角，即為異面直線與所成的角分析4：選取平面，該平面有如下特點(diǎn)：(1)該平面包含直線，(2)該平面與相交于點(diǎn)，伸展平面，在該平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，連結(jié)，則與所成的角，即為異面直線與所

14、成的角如圖說(shuō)明：(1)兩條異面直線所成的角是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，是每年高考的必考內(nèi)容，要求牢固掌握兩條異面直線所成的角的定義和兩條異面直線互相垂直的概念，兩條異面直線所成的角是刻劃兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)量，是通過(guò)轉(zhuǎn)化為相交直線成角來(lái)解決的，這里我們要注意：兩條異面直線所成的角的范圍是，當(dāng)時(shí)，這兩條異面直線互相垂直求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成的角，作兩條異面直線所成的角的方法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置一

15、般提倡像思考2，那樣作角，因?yàn)榇私窃趲缀误w內(nèi)部，易求(2)本例題多方位、多角度思考問(wèn)題，思路開(kāi)闊、運(yùn)用知識(shí)靈活，對(duì)我們解決異面直線所成角問(wèn)題大有裨益，要認(rèn)真理解典型例題十六例16如圖，等腰直角三角形中，若，且為的中點(diǎn)求異面直線與所成角的余弦值分析：根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，分別引與的平行線，換句話說(shuō)，平移（或）設(shè)想平移，沿著的方向，使移向，則移向的中點(diǎn)，這樣與所成的角即為或其補(bǔ)角，解即可獲解解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，、分別是、的中點(diǎn)，即為所求的異面直線與所成的角或其補(bǔ)角在中，在中，在中，在等腰三角形中，異面直線與所成角的余弦值為說(shuō)明：求角或求角的三角函數(shù)值的一般步驟是：找

16、（或作出）角，適合題意，求角或求角的三角函數(shù)值，往往是化歸成一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形求得典型例題十七例17在正四面體中，已知是棱的中點(diǎn)，求異面直線和所成角的余弦值分析：可在平面內(nèi)過(guò)作平行線，可在中求得所成角的余弦值解：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，為的中位線，與所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，由正三角形的性質(zhì)知，在中，即異面直線和所成角的余弦值為說(shuō)明：本題是利用三角形中位線達(dá)到平移的目的這種作異面直線所成角的方法稱為中位線平移法典型例題十八例18在正方體中，求正方體對(duì)角線和面對(duì)角線所成角的大小解：如圖取上中點(diǎn)，則有：，連結(jié)令，則，連結(jié)，分別為，的中點(diǎn)，(或)是

17、異面直線和所成的角在及中，為等腰三角形又為中點(diǎn)，異面直線和所成角為說(shuō)明：(1)由于異面直線所成角最大為直角，所以，在把異面直線平移得到的兩個(gè)夾角中，必須選取其中較小的角為異面直線的所成角(2)實(shí)際上，正方體的體對(duì)角線與任意一條面對(duì)角線所成角均為直角典型例題十九例19在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，求、所成角的余弦值分析1：可平移至，可得到角，再解三角形即可但要注意到為鈍角解法1：如圖，連結(jié)，則，由與所成的銳角或直角，就是與所成的角，連，令正方體的棱長(zhǎng)為，有，在中，的補(bǔ)角為異面直線與所成角、所成角的余弦值是分析2：連結(jié)、，可得即為異面直線和所成的角進(jìn)而求其余弦值解法2：連結(jié)、，可證得()(或其補(bǔ)角

18、)即為異面直線、所成的角，由余弦定理，有，、所成角的余弦值是說(shuō)明：異面直線所成角的范圍是，當(dāng)求得某角的余弦值為負(fù)值時(shí)，則此角的補(bǔ)角是異面直線所成角典型例題二十例20在空間四邊形中：，分別是，的中點(diǎn)求證：線段是異面直線，的公垂線證明：如圖連結(jié)、在和中，公用又是中點(diǎn)，在中，是的中點(diǎn)，同理，是異面直線、的公垂線說(shuō)明：證明某一條直線是兩條異面直線的公垂線，須證明以下兩點(diǎn)：(1)與兩條異面直線都垂直；(2)與兩條異面直線都相交典型例題二十一例21如圖，空間四邊形中，四邊、和對(duì)角線、都等于，、分別為、的中點(diǎn)(1)求證：是異面直線、的公垂線(2)求異面直線和的距離分析：要證明是異面直線與的公垂線，必須說(shuō)明兩

19、個(gè)方面的問(wèn)題，一個(gè)方面與、都相交，另一個(gè)方面、與都垂直(1)證明：連結(jié)、，由已知和均為正三角形，、分別為、的中點(diǎn)，同理，又與、都相交，為異面直線、的公垂線(2)解：空間四邊形各邊及對(duì)角線、的長(zhǎng)均為，而，在中，異面直線和之間的距離為說(shuō)明：(1)求線段的長(zhǎng)度一般地要把該線段放到一個(gè)三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等(2)滿足條件的該空間四邊形其實(shí)質(zhì)是空間正四面體，該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是求正四面體對(duì)棱之間的距離典型例題二十二例22已知、是異面直線，直線直線，那么與（）A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線解：由已知、是異面直線，直線直線，所以直線直線，否則若，則有與已知矛盾所以應(yīng)選C說(shuō)明：本題考察兩直線位置關(guān)系和公理4的應(yīng)用及異面直線定義典型例題二十三例23兩條異面直線指的是（）A在空間內(nèi)不相交的兩條直線B分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C某平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線D不在同一平面內(nèi)的兩條直線解：對(duì)于A,在空間內(nèi)不相交的兩條直線也可能是平行，應(yīng)排除A對(duì)于B，分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可能是異面直線，也可能是相交直線或平行直線，應(yīng)排除B對(duì)于C，某平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線可能是異面直線，也可能是平行直