含參變量積分的性質(zhì)

1、目錄1引言12含參變量積分12.1一元含參變量的有限積分函數(shù)ubfx,udx的定義及其分析性質(zhì)1a2.2含參變量的有限nn2重積分函數(shù)的定義及其分析性質(zhì)42.2.1含參變量的有限二重積分函數(shù)定義及其分析性質(zhì)42.2.2含參變量的有限n重積分函數(shù)的分析性質(zhì)103例題114結(jié)束語14參考文獻15致謝16含參變n積分的性質(zhì)數(shù)學(xué)系0803班陳璐指導(dǎo)教師王芳摘要：含參變量積分是一類比較特殊的積分，由丁它是函數(shù)但乂是以積分形式給出的，所以它在積分計算中起著橋梁作用，本文通過對一元含參變量的有限積分函數(shù)A:uafx,udx的定義及其在區(qū)間a,b上的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性與可積性)出發(fā)，闡述了含參變量的有限

2、nn2重積分函數(shù)的定義及其分析性質(zhì)，分別推導(dǎo)出含參變量的有限二重積分函數(shù)及含參變量的有限n重積分函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性定理與公式，最后給出了一些應(yīng)用實例。關(guān)鍵詞：含參變量，積分函數(shù)，分析性質(zhì)。IncludingthenatureoftheintegraldependingonaparameterChenLuClass0803,MathematicsDepartmentTutor:WangFangAbstract:Containintegraldependingonaparameterisakindofaspecialpoints,becauseitisanintegralformandf

3、unctionaregiven,soitplaysintheintegralcalculationbridge.Thispaper,withayuanofparameteroftheintegralfunctionlimiteddefinitionAandintheanalysisoftheintervalnature(continuity,thedifferentiabilityandintegrality)article,expatiatestheheavyintegraldependingonaparameterwithlimiteddefinitionandnatureofthefun

4、ctionanalysis,werededucedwiththedoubleintegraldependingonaparameter,functionandtheparameterwithlimitedheavycontinuityofintegralfunction,canthesexandintegrabletheoremsandformula.Finallygivessomepracticalexamples.Keywords:includingparameter,integralfunction,analysisoftheintervalnature.1引言目前，許多學(xué)者對含參變量積

5、分的性質(zhì)的研究已經(jīng)達到了一定的深度，主要研究了許多運用含參變量積分的性質(zhì)解決實際問題的方法。古希臘的阿基米德和我國的劉徽的著作都體現(xiàn)了積分的思想。但到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前，有關(guān)定積分的各種結(jié)果還是孤立零散的，比較完整的積分理論還未能形成，直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決。積分的性質(zhì)作為求平面圖形的面積以及許多實際問題的重要工具，為數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。含參變量積分是一類比較特殊的積分，由丁它是函數(shù)但乂是以積分形式給出的，所以它在積分計算中起著橋梁作用。本文對含參變量積分的函數(shù)的定義、連續(xù)性、可微性、可積性的進行了較為系統(tǒng)的描述，使其應(yīng)用更具一般化。2含參變量積分2

6、.1一元含參變量的有限積分函數(shù)ufx,udx的定義及其分析性質(zhì)a定義1設(shè)函數(shù)fx,y在矩形R:axb,cyd上連續(xù)，如果把y固定為y0c,d，函數(shù)fx,y0就成為一個變量xa,b上的連續(xù)函數(shù)了，則這個數(shù)與y°有關(guān)，當(dāng)y在c,d上變bIyofx,yodx就是一個唯一確定的數(shù),a動時，所得到積分值一般是不同的，記為Iyx,ydx，它是y的函數(shù)，其自變量為yb正義域為c,d，稱積分_fx,ydx為含參變量積分,性質(zhì)1.（極限）若fx,y在xa,b,yc,y°y°,d上連續(xù),limyyobfx,ydxlimfx,ydxbgxdx。a證明：根據(jù)limyy°x,y可

7、得對任給的0,存在0,當(dāng)y。時,fx,y從而bfx,ydxabgxdxaDfx,ydxx,ygxdxbdxaba注：當(dāng)上下限中至少有一個是關(guān)丁x的函數(shù)時，結(jié)論仍成立。d上連續(xù)，則性質(zhì)2.（連續(xù)性）若函數(shù)fx,y在矩形R:axb,cyIyfx,ydxa是c,d上的連續(xù)函數(shù)。證明：任取y0c,d,IyIyofx,yfx,y°dx,a0,當(dāng)因為fx,y在閉區(qū)域R上連續(xù)，從而就一致連續(xù)，因而對任給的yyo時,fx,yfx,y。，ba此時，IyIyofx,yfx,y°dxa因此，limIyIy0。yy。yd上連續(xù),性質(zhì)3.（可導(dǎo)性）設(shè)fx,y,fyx,y都在矩形R：axb,cbIya

8、fx,ydx在c,d上可導(dǎo)，且dbbIyfx,ydxfyx,ydx。dyaay證明：利用導(dǎo)數(shù)定義Ifx,yyfx,ydxa由拉格朗日中值定理lyfx,yyfx,yfyx,ybafyx,a其中y,yy從而blimyafyx,dxbfyx,ydxa定理1若函數(shù)fx,y及fyx,y在矩形R:axb,cyd上連續(xù)，m為一個常數(shù)，且am函數(shù)c,d上可導(dǎo),函數(shù)在c,d上可導(dǎo)，且dFydydbdym從而x,ydxx,ydxy,ybyyfyx,ydx證明：設(shè)Fx,yxafy推論1ddyt,ydt是ffx,ydFydyx,yx,ydbydym關(guān)丁x的一個原函數(shù)，則x_fyt,ydt,afx,ydxFx,yfby

9、,yby_fyxby_d_dyfby,ybybyafyx,ydxfby,ybybyafyx,ydxfx,ydxfayyayxbxmymammFm,yfyx,ydxfyx,ydx其中，ay同定理1中by所滿足的條件。推論2dbydmdbyfx,ydxfx,ydxfx,ydxdyaydyaydymayfyx，ydxfay,yay2.2含參變量的有限nn2重積分函數(shù)的定義及其分析性質(zhì)2.2.1含參變量的有限二重積分函數(shù)定義及其分析性質(zhì)定義2設(shè)fx,y,z是定義在閉長方體區(qū)域D=a,bc,dg,h上的三元函數(shù)，當(dāng)x,ya,bc,d上取某定值，函數(shù)fx,y,z就是定義在g,h上的以z為自變量的一元函數(shù)，

10、倘若這時fx,y,z在g,h上可積，則其積分值是x,y在有界區(qū)域a,bc,d上取值的二元函數(shù)，記它為Ix,y,則有Ix,yfx,y,zdz,x,ya,bc,d（1）g我們把形如（1）的函數(shù)叫做二元含參變量積分函數(shù)。定義3設(shè)區(qū)域DR3,f:DR,如果0,0,使得對任意的點X,yi,z，x2,y2,z3D,并且當(dāng)222,xix2yyziz2時，有fxi，Yi,zifx2,y2,z2則稱f在D上一致連續(xù)。引理1若函數(shù)fx,y,z在有界閉區(qū)域DR3上連續(xù)，則函數(shù)f在D上一致連續(xù)。引理2若函數(shù)fx,y,z是定義在有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，那么該函數(shù)必在有界區(qū)域D上可積。定理2（連續(xù)性）若三元函數(shù)fx,y

11、,z在閉長方體區(qū)域Da,bc,dg,h上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)域E證明a,b:設(shè)Ix,yc,d上連續(xù)。x,ya,bc,dhfx,y,zdzg,對充分小的x,y,令xx,yya,bc,d（若x,y為矩形區(qū)域的邊界，則僅考察22xyIx0的情形）x,yyI,丁是hx,yfxgx,yy,zfx,y,zdz2由丁fx,y,z在有界閉區(qū)域D連續(xù)，從而一致連續(xù)。即對0,0。對D內(nèi)任意兩點x1,y1,z1,x2,y2,z2,只要222寸XiX2yiy2ZiZ2,就有fXi,yi,乙fX2,y2,Z2所以由2,3可推的：當(dāng)Jx2y2時，令I(lǐng)xx,yyIx,yhIgfxx,yy,zfx,y,zdzhrdzhg這就證得

12、Ix,y在Ea,bc,d上連續(xù)注對丁定理i的結(jié)論也可以寫成如下的形式:若fx,y,z在閉長方體區(qū)域D上連續(xù)，則對x°,yoa,bc,d,都有hhlimfx,y,zdzlimfx,y,zdz定理3若函數(shù)fx,y,z與其偏導(dǎo)數(shù)一fx,y,z與一fx,y,zxy都在閉長方體區(qū)域Da,bc,dg,h上連續(xù)，貝UIx,yfx,y,zdzg分別關(guān)丁x,y在區(qū)域Ea,bc,d上可微，且h-fx,y,zdzxghfx,y,zdzgxfx,y,zdzfx,y,zdzyggy證明只證明其中之一，另一個可類似證明，證明4對區(qū)域Ea,bc,d內(nèi)任一點x,y,設(shè)xx,yya,bIxx,yIx,yxhfxx,y

13、,zfx,y,zdz由微分中值定理及gxfx,y,z在有界閉區(qū)域D上連續(xù)（從而一致連續(xù)），對x0,0只要時，就有fxx,y,zfx,y,zxfxx,y,z=fxxx,y,zfxx,y,z其中0,1Ixx,yIx,yxhgfxx,y,zdfxx,y,zfx,y,zxfxx,y,zdzdzh這就證得對x,ya,bx,yhfx,y,zdzgxIx定理4（可微性）二元含參積分函數(shù)Ix,ygfx,y,zdz,x,ya,bc,d在點MX0,y0可微當(dāng)且僅當(dāng)Ix,y在MX0,y0處偏導(dǎo)都存在，且0,0，當(dāng)Jxx°2yy°2時，有:22Ix,yIx,y°Ix°,yIx。

14、*寸xx°yy°證明（必要性）已知函數(shù)Ix,y在點Mx0,y°處可微，故Ixx°,y°,Iyx0,y0都存在,且uIx,yIx°,y0Ixx0,y0xx°Iyx°,y0yy°其中22xx0yy°丁是Ix,yIx°,yIx,y°Ix0,y0=Ix,vIx0,y0Ix,y°Ix0,y0Ix°,yIx°,y°=Ixx°,y°xx°Iyx0,y0yy°Ix,y°Ix0,y0Ix°,yI

15、x0,y06令h6式，則當(dāng)02xx°y2V0時，有h1.Ixx°,y°xx°lyx0,y0yy°Ix,y°Ix°,y°Ix°,yIx0,y0Iyx°,y°xx°Ix,y°Ix°,y°Ixx°,y°yy°Ix°,yIx°,y0Ixx0,y0Ix°,yIx°,y0yV。Ixx°,V0x°ixyIx0,v0yv。yV0IxXo,y0Ix,y°xIXo,y

16、oXolyXo,yoIXo,yIx,yoo時，7o從而當(dāng)X,yXo,yo時,yyo對o,。時，當(dāng)Ov'XXo2yyo2時，有1xXo2yI2yox,yIx,yoIXo,yIXo,yo從而得:22IX,yIx,yoIXo,yIx°,y°|qxx°yy°O,（充要性）已知函數(shù)Ix,y在點Mxo,yo處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且對O,當(dāng)*xXo2yyo2時，便有Ix,yIx,yoIXo,yIx°,y°|xx°2yy°令22.xXoyyo則當(dāng)o時IX,yIx,yoIXo,yIXo,yo丁是當(dāng)x,yXo,yo時，uIxXo,

17、y°xXoIyXo,yo=Ix,yIx,yoIXo,yIXo,yoIyXo,yoxo,yIXo,yoyyo從而IX,yIxXo,yoxXoIyXo,yoyyoIx,y。IXo,yIXo,yoIxXo,yoIx,yoxIXo,yoXoIyXo,y0Ix0,yIx°,y°易知當(dāng)0時，80,故uIxx°,y。xx。Iyx。，y。yo由二元函數(shù)在一點可微的定義可知,二元函數(shù)ux,y在點Mx°,y°處可微。定理5（可積性）若fx,y,z在閉長方體區(qū)域a,bc,dg,h上連續(xù),則Ix,y在有界區(qū)域Ea,bc,d上可積。證明由引理1已證得函數(shù)fx,

18、y在有界閉區(qū)域Ea,bc,d上連續(xù)，由引理2可知Ix,y在有界區(qū)域E上可積。定理6若函數(shù)fx,y,z在閉長方體Da,bc,dg,h上可積，且對丁任意的x,yEa,bc,d,定積分Ix,ybfx,y,zdza存在，那么二元含參變量積分函數(shù)Ix,y在區(qū)域E上可積，并且Ix,ydxdyfx,y,zdxdydzEDhdzfxyzdxdygE，zk1證明對0,用平行丁坐標面網(wǎng)T做分割，它把D分成有限個小長方體Dijkxi1,xiyj1,yj這時，我們也得到D的一個分割Ti，設(shè)Mjk,mijk分別為fx,y,z上下確界，則對丁xi1,xiyji,yj有mijkZkzkzk1j,zdzIMjkzk,i,jk

19、所以mjkzkzkZkj,zdz=IMjkzk,i,jk進而m,j,kXiyjZki,j,kIi,jXiyiMi,j,kXivjZk因為函數(shù)fx,y,x在長方體區(qū)域Da,bc,dg,h上可積，故0,使T時，有mjkXiyjZki,j,kfx,y,zdxdydzDMxiyjZki,j,kfx,y,zdxdydzD從而，根據(jù)可積的充要條件可知Ix,y在D上可積,Ix,ydxdyfx,y,zdxdydzEDhfx,y,zdxdydzdzfx,y,zdxdyDE丁是綜合上述證明過程可知Ix,ydxdyEfx,y,zdxdydz=dzfx,y,zdxdyDgE2.2.2含參變量的有限n重積分函數(shù)的分析性

20、質(zhì)定義4設(shè)n1元函數(shù)fx,x1,x2xn在n1維界區(qū)域axb,aixibi,i1,2,n有定義，則稱積分函數(shù)Ix口fx,x1,x2,xndx1dx2dxn,xa,b為含參變量的有限n重積分函數(shù)，其中x稱為參變量，xiai,bii1,2,n當(dāng)n=2時，有定理7設(shè)n1元函數(shù)fx,x,x2,xn在n1維有界區(qū)域aixibi中連續(xù),則含參變量的有限n重積分函數(shù)：Ixfx,x，x2xndxdx2dxn在區(qū)間a,b上具有分析性質(zhì)，分別有:性質(zhì)1連續(xù)性：若函數(shù)fX,Xi,X2,Xn在n1維有界閉區(qū)域axb,aiXibi上連續(xù)，則函數(shù)Ix在區(qū)間a,b連續(xù)，且X0a,blimXX0fx,x-i,x2xndx1d

21、x2dxnlimfx,X1,x2X冷xndx1dx2dxnfX0,Xi,X2Xndxdx2dxn(4)（簡稱極限與n重積分可交換次序）性質(zhì)2可微性：若偏導(dǎo)數(shù)fX,Xi,X2XnfxX,Xi,X2Xn在也連續(xù)，則函數(shù)Ixa,b可導(dǎo)，且xa,b有ddxX,Xi,X2,XndXidX2dXnfX,Xi,X2XndXidX2dXn性質(zhì)3可積性：參函數(shù)（簡稱n重積分號下求導(dǎo)）X,Xi,X2Xn在n+i維有界閉區(qū)域axb,aixibi上連續(xù)，則函數(shù)IX在區(qū)間a,b可積，且有fx,x1,x2xndx1dx2dxndxfx,x1,x2xndxdx1dx2dxn（簡稱n重積分號下積分）3含參變量積分的相關(guān)應(yīng)用例

22、i設(shè)fX在0,0存在，試求積分上連續(xù)，并且積分上旦dzAAzfaxfbx,dx0x的值a,b0解:faxfbx,Fax,dx=dxAxAxbBfzdzaAzfbx,fz,dx=dzAxaAzbfAxdxax於dz=bAzf作為二元函數(shù)在A0,因為a,b上連續(xù)，所以bfAxlimA0adxxbf0Ina原積分=limA0faxAfbxdx=fb0Inaa,b例2求積分2xcos2xdx解：令則關(guān)丁的導(dǎo)數(shù)為顯然,因此,的值（已知g0fx,a2xefx,a連續(xù)，乂因?qū)σ磺幸?xdx收斂，所以022xedx收斂，所以excos22xsin20,2xex,acos22xsin22xe也一致收斂。f1x,

23、a也一致收斂。由可微性定理可知ga可微,所以cos2dx=2x八2xesin20xdx=ex2sin2x2ecos2xdx=2例3計算°dx分析：用Dirichlet判別法易知該積分收斂，但積分號下求導(dǎo)之后積分sinxdx0cosxdx發(fā)散，不滿足積分號下求導(dǎo)的條件。為此我們粗略地想法是引入收斂因子axe，考慮積分axsinx,edxx若能夠計算出,則原積分等丁g解：由丁a°xdx收斂，上式當(dāng)0時一致收斂,其它條件明顯所以axsinxedx由此(1)arctan當(dāng)0時，令arctan2(1)由Abel定理可知：g在上一致收斂，所以,在0上連續(xù)。令sin0g0sinsinx,

24、dxxxdxg0g0sin20，在(1)中可得x.dxx因為sinx是奇函數(shù)，所以例題4試利用積分計算積分、,2Iexdx的值0解：令做變換tux,易驗證從而有左所以I2limfn注意到所以，當(dāng)x時，e1u21u2代入上式得limxx=limxdx21u21e0-du,ulimnx21u2x2e0,11x21u21e0dulimx1u2du01u2dx4結(jié)束語本文從對一元含參變量積分函數(shù)的定義以及性質(zhì)的研究出發(fā)，推導(dǎo)出含參變量有限二重積分以及n重積分的分析性質(zhì)。盡管指導(dǎo)老師悉心教導(dǎo)，并提供了許多與該研究相關(guān)的重要信息，但是我個人能力有限，加上作文時短，難免有疏漏之處，還望批評指教。1 參考文獻華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社,2001.2 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義：下冊M.北京：高等教育出版社，1992.3 顧先明.二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質(zhì)J.唐山師范學(xué)院學(xué)報，2