大一同濟上冊高數(shù)

1、微分公式與積分公式同濟上冊高數(shù)總結(jié)(tgx)s2ecx(arcsinx)(ctgx)2cscx(secx)secxtgx(arccosx)(cscx)cscxctgx(ax)axlna(arctgx)(logax)1(arcctgx)xlnatgxdxlncosxCdx1Cctgxdxlnsinxcosx11x21.1x12x11x2secxdxtgxCsecxdxInsecxdx一一2sinx2.cscxdxctgxCcscxdxIncscxctgxCsecxtgxdxsecxdx22axdx22xadx22axdx.a2x2In1.x-arctgCaa1cscxctgxdxcscxC2al

2、nH1,axIn2aax.xarcsina2sinnxdx1x22a2a打22xdxdxdx0三角函數(shù)的有理式積分:axdxshxdxchxdxdxx2Inachxshx2n人n1cosxdx0n2In2x/22a.Vxaln222(xV2|X2|XJax22X2I822客2a竺三x&一一xcsinaC22a22、八xa)Cln(x,x2a2)Cdx2du1u2兩個重要極限:公式2ljm°(1、1/xx)sinx公式1lim一x0x有關(guān)三角函數(shù)的常用公式和差角公式:和差化積公式:sin(cos(sincostg(ctg(coscostgtg1tgtgctgctgcossins

3、insinsinsin2sincos22sinsin2cossin221ctgctgcoscos2coscos22coscos2sinsin22半角公式:三倍角公式:sin(3a)=3sin-4sinA3(a)sin(也/2)=<1-cos也)/2cos(3a)=4cosA3(-3cosaCos(a/2)=5+cosa)/2降籍公式:萬能公式:sinA2(a)=(1os(2a)/2=versin(2a)/2sina=2tan(a/2)/1+tanA2(a/2)cosA2(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2acosa=1tanA2(a/2)/1+tanA2(a/2)tanA2

4、(a)=-cos(2a)/(1+cos(2a)tana=2tan(a/2-1nA2(a/2)推導(dǎo)公式tana+cota=2/sin2atano-cota-2cot2a1+cos2a=2cosA2a1-cos2a=2sinA2a1+sina=(sina/2+cosa/2)A2正弦定理：圣-sinA余弦定理：c2呈2RsinBsinCa2b22abcosC反三角函數(shù)性質(zhì):arcsinxarccosxarctgxarcctgx(特別要注意這兩個包等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲Leibniz公式:(uv)(n)nC：u(nk)v(k)k0uv(n)(n)(n1)n

5、(n1)(n2)uvnuvuv2!n(n1)(nk1)(nk)的k!uvf(x)abf(x)aba1=(y°yn)y1Lyn1中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)柯西中值定理：f(b)f(a)也F(b)F(a)F()當(dāng)F(x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds(1y2dx,其中ytg平均曲率：|.:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量；s：MM弧長。M點的曲率：Klim|I|土|'.S0s|ds|(1y2)3直線：K0;半徑為a的圓：K1.a定積分的近似計算:Vn1)ba.|(y。V1Ln定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：WFs水

6、壓力：FpA引力：fk毋,k為引力系數(shù)r-1b函效的平均值：yf(x)dxbaa均方根：,b1b2f(t)dtaa微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成f(x,y)dx、幾ydydudu,、dx設(shè)u貝ux,u(u),xdxdxdxx即得齊次方程通解。(x,y)，即寫成V的函數(shù)，解法：x分離變量，積分后將工代替u,(u)ux一階線性微分方程:1、一階線性微分方程：業(yè)P(x)ydx；當(dāng)

7、Q(x)0時,為齊次方程，yCeI當(dāng)Q(x)0時，為非齊次方程，yQ(x)P(x)dxP(x)dx(Q(x)edxP(x)dxC)e2、貝努力方程：業(yè)P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx全微分方程:如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：u_u一du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y),Q(x,y)xyu(x,y)C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程:d2ydyf(x)0時為齊次云P(xyQ(x)yf(x)，.f(x)0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)ypyqy0,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：()r2prq0,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y,y,y的系數(shù);3、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：r，r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p24q0)nxr2xyceC2e兩個相等實根(p24q0)y(ciC2x)er1x