觀察最小二乘多項(xiàng)式的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象

1、數(shù)值實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)?zāi)康?觀察最小二乘多項(xiàng)式的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1在-1,1區(qū)間上取n=20個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，計(jì)算出以相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上ex的值做為數(shù)據(jù)樣本，以1,x,X2，xl為基函數(shù)作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多項(xiàng)式，畫出ln(cond(A)2)l之間的曲線，其中A是確定最小二乘多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣。計(jì)算出不同階最n小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差仃(1)=£(y(Xi)-yi)21 12在-1,1區(qū)間上取n=20個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，計(jì)算出以相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上ex的值做為數(shù)據(jù)樣本，以1, R(x),P2(x)，R(x)為基函數(shù)作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多項(xiàng)式，其中，Pi

2、(x)是勒讓德多項(xiàng)式。畫出ln(cond(A)z)l之間的曲線，其中A是確定最小二乘多項(xiàng)式n的系數(shù)矩陣。計(jì)算出不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差仃(l)=£(y(xi)-yi)2,把結(jié)果與1比較實(shí)驗(yàn)1結(jié)果:設(shè)擬合多項(xiàng)式為Sl(x)=a0alxa2x2.qxlMatlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);delta=zeros(1,7);forl=3:2:15A=zeros(l+1);B=zeros(l+1,1);fori=1:l+1forj=i:l+1A(i,j)=x人(i-1)*(x.%j-1),;(j,i)=A(i,j);endB(i

3、,1)=x.A(i-1)*y'endc=(AB)'yf=0;fori=1:l+1yf=yf+c(i)*x-(i-1);enddelta(l-1)/2)=sum(yf-y).A2);acond(l-1)/2)=cond(A);endl=3:2:15;plot(l,log(acond);xlabel(T);ylabel('ln(Cond(A)_2)');圖1以1,x,x2，xl為基函數(shù)條件下ln(Cond(A)2)l關(guān)系曲線圖2以1,x,x2，x1為基函數(shù)條件下Variables-delta值根據(jù)圖2,列出以1,x,x2，1X1為基函數(shù)條件下不同階最小二乘多項(xiàng)式給出

4、的最小誤差ncr(1)=£(y(xi)-yi)2,如表1所示。i413579111315譏1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132,2582e-185.0499e-245.2194e-235.0101e-21表1以1,x,x2，1X1為基函數(shù)條件下不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差6(1)實(shí)驗(yàn)1結(jié)論：從圖1可看出，A的條件數(shù)隨著最小二乘多項(xiàng)式的階數(shù)的增加而增加。從表1可看出，起初最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差隨其階數(shù)的增加而減少，但當(dāng)階數(shù)達(dá)到一定值(13及以上)時(shí)，最小誤差反而增加。實(shí)驗(yàn)2結(jié)果:設(shè)擬合多項(xiàng)式為S/x)=a0B(x)+a1P(x)+a2F2(x)

5、+a1P(x)1 dn其中，Po(x)=1,Pn(x)=-X(x2-1)n(n=1,2,).2 n!dxMatlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);de1ta=zeros(1,7);|P=zeros(16,20);forn=0:15Pt=1egendre(n,x);|P(n+1,:)=Pt(1,:);endfor1=3:2:15A=zeros(1+1);B=zeros(1+1,1);fori=1:1+1forj=i:1+1A(i,j)=P(i,:)*P(j,:)'endB(i,1)=P(i,:)*y'endc=(AB),;yf=c

6、*P(1:l+1,:);delta(l-1)/2)=sum(yf-y).A2);acond(l-1)/2)=cond(A);endl=3:2:15;plot(l,log(acond);xlabel('l');ylabel('ln(Cond(A)_2)');圖3以勒讓德多項(xiàng)式p"x)為基函數(shù)條件下ln(Cond(A)z)l關(guān)系曲線圖4以勒讓德多項(xiàng)式pi(x)為基函數(shù)條件下Variables-delta值根據(jù)圖2,列出以勒讓德多項(xiàng)式R(x)為基函數(shù)條件下不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最n小誤差仃(l)=£(y(Xi)-yi)2,如表2所示。i1135

7、791113156(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132.2582e-184.4161e-241.4807e-299.7307e-29表2以勒讓德多項(xiàng)式pi(x)為基函數(shù)條件下不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差6(1)實(shí)驗(yàn)2結(jié)論：從圖2可看出，A的條件數(shù)隨著最小二乘多項(xiàng)式的階數(shù)的增加而增加。從表2可看出，起初最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差隨其階數(shù)的增加而減少，但當(dāng)階數(shù)達(dá)到一定值(15)時(shí)，最小誤差反而增加。實(shí)驗(yàn)1、2對(duì)比：211、對(duì)比以1,x,x,，X和以勒讓德多項(xiàng)式Pi(x)為基函數(shù)條件下1n(Cond(A)2)1關(guān)系曲線。圖51n(Cond(A)2)1關(guān)系曲線對(duì)

8、比2、對(duì)比以1,x,x2，4和以勒讓德多項(xiàng)式Pi(x)為基函數(shù)條件下不同階最小二乘多項(xiàng)n式給出的最小誤差5(1)、仃2(1)。其中仃(1)=£(y(x)-yi)2,1=3,5,7,9,11,13,15。i1135791113155(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132,2582e-185.0499e-245.2194e-235.0101e-2102(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132.2582e-184.4161e-241.4807e-299.7307e-29表3不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小誤差6(1)對(duì)比實(shí)驗(yàn)1、2對(duì)比結(jié)論：從圖5可看出，以1,x,x2，xl和以勒讓德多項(xiàng)式R(x)為基函數(shù)條件下，A的條件數(shù)均隨著最小二乘多項(xiàng)式的階數(shù)的增加而增加，但以勒讓德多項(xiàng)式pi(x)為基函數(shù)時(shí)的條件數(shù)小于以1,x,，x1為基函數(shù)時(shí)的條件數(shù)。從表3可看出，次數(shù)1E9時(shí)兩種