面積計算奧數(shù)題

1、六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十答案（圖形面積）簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易at算.上面左圖是邊長為4的正方形，它的面積是4X4=16（格）；右圖是3X5的長方形，它的面積是3X5=15（格）.上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5,高是4,面積是5X4+2=10（格）；右圖是一個鈍角三角形,底是4,高也是4,它的面積是4X4+2=8（格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面上底是4,上面左圖是一個

2、平行四邊形，底是5,高是3,它的面積是5X3=15（格）；右圖是一個梯形,卜底是7,高是4,它的面積是（4+7）X4+2=22（格）.上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位一、三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：三角形面積=底X高+2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運

3、用例1右圖中BD長是4,DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4X高+2.三角形ADC面積=2X高+2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條高例2右圖中，BD,DE,EC的長分別是2,4,2.F是線段AE的中點，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC=2+4+2=8.三角形ABC面積=8X4+2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同，而DE長是

4、4,也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.這樣一來，三角形DFE的面積是三角形ABC面積的J三角形DFE面積=16+4=4.例3右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FEXBE+2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，

5、也就是20X12+2=120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10,因此面積=4X10+2=20.對三角形ADC來說，DC是底邊，高是8,因此面積=7X8+

6、2=28.四邊形ABCD面積=20+28=48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF,線段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積三角形ABE面積=3X6X2=9.三角形BCF面積=6X（6-2）+2=12.三角形DEF面積=2X（6-3）+2=3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形BEF面積=6X6-9-12-3=12.例6在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD（陰影

7、部分）的面積解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形DCE的面積是7X2+2=7.因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是7+2=3.5.因為BE=8是CE=2的4倍，三角形MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是3.5X4=14.長方形ABCD面積=7X（8+2）=70.四邊形ABMD面積=70-7-14=49.二、有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形

8、講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角（90度），還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（a）.四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）.一個等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是直角邊長的平方+2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方+4例7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個

9、等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8X8+2=32.這一個圖形的面積是32+16+8+4+2+1=63.例8如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2,A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母D,E,F,G.三角形ABC的面積=2X2+2=2.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形ADE面積=ABC面積X2=4.三角形E

10、FG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積+2=1.陰影部分的總面積是4+1=5.例9如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7,BC=3,三個角的度數(shù)：角B和D是直角,角A是45。.求這個四邊形的面積.於解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形BCE.因為A是45°,角D是90°,角E是180°-45°-90°=45°,所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即7X7+2-3X3+2=20.這是1

11、994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角A是45。，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45。和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10在右圖11X15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標(biāo)號相同的兩個正方形為一對）

12、，每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？15解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬=15-11=4是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長=11-4X2=3.中間小正方形面積=3X3=9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地，我們已知道長-寬=1（米）.還知道它的面積是15.75平方米

13、，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢?如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.15.7515.T515.75115.7E可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.75X4+1X1=64（平方米）.64是8X8,大正方形邊長是8米，也就是說長方形的長+寬=8 （米）.因此長=（8+ 1） +2= 4.5 （米

14、）.寬=8-4.5 = 3.5 （米）.那么劃出的長方形面積是4.5X1 = 4. 5 （平方米）.例12如右圖.正方形ABCD與正方形 EFGC并放在一起.已知小正方形 EFGC的邊長是6,求三角形 AEG四邊形 三角形 三角形 四邊形個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG二（小正方形邊長+大正方形邊長），因此ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形X大正方形邊長+2.AHCD是它們兩者共有，因此，三角形 AEH與三角形HCG面積相等，

15、都加上三角形 EHG面積后，就有 陰影部分面積二三角形ECG面積 二小正方形面積的一半=6X6 + 2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān),而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.例13方在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖）,求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是4X4-3-5-1.5=65例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14下

16、圖中ABCD是6X8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB，底邊AB,就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積=(三角形AEB面積)-(三角形AFB面積)=8X6+2-4X8+2=8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當(dāng)然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思

17、路.例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大？10解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底x高.從圖上可以看出，底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與10X2的長方形面積相等.可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成10X2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小，因此草地面積=(16-2)X(10-2)=112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積丁E解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它

18、的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形ABCD面積=(8+8-3)X5+2=32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的三角形ABC面積=(3+3+3)X4+2=18.三角形CDE面積=(4+4)X3+2=12.這兩個直角三角形有一個重疊部分-四邊形BCEG,只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因為AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三個面積相等的三角形.BGD是兩個面積相等的