立體幾何壓軸小題.docx

1、立體幾何壓軸小題學(xué)校:.姓名:班級:考號:一、單選題設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，戶是棱，4上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,記直線秘與直線AC所成角為。，直線朋與平面ABC所成角為尸，二面角P-AC-B的平面角為則（）A./3<y,a<yB. /3<a,p<yD.a<fiyy<P2.在三棱錐ABCD中，ZBAC=ZBDC=60°,二面角A-BC-D的余弦值為r當(dāng)三棱錐口的體積的最大值為乎時，其外接球的表面積為（）D.8/rD.8/rB.6兀3.如圖，直三棱柱A8C4BCi中，側(cè)棱長為2,AC=BC=1,“1CB=90°,點(diǎn)D是，1

2、%的中點(diǎn)，尸是側(cè)面AA1B1B（含邊界）上的動點(diǎn).要使人缶1平面C】D，則線段GF的長的最大值為（）的最大值為（）C.華4.在正方體旭8-姒1印1中,點(diǎn)"平面仙飽8,點(diǎn)F是線段仙1的中點(diǎn),若D/ICF,則當(dāng)曲BC的面積取得最小值時,D/ICF,則當(dāng)曲BC的面積取得最小值時,SAEBCA.5.己知四面體/f位刀的三組對棱的長分別相等，依次為3,4,x,則x的取值范圍是（A.(奴申)B.(a/7,5)C.(妊3)D.(4,7)當(dāng)出（球納時，速落任齡'是定值.其中正確說法是-參考答案I.B【解析】【分析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念

3、,以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖G為AC中點(diǎn)，V在底面ABC的投影為。，則P在底面投影D在線段A0上,過。作OE垂直AE，易得PE7/UG,過P作PF/AC交VG于F,過。作DH/AC,交BG于H,則a=ZBPF,§=ZPBD，y=ZPED,貝iJPFEGDHBDoPDPDDcosa=<=cosp，即a>p,tany=>=tan。，即y>p,PBPBPBPBEDBD綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理p<a，記V-AB-C的平面角為胃（顯然Y

4、'=Y）由最大角定理6vy'=Y，故選B.方法3：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，PjVA中點(diǎn)，易得后.應(yīng).心龍.2皿心pcosa=>sina=,sinp=.siny=，故選B6633【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法.1. B【解析】【分析】根據(jù)兩個射影，結(jié)合球的圖形，可知二面角A-BC-。的平面角為匕AMD；根據(jù)題意可知當(dāng)AB=AC,BD=CD時，三棱錐A-BCD的體積最大。根據(jù)體積的最大值可求得BC的長，結(jié)合圖形即可求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積?！驹斀狻咳鐖D，設(shè)球心。在平面ABC內(nèi)的射影為Q,在平面

5、BCD內(nèi)的射影為則二面角A-BC-D的平面角為匕4MD點(diǎn)A在截面圓Q上運(yùn)動，點(diǎn)。在截面圓Q上運(yùn)動，由圖知，當(dāng)AB=AC,位）=CD時，三棱錐ABCD的體積最大，此時與是等邊三角形設(shè)BC=a，則AM=DM=也（1，2q-鳥-Clh-AMsin（勿一ZAMD）=aV -IsA-BCD_3一2"_43解得a=后,所以DM=-DQ=1,設(shè)ZAMD=20-2,1則cos2。=2cos。一1=3解得tan。=很=O2Mtan<9=-球。的半徑R=DO；+OO；=斗所求外接球的表面積為S=4兀46兀故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的綜合應(yīng)用，根據(jù)空間幾何關(guān)系求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積

6、,對空間想象能力要求較高，屬于難題。2. A【解析】【分析】取羽1上靠近的四等分點(diǎn)為E,由題易知旭1,再利用空間向量證得AB11DE,即當(dāng)F在DZT上時，平面CDF,然后求得答案.【詳解】取"務(wù)上靠近務(wù)的四等分點(diǎn)為E,連接DR當(dāng)點(diǎn)F在DE上時，刀缶1平面GDF,證明如下：因?yàn)橹比庵鵄BCAci中，側(cè)棱長為2,AC=BC=1,"1CB=9O。，點(diǎn)D是%的中點(diǎn)，所以SI平面仙1曲，所以GDIAB1以為坐標(biāo)原點(diǎn)，CMiCiBiCiB分別為x軸，y軸，z軸建系；所以4（l,0,2）"i（0,l,0）,D（；,；,0）,E（0,l,；）即砥=（-1,1-2）,nr=（-；

7、,；,；）此時成飾=（）,即仙口譴所以人比！平面C1DE,故當(dāng)F在DE上時，刀們上平面GDP,很明顯，當(dāng)E、F重合時，線段最長，此時故選A【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何的綜合知識，屬于探索性題型，熟悉空間向量與立體幾何以及立體幾何的定理是解題的關(guān)鍵，屬于難題.3. D【解析】【分析】取4。的中點(diǎn)"，連接務(wù)"，證明點(diǎn)在直線務(wù)上，當(dāng)BE1時，三角形EBC的面積取得最小值，進(jìn)而求得嘉壬的值【詳解】取4。的中點(diǎn)"，連接務(wù)"，設(shè)BFnBE=G作出圖像如下圖所示.易得B1D11A1C1,B1D11所以B1D11平面44血1,所以B1D11CF易得BrH11BCf所以L平

8、面BCP,所以職CF故CF1平面所以在直線為反上，可使得部項(xiàng)出.由于BC1BEt所以器最短時三角形噸C的面積取得最小值，此時用點(diǎn)在點(diǎn)G的位置.設(shè)正方體棱長為2,故Sabcd=2X2=4們=J1?+2?=廬,所以BHXBB.2c1-22S.EBC2"=F-=$，所以S海=X2X齊=的故筆擊萼=普故選°【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查三角形面積的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，難度較大，屬于難題.本題解題關(guān)鍵點(diǎn)在于找到點(diǎn)所在的位置，主要通過證明線面垂直來找到.4. B【解析】【分析】作出圖形，設(shè)AB=3,AC=4,四面體A'-ABC可以由AABC和在同一

9、平面的左A'BC沿著BC為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，利用數(shù)形結(jié)合能求出x的取值范圍.【詳解】解：如圖所示，第一排三個圖討論最短；第二排三個圖討論最長，設(shè)AB=3,AC=4,四面體A-ABC可以由AABC和在同一平面的A'BC沿著BC為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，第-排，三個圖討論最短：當(dāng)匕ABC<90。向90。趨近時，BC逐漸減少，AAYBC,可以構(gòu)成x=AA'=BC的四面體；當(dāng)匕ABC290。時構(gòu)成的四面體AA，>BC，不滿足題意；所以滿足題意的四面體第三對棱長大于序雖=廳，第二排，三個圖討論最長：當(dāng)匕BACC90。向90。趨近時，BC逐漸增大，AA*>BC,可以構(gòu)成x=AA&#

10、39;=BC的四面體；當(dāng)匕ABC290。時構(gòu)成的四面體AABC，不滿足題意；所以滿足題意的四面體第三對棱長小于序K=5；綜上，xe（V7，5）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了四面體中邊長的取值范圍問題，也考查了推理論證能力，屬于難題.5. D【解析】【分析】根據(jù)題目易得三棱錐P-BCD底面積己知，故而只需找到高便可求出三棱錐體積，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)找到三棱錐高的最大值，即可求出三棱錐體積的最大值?！驹斀狻恳?yàn)樵诶忾L為4的正方體ABCD-AiBCiDi中，M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCC。內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且滿足乙APD=：MPC,所以RtADPRtMCP,所以訐=床=Z即PD=2PC,令

11、點(diǎn)P在DC上的投影點(diǎn)為0,DO=x,PO=h,所以房+1?=2j（4-x）2+h整理得=lx?+32x-64,0<x<4»根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得當(dāng)x=4時，31?有最大值為16,所以h的最大值為號，因?yàn)镻O1面BCD,所以三棱錐P-BCD體積最大值為：卜捉4'4><¥=普，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的最值問題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問題，借助函數(shù)求解即可。6. B【解析】【分析】由題意可知，當(dāng)平面a經(jīng)過BCNM時取得的截面面積最大，此時截面是等腰梯形；根據(jù)正四棱臺的高及MN中點(diǎn)在底面的投影求得等腰梯形的高，進(jìn)而求得等腰梯形的面積。

12、【詳解】當(dāng)斜面a經(jīng)過點(diǎn)BCNM時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時a為等腰梯形，上底為MN=4,下底為BC=8此時作正四棱臺ABCD-AiBiCiDi俯視圖如下：則MN中點(diǎn)在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5因?yàn)檎睦馀_ABCD-AiBiCiDi的高為5,所以截面等腰梯形的高為好昧=5桓所以截面面積的最大值為S=：x（4+8）x5心=30牧所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了立體兒何中過定點(diǎn)的截面面積問題，關(guān)鍵是分析出截面的位置，再根據(jù)條件求得各數(shù)據(jù)，需要很好的空間想象能力，屬于難題。7. D【解析】分析：先根據(jù)匕APD=CCPM得P點(diǎn)軌跡為圓在矩形CDD1G內(nèi)部（含邊界）的圓弧,可得P到

13、CD最大距離，再根據(jù)錐體體積公式可得V（x）,根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可判斷選擇.詳解：因?yàn)镃APD=匕CPM,所以tanAPD=tan乙CPM,即蘭=2_.pn=當(dāng)P在CCiPD-PCFL，上時dp_CD取最大值而，因此V(x)=!x3對Xdp_cDX3="p_CD=hV（3）=V（2）=¥，V（x）不為奇函數(shù)，V（x）在（0,右）上單調(diào)遞增，所以選D.點(diǎn)睛：立體幾何中體積最值問題，先根據(jù)幾何體體積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為元函數(shù)問題，最后根據(jù)函數(shù)形式，根據(jù)基本不等式或利用導(dǎo)數(shù)求最值.8. B【解析】如圖：01M,因?yàn)镺i為中心，所以CiM=»iD,過M做

14、EF/AB,則梯形ABFE即為所求截面，EF=jx2=AE=BF=J?2+（j）2=所以梯形的高=岑故梯開，面積為捉（；+2）、#=呼，故選B.9. B【解析】由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的B.-AED,設(shè)F為AB】的中點(diǎn)，通過計算得DF=y/6,EF=0D、E=3,所以EF1D.E,而在等腰三角形EAB,EF1AB.,故EF.L平面ABJ,所以=|-（2>/2）2>/3=2.1內(nèi)切球的半3徑為，則!低"/5的+5的+5場促）尸=2,即;（2右+川+3+3）尸=2,故66+20+斤NBII. A【解析】如圖，過點(diǎn)P作的平行線交3C于點(diǎn)Q、交BQ于點(diǎn)、E，連接，則PN

15、是平面D】PM與平面BCCE的交線，MN是平面DXPM與平面ABCD的交線.EF/BB、,交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于點(diǎn)G,則有MQ與平面EFG垂直，所以，EG.LMQ,即角是平面DIPM與平面ABCD的所成二面角的平面角，6. 在棱長為4的正方體ABCD-AiBiCiDi中，M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCCQi內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且滿足匕APD=：MPC,則三棱錐P-BCD的體積最大值是（）A.?B.40C.y/3D.37. 如圖，在正四棱臺ABCD-AiBiCiDi中，上底面邊長為4,下底面邊長為8,高為5,點(diǎn)MN分別在AiBiQCi上，且AiM=DiN=1.過點(diǎn)M,N的平面a與此四棱臺的

16、下底面會相交，則平面a與四棱臺的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為A.187B.30牧C.6何D.36而在長方體ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD是邊長為3的正方形，側(cè)棱AA】=x,P為矩形CDDiCi內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)，M為BC中點(diǎn)，4PD=ZCPMQ為空間任一點(diǎn)，三棱錐Ai-PCD的體積的最大值記為V（x）,則關(guān)于函數(shù)V（x）,下列結(jié)論確的是（）A.V（x）為奇函數(shù)B.V（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞增;V（2）=3D.V（3）=孕8. 有一正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）木料ABC-AiBiCi,其各棱長都為2.己知Qi,Q2分別為上，下底面的中心，M為Q1Q2的中點(diǎn)，過A,B

17、,V三點(diǎn)的截面把該木料截成兩部分，則截而面積為（）A項(xiàng)B.呼C.釁D.29. 己知三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（）6A3+4>/3+>/66A3+4>/3+>/66B，6+2?3+764+3-/3+2/611.設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體的棱AD的中點(diǎn)，P是平面BCC.B.內(nèi)一點(diǎn)，若面D.PM且sinZEGF=,EGMN/CD交BC于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NH±EQ于點(diǎn)H,MN同上有：sinZMHN=，且有ZEGF=/MHN,又因?yàn)镋F=MN=AB,故MHEG=MH,而2S.emq=EGxMQ=MHxEQ,故MQ=EQ,而四邊形EQMQ一定是平行四邊形

18、，故它還是菱形，即點(diǎn)E一定是氣弓的中點(diǎn)，點(diǎn)pq長度的最小值是點(diǎn)q到直線BE的距離，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA,為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，£(2,1,2),8(2,0,0),G(2,2,2),BE=(0,1,2),BC,'=(0,2,2),.穴長度的最小值婦碼.柯褻序京=學(xué)故選A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間最小距離的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，對學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想有較高要求A【解析】設(shè)P在平面ABCD上的射影為在平面BBQC上的射影為,平面D.PM與平面AI3CD和平面BCCq成的銳二面角分別為a,B,則cosa=5阪&q

19、uot;,cosB=電"勺,.cos。=cos8,SDP.M=SSPM.Ct,設(shè)P到GA/'距S叫明S皿pm離為d,則-x45xd=-xlx2,d=,即點(diǎn)P在與直線GM'平行且與直線距離為225學(xué)的直線上，./到G的最短距離為1=學(xué)，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是正方體的性質(zhì)、二面角的求法、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于難題.解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤，求二面角的常見方法有：1、利用定義找到二面角的平面角，根據(jù)平面幾qt何知識求解；2、利用公式cos<9=,求出二面角的余弦，從而求得二面角的大?。?、

20、S利用空間相夾角余弦公式.12. C【解析】取DC中點(diǎn)N,連MN,NB,則MN/A1DNB/DE,所以平面MNB/平面A1DE,即MB/呼面AiDE,A正確；取AiD的中點(diǎn)為F,連接MEEF,則平面BEFM是平行四邊形，所以CAiEF為異面直線BM與A1E所成角，故B正確；A關(guān)于直線DE對稱點(diǎn)N,則DE上平面A1AN,即過0與DE垂直的直線在平面AiAN上,故C錯誤；三棱錐Ai-ADE外接球的半徑為我0,故D正確.£故選C.13. C【解析】由于AO1平面IDC,所以AOA.OM,所以O(shè)H=-0M,同理ON=-OC,22由圖可知。點(diǎn)軌跡為橢圓，|。|長度最小值為|CM|=1,最大值為

21、|G4|=V2,所以C選項(xiàng)錯誤.點(diǎn)睛：本題主要考查空間立體幾何折疊問題，是立體幾何與平面幾何問題的集中體現(xiàn)，解題時要弄清折疊前后點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，畫出折疊后的立體圖形并與折疊前的圖形相對照，弄清變化的量與不變的量，這些都是解題的依據(jù).考查學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化能力.14. D【解析】由正方體性質(zhì)知Aid面PQR,設(shè)q對應(yīng)頂點(diǎn)為Qi，則QQ1/A1C,又Qi在正方體的表面上，所以Q1必在BQ上，在三角形AiBiC中，可得QQi=?AC=§,因此選D.15. C【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且平面PABE1平面ABCD,所以PA,AB,AC兩兩垂直，且PA/BE,所

22、以建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），又因?yàn)镻D=8,CE=6,所以P（0,0,4）,C（4,4,0）,E（4,0,2）,D（0,4,0）,B（4,0,0）,則F（4k,0,0）,DE=（4,-4,2）,DF=（4/s-4,0）,CE=（0,-4,2）,EP=（40,2）,設(shè)平面DEF的法向量為m=（x,y,z）,則由*器況得4；建坦0,取m=（/,22）,平面PCE的法向量為n=（x,y,z）,則由:靠二f得嘿第二取n=（l,l,2）,因?yàn)槠矫鍰EF1平面PCE,所以mn=1+2（2Z-2）=5a-3=0,解得尢=；故選C.點(diǎn)睛：求空間角（異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角），往往將其

23、轉(zhuǎn)化為直線的方向向量、平面的法向量之間所成的角的問題，再利用空間向量進(jìn)行求解，但要注意空間角和空間向量所成的關(guān)系和區(qū)別.【解析】削順蜘娜國雖姬教1嗾試題分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,織=卜1照此您調(diào)聲.=）翎XU一寒釧，肥所以霓,設(shè)平面誠叫回的法向量為T.一落另#=期X賜快=勵,11.&=怎島堵，則由題設(shè)i陽顯5,w|-=o令T則3=皿9,所以由國*冒平面，理聲*,則憐闊唐=筋，即翼初一網(wǎng)*111翼一尊=敏，也即",策，所以I41=J皴-彥待-簿衛(wèi)。因平面BCCiBi的法向量為能=醐婀,故AiF與平面BC0B1所成角點(diǎn)的正弦值國，|.¥1J翎*擇W,正切值

24、g=隱蝴密=:.解頃:9j同訂場頑jX*萼/=脾一5§，仁_1則皿='*%*二，所以曳喧禎成引偵攵，即EG也,所以應(yīng)選D。28"18.3【解析】【分析】當(dāng)三棱錐S-ABC體積最大時，分析得出點(diǎn)C的位置，再根據(jù)球的性質(zhì)，在直角三角形中解出球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】解：取4。的中點(diǎn)連接CD,設(shè)ZMBC的外接圓的圓心為、ASAB的外接圓的圓心為P,因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以4S718面積確定，要使三棱錐S/1BC體積最大，即要使點(diǎn)C到平面S旭的距離最大，只有當(dāng)平面ABCL平面S旭時，體積最大，即點(diǎn)C到邊刀8的距離最大，三棱錐的體積最大，因?yàn)橐?08=45

25、°,且AB=2t12MBC外接圓的半徑彼為？X辰=己所以點(diǎn)C在44BC外接圓上運(yùn)動，如圖所示當(dāng)點(diǎn)C滿足CA=CB時，點(diǎn)C到邊48的距離最大，三棱錐的體積最大.此時三棱錐的高即為CD的長，此時仙"外接圓廳的圓心廳在CD上，根據(jù)球的性質(zhì)可知，時宜氣OF1DF,OF/ED故四邊形為矩形，故0E=DF=；X§x2=f,在RMCE。中，球的半徑平方為CO2=CE2+。砂=2+亍=小7728所以球的表面枳為4卻2=47T勺=至兀.【點(diǎn)睛】本題考查了錐體與球體的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要確定錐體上各點(diǎn)、線、面與球體之間的關(guān)系，同時還要對球體的性質(zhì)有清晰的認(rèn)識.【解析】【分析】由條

26、件得到點(diǎn)C的軌跡是以AB為長軸的橢圓，利用橢圓的對稱性知當(dāng)匕ACB最大時有AC=BC,做出二面角P-AC-B的平面角，在APFE中求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到OP的距離為庖則點(diǎn)C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)面的軸的圓柱與平面ABC的公共點(diǎn),即點(diǎn)C的軌跡是以AB為長軸，以2&為短軸長的橢圓，又由橢圓的對稱性可知,則當(dāng)匕ACB最大時有AC=BC=2.如圖，在AC上取一點(diǎn)F,滿足lAFl=：,連接EF,PF,則有EFAC,又因?yàn)镻E1AC,則CPFE是二面角P-AC-B的平面角,在APEO中，0P=l,0E=；,.PE=§,.PF=Jpe2+EF2,在APFE中，EF=,PF=¥，故二

27、面角的余弦值是若.【點(diǎn)睹】【點(diǎn)睹】故答案為晉.本題考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圓錐所得的圓錐曲線的形狀，考查了邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于難題.20. a/2【解析】【分析】利用結(jié)論cos匕A1AB=cos匕A1AC-cosCAB,求出線面角XiAC,再利用正弦定理列方程,把問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問題來解決.如圖，由匕AiAB=AiAD=；,可知點(diǎn)Ai在底面的射影點(diǎn)在宜線AC上,則MAC是直線AiA與底面所成的角，則cos匕AAB=coszAiAC'cos-CAB,cos;=cosAiACcoscosAiAC="sin匕A】AC=*cl*cl在AAAC中，由正弦定理可知

28、:涂標(biāo)=辦和,sinAjCAc=忠sin匕AiCA<皿當(dāng)匕AiCA=；時，c最大為*故答案為皿【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的結(jié)論：當(dāng)匕AiAB=：AiAD時，(點(diǎn)Ai在平面ABD外)，cosO=cosa'cos(p(其中a為直線AAi與平面ABD所成的角，0為直線AAi與直線的夾角，q,為直線AB與直線AAi在平面ABD的射影的夾角)，還考查了正弦定理及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.21. (3)(4)【解析】【分析】畫出圖像，由圖像判斷(I)是否正確；計算D-ABC的體積來判斷(2)是否正確；依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法判斷(3),(4)是否正確.【詳解】畫出圖像如下圖所示，

29、由圖可知（1）的判斷顯然錯誤.由于AD1CD,AD1BD,故43DC是二面角C-AD-B的平面角且AD1平面BCD,故匕BDC=60過B作BE1CD交CD的延長線于E,由于ADJ-BE,故BE是三棱錐B-ACD的高.在原圖中，BC=a/TT5=3,AD=七;。=也BD=寸3-2=1,CD=寸6-2=2,BE=BD"sin60°=1xy=y,所以Vd-abc=Vb-acd=|xxADxCDxBE=>舊、2、欄=當(dāng)故（2）錯誤.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,Dz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.A（也0,0）,B（0,-|,y）,C（0,2,0）,AB=（成,的，就=（

30、-由,2,0）,設(shè)平面ABC的法向量為n=（x,y,z）,則°。,令x=2,則y=血=乎，即打=（2裁,綬平面BCD的法向量是成=（舊,0,0）.設(shè)二面角A-BC-D的平面角為0,由圖可知。為銳角，故cos。=.償J=如,則其正切值為等=亨.故判斷正確.平面ACD的法向量為（0,0,1）,一（5同_順冷皂一也BC=-7）,設(shè)直線BC和平面ACD所成的角為a,!illjsma-商阿房頊一】牝故（4）判斷正確.綜上所述，正確的有（3）,（4）.DE【點(diǎn)睛】本小題主要考查折疊問題，考查空間面面垂直的判斷，考查錐體體積計算，考查二面角的計算以及線面角的計算，屬于中檔題.22. 3【解析】【分

31、析】過BC作與AD垂直的平面，交AD于E,過E作BC的垂線，垂足為F,則V=jSABcexAD,進(jìn)而可分析出當(dāng)BE取最大值時，EF取最大值時，三棱錐D-ABC的體枳也取最大值，利用橢圓的兒何意義及勾股定理，求出EF的最大值，可得結(jié)果.【詳解】過BC作與AD垂直的平面，交AD于E,過E作BC的垂線，垂足為F,如圖所示:BC=2,AD=6,則三棱錐D-ABC體積V=jSABcex（AE+DE）=§SabcexAD=jxBCEFxAD=2EF.故EF取最大值時，三棱錐D-ABC的體積也取最大值.由AB+BD=CD+CA=7,可得B,C都在以AD為焦點(diǎn)的橢球上，因?yàn)槠矫鍮CE與AD垂直，所以

32、三角形ADB與三角形ADC全等，三角形BCE為等腰三角形，所以只需BE取最大值時，三棱錐D-ABC的體積也取最大值.在AABD中，動點(diǎn)B到AD兩點(diǎn)的距離和為7,故B在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上，此時a=fc=3,故BE的最大值為b=&=半，故三棱錐D-ABC的體積的最大值是2EF=2x；=3,故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積公式，橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力以及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化與劃歸思想在解題中的應(yīng)用，考查了空間想象能力，其中將求棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為求橢圓上動點(diǎn)到長軸的距離最遠(yuǎn)是解答本題的關(guān)鍵關(guān)鍵，本題屬于難題.23. 【解析】【分析

33、】可證明DEJ平面PGE,可得正確；連接FG,取中點(diǎn)M異面直線PG與DH所成的角為CDHM,由余弦定理可證明念）正確；取DF中點(diǎn)N,連接GN,NH,異面GH與PD所成的角為乙GHN,由余弦定理可得不對；異面PG與EF所成角的為ZGPN,由余弦定理可得不對，從而可得結(jié)果.【詳解】ABC的邊長為4,折成正四面體P-DEF后，如圖.'D,E,分別為各邊的中點(diǎn)，（；,分別為誑時的中點(diǎn),ADH1FP,DE1GP；連接，取中點(diǎn)，機(jī)可得HM/GP，異面直線與仞所成的角的平角為乙DHM；GP=HM=y連接切，可得DM=g.分別與面ABCI）和面BCCA所成的銳二面角相等，則PC長度的最小值是（）25V

34、2>/6A. B.C.D152312. 設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-AECQi的棱A。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC、B所在的平面內(nèi)，若平面DPM分別與平面ABCD和平面BCC】片所成的銳二面角相等,則點(diǎn)F到點(diǎn)G的最短距離是（）2>/5V2x/6A.B.C.1D.52313. 如圖，矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將AADE直線DE翻轉(zhuǎn)成AjBE（A任平面ABCD）,若分別為線段AiC,DE的中點(diǎn)，則在AADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯誤的是（）A. 與平面AiDE垂直的直線必與直線MB垂直B. 異面直線BM與A1E所成角是定值C. 一定存在某個位置，使deJ-moD.

35、三棱錐Ai-ADE外接球半徑與棱ad的長之比為定值14.在等腰直角AA3C中，ABVAC,BC=2,M為BC中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，D為BC邊上一個動點(diǎn)，沿AQ翻折使BD1.DC，點(diǎn)A在面BCD上的投影為點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)。在BC上運(yùn)動時，以下說法錯誤的是（）A.線段NO為定長B.|CO|ehV2）C.匕WO+ZAC舊>180。D.點(diǎn)。的軌跡是圓弧15.正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為a,P,Q,R分別是棱AiA,AiBbA。的中點(diǎn)，以APQR為底面作直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三DH=，；在DMH中，余弦定理：cos匕DHM=§.對；DFPE對；取ZF中點(diǎn)/

36、V；連接G，V,A"可得NH/DP異面G0與/所成的角的平面角為CGHN,由余弦定理，G月與仞所成的角不是45°不對；異面座與所所成角的平面角為ZGPN,由余弦定理，可得PG與渺所成角不是60°.不對.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩條異面直線所成角的求法以及空間想象能力，是中檔題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解：二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.24. 8h【解析】分析：根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求得三

37、棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由cos匕ACB=0sm匕ACB,根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式得sin2ZACB+cos2ZACB=1,解得smACB=所以c=,因?yàn)锳C=0,BC=1,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosC代入得AB=3+l-2x/3xy=l所以ABC為等腰三角形，旦B=120°，由正弦定理得ABC外接圓半徑R為壽=2R,解得R=1設(shè)AABC外心為O,OO'=h,過O作O，M-*-AD則在OOA中h2+12=R2在CTMD中（2-h）2+12=R2解得R=版所以外接球面積為S=4tiR2=4丸（偵偵F=8丸點(diǎn)睛：本題綜合考查了空

38、間幾何體外接球半徑的求法，通過建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結(jié)合球的表面積求值，對空間想象能力要求高，綜合性強(qiáng)，屬于難題。25. 思1【解析】分析：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)AJ3,P的坐標(biāo)，用來表示際PB,進(jìn)而求出答案.詳解：由題可知OA=OB=1,AB=由，貝Ijcos匕AOB=:二二=-；,匕AOB=y以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0A為x軸正方向，平面OAB的垂線為z軸建立空間坐標(biāo)系，則A(l,0,0),B(4*0),設(shè)P(xyz)PA=d-x,-v,-z),PB=(-x,y-y,-z)PAPB=(1-x)(-1-x)+(-y)(y-y)+z2=x2+y2+z2-|(x+佝

39、)P(xyz)在球面上，貝Ux?+y2+z2=1,x2+y2<*PA,PB=|-(x+5/5y)設(shè)m=x+Ay,當(dāng)直線x+a/3v-m=0與圓x2+y2=iffl切時，m取得最值.lo+0-ml由玲福1得lml=2*-2<m<2-;<PA'PB<匕£故答案為-#點(diǎn)睛：本題考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，使用坐標(biāo)法可以簡化計算，動點(diǎn)問題中變量的取值范圍是解此類問題的關(guān)鍵.26. g32兀【解析】分析：根據(jù)AGEF中的邊角數(shù)值，可以求出/XGEF的面積；因?yàn)镻E1EF,PE1EG,所以可以求得Vp_gef=?x0x4=¥。根據(jù)正弦定理，求出AG

40、EF的外接圓半徑為2,利用球心到各個頂點(diǎn)的距離相等特征，求得外接球半徑R=2快，因此可求得球的體積V球=上(2皿)3=籍，所以兩個體積的比值即為點(diǎn)C落在三棱錐P-EFG內(nèi)的概率。詳解：在AGEF中，GE=GF=2,乙EGF=120°可求得Sagef=zx2x2sinl20°=也因?yàn)镻E1EF,PE1EG,所以Vp_GEF=JX5/3x4=GEF中，GE=GF=2,乙EGF=120°，所以可求得EF=2/3EF慕疔=2r所以=2I22+h2=R2根據(jù)正弦定理，可求得AGEF的外接圓半徑r設(shè)球半徑為R,則122+（4-h）2=R2解得所以V球=林2屹）3=籍點(diǎn)睛：本題

41、考查了三角形的面積公式、正弦定理、三棱錐的體積、三角形外接圓半徑的求法、棱錐的外接球問題和幾何概型，綜合性強(qiáng)，對于各個知識點(diǎn)聯(lián)系銜接緊密，對能力要求較高,屬于難題。27. 8面-25【解析】畫出圖象如下圖所示.由于ZlC.FiqE,所以/_L平面C.EF,所以C,F,E三點(diǎn)共線.以BA,BC分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3,0）,C（0,4）,M（l,l）,設(shè)直線/的方程為y_l=A（x_l）,則直線的方程為），=一!工+4.令y=（）求得五=4們而北=0.聯(lián)立k解得十也羋土羿.由點(diǎn)到直線的距離公式可計算得）,=_與+4F1+爐打1+號葉潔'咬;所以|CF|25224（#+3）.芝

42、一25=8而一25.即最小值為8而一25.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系,考查線面垂直的證明，考查三點(diǎn)共線的證明，考查利用坐標(biāo)法解決有關(guān)線段長度比值的問題，是一個綜合性很強(qiáng)的題目.首先考慮折疊問題,折疊后根據(jù)線線垂直關(guān)系推出C,E,F三點(diǎn)共線，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，設(shè)好坐標(biāo)系后寫出直線/的方程即直線CE的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式寫出比值并求出最值.28. 4+2>/5積為12勿，所以球的半徑為JL設(shè)正方體的邊長為a,所以亨L=Kno=2,取B用的中點(diǎn)為H,CG的中點(diǎn)為G，設(shè)E在面。CCq的攝影為P,過P作與面AHGD平行的面，則使ME.LCF的點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡為矩形，

43、其周長等于AHGD的周長，故答案為4+2后點(diǎn)睛：本題屬于較難題，要作出符合條件的軌跡圖形然后求解，即作出與線CF垂直面且包含E點(diǎn)的平面是解本題的關(guān)鍵23【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面。的一個法向量為（況，為，z°），設(shè)連結(jié)HC、CD、BD,則四面體A-BCD為直角四面體；作平面。的法線AH,作BB.la于片，CC,la于G，DDLa于0；連結(jié)ABACeAD.,令A(yù)H=h,DA=a,DB=b,DC=c,由等體積可得1111,h2h2h2令/BAB】=a,ZC4C,=ZDAD=/?,可得sin2a+sin2+sin2y=1,DD=m,;BB=Jl,CC、=1,解得m=2；萬

44、=(與，y0,Zo)=(/?(?os(m。)，hcosC三-y),hcos(三-/3)=(hsina,hsinyhsin/3),.=（吒，No,z°）=由hsina=1,得hsiny=>/2,hsin/3=；1,季（。,0,3）1,季（。,0,3），乎，、萬，平面ABC的法向量為（0,0,3），則平面ABC與2平面。所成銳二面角的余弦值為平面。所成銳二面角的余弦值為=3x329. 21勿【解析】由題可得：球心（）在過底面AA8C的中心G的垂直底面的直線上，又二面角S-AB-C的大小為120°,取AB的中點(diǎn)為M,SB的中點(diǎn)為N,故ZNMG=12。，又NMG=120NM=

45、雖,CM=甌一MG=，NG=»,過M做MH=GO,且MH2222垂直底面，所以垂直底面，所以G（9=|,故球的半徑為右）2+g）=羅，所以球的表面積為2S31.皿以正方體棱長為326,取B片的靠B的三等分點(diǎn)H連接CD,DH,則NB_L面DHC,所以M的軌跡為DHC與內(nèi)切球的交線，由正方體棱長為326可得O到面DCH的距離為d2=-,所以截面圓的半徑為礦=1。一cP所以M的軌跡長度為：41010勺3應(yīng)2勿尸=715點(diǎn)睛：此題困難，首先要明確M的軌跡，通過題意可知M為DHC與內(nèi)切球的交線是解題關(guān)鍵，然后根據(jù)兒何關(guān)系求出相應(yīng)線段長度即可.32.2互,4*|【解析】如圖，設(shè)ABDC的中心為O

46、i,球O的半徑為R,連接O)D,OD,OiE,OE,則O】D=3sin60x=RaO、=yjAD2-DO；=3,3在RtAOO1D中,R2=3+(3R)2,解得R=2,VBD=3BE,ADE=2在4DEOi中，(RE=+4-2xx2xcos3()=1，OE=JqE+oq：=V2,過點(diǎn)E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為2匚不宵=>/2,最小面積為"()2=21.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，

47、正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.33.®【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1,O,O），A（1,O,1）,C（O,0,O）,R（O,O,1），G（O,x/J,1）,8（1M,O）,C=（-l,73,-1），設(shè)p（x,），,z）,A=3T，）'，z1）.對于，當(dāng)M=3A，即cosP/i,PD；)八1_V31T9aI"1的法向量為4=3，），4）,則由：DB°，解得,由于=0,所以。P/平面BDC成立.對于，當(dāng)4弓=54些時，即（一1,右,-l）=5（x-l,y,zl）,WWP|,

48、由藍(lán)竺=°可知AC1平面0AP成立.對于，設(shè)（555）711CD1P=0A.C=P,即(-l,Vi,-l)=；l(x-l,y,z-l)，解得FcospA,P£DvO,故NAP0的最大值可以為鈍角，錯誤.對于，根據(jù)計算的數(shù)據(jù),AAAAAAAAA,A=5時取得最小值為2月=挺，故錯誤.點(diǎn)睛：本題主要考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查利用向量法證明線面平面，線面垂直的方法，考查利用向量法求角度的最大值和線段長的最小值的方法.由題目所給兒何體是長方體，要驗(yàn)證線面關(guān)系，用向量法最快，建立空間直角坐標(biāo)系后，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，證明線面平行，利用直線的方向向量和平面內(nèi)兩個相

49、交的向量垂直證明線面垂直.【解析】橢圓的長半軸為5,短半軸為2,現(xiàn)構(gòu)造一個底面半徑為2,高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖啪原理得出橢球的體積V=2(V雌-V源)=2(nX22X5-7TX2之XQ=氣二【點(diǎn)睛】將橢球體體積轉(zhuǎn)化為圓柱體積與同底的圓錐的體積的差。4,;rba3【解析】橢圓的長半軸為。，短半軸為b,現(xiàn)構(gòu)造一個底面半徑為b,高為。的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖麗.原理得出橢球的體積=2x(瀝2x_：x泌2x=7ib2a.【點(diǎn)睛】將橢球體體積轉(zhuǎn)化為圓柱體積與同底的圓錐的體積的差。3

50、5. 23+30【解析】試題分析：d=(Ab+A+ZU，=IAD+AB+AAi2+2ADAB+2AD-AA;+2AA;AB=J12+12占=2幣.考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積與模.【名師點(diǎn)睛】本題考查空間向量的數(shù)量積與模，中檔題；在求距離問題時，通常通過求向量的模來完成，即將所求線段先用有向線段所在向量表示，通過空間向量基本定理用空間的一組基底來表示該向量，通過向量的方法求線段的長度.36. (2)(4)【解析】試題分析：平面庭踏上平面BCD:.CDL平面A'BD,腮與平面，遇踏所成的角為ZC4'。A'D=CD:.ZCA'D=-,四面體,逐一醐辨的體積為V=-Sh=-

51、x-x=-t43326.AB=AD=.DB=42:.AC1BD,綜上(2)(4)成立.考點(diǎn)：I線線垂直;2線面角;3棱錐的體積.38. ®®【解析】試題分析：由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，EFGH是平行四邊形.中若AB1CD,截ififEFGH是矩形，即FGLGH，如果截面曷V7H與側(cè)面ABC垂直，那么GHX.平面ABC,須CD1平面ABC,CDYAC,(1)不正確；(2)不妨假設(shè)AB,C。所成角為0,則平行四邊形EFGH中ZEFG=0或180°-0,ppapC"p令=/1(0<2<1),由=,所以EF=(-A)CD,FG=AABtCACD

52、ACABACSefgh=EF.FGsin0=)(1-)ABCDsin們而AB,CD是確定的，所以當(dāng)2=-,即尸是AC的中點(diǎn)時，亦即E為AD中點(diǎn)時，截面四邊形EFGH面積取得最大值，(2)正確;.EFAFFGCF.八口|川|始EFFGAFCF由CDACABACCDABACACFG=ABEF,EFGH的周長為2（段+FG）=2（+。一仙.EF）,而CDCD0vEF<CD,故EFGH的周長不存在最小值，(3)不正確;(4)若ABLCD,AC1BD設(shè)E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，則EFGH是矩形，連接EG,記它們的交點(diǎn)為P,則P到E,F,G,H距離相等，均為、EG；分別取2AB.CD的中點(diǎn)連

53、MG,GN,NE,EM,由己知MGNE是矩形，其對角線的交點(diǎn)即EG的中點(diǎn)P,且P到M,G,N,E的距離均為-EG,故在四面體內(nèi)存在一點(diǎn)P到四面體ABCD六條棱的中點(diǎn)的距離相等，(4)正確.2答案為®.考點(diǎn)：1.四面體的幾何特征；2.平行關(guān)系；3.垂直關(guān)系.棱柱另一底面的三個頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個三棱柱的高為()()A.身B.快aC.D爭16.已知梯形CEPD如下圖所示，其中PD=8,CE=6,A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面PABE-L平面ABCD,得到如圖所示的幾何體.己知當(dāng)點(diǎn)F滿足際=kAB（O<Z<1）時,平面DEF

54、1平面PCE,貝IJ尢的值為（）A.B.IC.|D.?17.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi中,E是棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCCiBi上的動點(diǎn),且AiF平面ADiE,則AiF與平面BC0B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（）【解析】試題分析：將該四棱柱繞蹌旋轉(zhuǎn)，水的部分的而屈踏與面，宓泗始終平行旦全等，其余面為四邊形，旦相鄰棱平行，所以始終呈棱柱狀；在旋轉(zhuǎn)過程中水面四邊形.囂踏鐘的面積改變； 在旋轉(zhuǎn)過程中，知藏徽,戮仁面界寥,所以棱4j.既始終與水面露參耕平：行；在旋轉(zhuǎn)過程中，水的體積保持不變，且四棱柱.盤霸-說沔的高蹣不變，則直角梯T形，愿齡D面積不變，即.野二一細(xì)I氏卜*:依褊為定值，

55、所以當(dāng)意竺納時，軀樣藉'是定值；故選.考點(diǎn)：四棱柱的性質(zhì).視頻只D.二、18.填空題己知是邊長為2的等邊三角形，乙4勇=45°,當(dāng)三棱錐S-/18C體積最大時,其外接球的表面積為.19.如圖，在三棱ffiP-ABC中，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABC的投影恰為OB的中點(diǎn).巳知AB=2PO=2,點(diǎn)C到OP的距離為，則當(dāng)4XCB最大時，二面角P-AC-B的余弦值是,己知底面四邊形ABCD為矩形,匕AiAB=：A】AD=：,其中，|AB|=a,|AD|=b,|AAi|=c，體對角線|A£|=1,貝北的最大值是21. 將直角三角形ABC沿斜邊上的高AD折成120°

56、;的二面角，己知直角邊AB=a/3,AC=*,那么下面說法正確的是.(1)平面ABC1平面ACD(2)四面體D-ABC的體積是福(3)二面角A-BC-D的正切值是半(3)二面角A-BC-D的正切值是半BC與平面ACD所成角的正弦值是咨在三棱錐ABCD中,已知AD1BC,AD=6,BC=2,AB+BD=AC+CD=7,則三棱錐ABCD體積的最大值是,22. 如圖，在邊長為4的正三角形1位中，D,E,"分別為各邊的中點(diǎn)，G,分別為DE,"的中點(diǎn)，將ABC沿庭，EF,泌折成正四面體P-DEF,則在此正四面體中，下列說法正確的是.DH 異面直線必與所成的角的余弦值為：；®DF1PE; GH與用所成的角為45° PG與/滬