信號(hào)課件黑白

1、SIGNALS AND SYSTEMS信號(hào)與系統(tǒng) 第六章離散信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析 南京郵電大學(xué)信號(hào)分析與信息處理教學(xué)中心2006.1第六章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析 n 離散信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析概述n 6.1 Z變換n 6.2 Z反變換n 6.3 Z 變換的性質(zhì)n 6.5 離散系統(tǒng)的Z域分析n 6.6 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性n 6.7 離散信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析n 本章要點(diǎn)n 作業(yè)返回離散信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析概述¨ 時(shí)域分析：跟連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)有許多相似之處¨ 變換域分析 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換分析、拉 離散信號(hào)與系統(tǒng)斯變換分析離散時(shí)間傅里葉變換分析、Z 變換分析&#

2、168; 主要討論 Z 變換分析¨ 注意和連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的與區(qū)別返回返回 6.1 Z 變換 Z 變換可以從拉Z 變換的定義。6.1.1 Z 變換的定義定義：離散信號(hào)（序列）的 Z 變換為F (z) = L+ f (-1)z1 + f (0)z0 + f (1)z-1 +L f (k)z-k= å f (k)z-k k =-¥斯變換引入，這里先直接給出+L¥F(z) = Z f (k)f (k) = Z -1F(z)f (k) « F(z)稱作Z正變換稱作Z反變換簡寫為相應(yīng)地記作Z 變換與拉氏變換的關(guān)系對(duì)連續(xù)函數(shù) f (t) 以均勻間隔 T 進(jìn)行

3、理想抽樣，得fs (t) = f (t)dT (t) = f (t) åd (t - kT) = å f (kT)d (t - kT)¥¥k =-¥« F(s)k =-¥f S (t)« FS (s)f (t)t00tT¥å-ksTF (s) =則 f (t) 的拉氏變換f (kT)es設(shè) z = es1k =-¥，或s =sTln z，則T¥= å f (kT)z -k = F (z)k =-¥F (s)ss= 1 ln z T單邊 Z 變換雙邊 Z 變

4、換當(dāng)f (k )為因果序列或者只考慮f (k )的k ³ 0的部分時(shí)，則¥F (z) = å f (k )z -k k =06.1.2Z 變換的收斂域ìakk ³ 01.因果序列 f (k) = í（a為正實(shí)數(shù)）的Z變換為k < 0î 0¥¥¥F (z ) = å f (k)z -k= åakz -k= å(az -1 )kk =0k =0k =0< 1，即 z> a 時(shí)，該無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。j Imz當(dāng) az-1單邊 Z 變換的收斂域?yàn)閳A心在原點(diǎn)

5、，半徑為 a 的圓外區(qū)域。收斂條件比較簡單，一般情況下不再加注其收斂域。aRez0j Imz2. 雙邊Z變換ìakk ³ 0k < 0f (k) = íkîbabRez0（a，b為正實(shí)數(shù)）¥-1F (z ) = åakz -k+ åbkz -kk =0k =-¥< 1，bz -1> 1，即收斂域?yàn)?az-1a < z< b。若 a ³ b，則無收斂域，Z 變換不存在。3. 有限序列Z 變換的收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z 平面6.1.3 常見序列的單邊 Z 變換函數(shù)d (k)1.¥

6、Zd (k) = åd (k)z -k= z -k= 1k =0k =0階躍序列e (k)2.¥¥1zZe (k) = åe (k)z= åz=1- z -1=z -1-k-kk =0k =03. 單邊指數(shù)序列ake (k)¥1zZa e (k) = åa z=1- az -1=z-akk-kk =0當(dāng)a = elT 時(shí)，ZelkT (k)=z返回z-elT4. 單邊正弦序列sin w0kT(k)和單邊余弦序列cosw0kT(k)取 a = e jw0T，則Ze jw0kT (k)= Zcosw kT(k)+ jZsin w

7、 kT(k)00zz-e jw0Tz= z (z - cosw0T ) + jz sin w0T=z- cosw T-j sin w T- 2z cosw T +1z 2000 z(z - cosw T )Zcosw kT(k) =0z -2z cosw0T +102z sin w0TZsin w kT(k) =z -2z cosw T +1020P276 表 6-1常用序列的Z 變換返回 6.2 Z 反變換6.2.1 冪級(jí)數(shù)展開法2z 2-1.5zF (z ) =，求f (k)。例z 2-1.5z + 0.5解:利用長除法F(z ) = 2 +1.5z-1 +1.25z -2 +1.125z

8、 -3+L f (k) = ì2,1.5,1.25,1.125,Lýüíî -þ此法求 f (k) 的前幾個(gè)值很方便，缺點(diǎn)是不容易得到f (k) 的式(閉式解)。返回6.2.2 部分分式展開法一般情況下，Z 變換式為有理分式+ bzm-1+L+ b z + bzmN (z)bF (z) = mm-110 zn-1+ a+L+ a z + aznD(z)an-1n10對(duì)于單邊 Z 變換來說，m £ n。z，通常將 F (z) 展開考慮到 Z 變換的基本形式為z - az然后兩邊同時(shí)乘以 z，得到典型序列的 Z 變換式，再進(jìn)行反

9、變換。返回2z 2-1.5z用部分分式展開法求 F (z ) =例z 2-1.5z + 0.5的原函數(shù) f (k)。F (z ) =2z-1.52z-1.5=解z 2-1.5z + 0.5(z -1)(z - 0.5)z11=+z - 0.5z-1zz F (z ) =+z - 0.5z-1f (k) = (0.5)k +1e (k)反變換，得遮擋法4z + 4例6 - 2 - 4已知 F (z) =4z + 4，試求其 Z 反變換。(z -1)(z - 2)2F (z) =解z(z -1)(z - 2)2z= -1 +8C6+z -1z - 2(z - 2)2z取 z = -1 代入，得0

10、= -1 +8C6+C = -7-1 F (Z ) = -1+-1-1-1- 2(-1- 2)28z+ - 7z +6zz -1z - 2(z - 2)2反變換，得f (k) = -d (k) + 8e (k) - 7(2)k e (k) + 3k(2)k e (k)待定系數(shù)法遮擋法當(dāng) F(z) 不是有理分式的形式時(shí)，可直接根據(jù)級(jí)數(shù)理論展開成冪級(jí)數(shù)。az-例6 - 2 - 2求 F (z)= e的Z 反變換3解 直接用數(shù)學(xué)公式： ex = 1+L23！a ö2a ökææç-ç-÷÷aæöa&#

11、232;z ø+L+ èz ø-= e1+-+Lçz ÷得 F (z)zèø2！k！a ökæç- z ÷(- a)k¥¥= åèø=åz -kk！k！k =0k =0(-a)kf (k)=k ³ 0與 Z 變換的定義式比較，得k！-1z 4試求 F (z) =的 Z 反變換例z 6 (z-1)-1z 4F (z )-7-7= z= Z(z +1)(z +1)2解z -1z= z -7(z3 + z 2 + z +1

12、)= z -4 + z -5 + Z -6 + z -7F(z ) = z -3+ z -4 + z -5 + z -6f (k) = d (k - 3) + d (k - 4) + d (k - 5) + d (k - 6)= e (k - 3) - e (k - 7)例試求下列 Z 變換式的反變換。z + 2z+132（1）F (z) =冪級(jí)數(shù)展開法-1.5z2 + 0.5zz3解法一F(z) = 1+ 3.5z -1 + 4.75z -2 + 6.375z -3+Lf (k) = 1,3.5,4.75,6.375,L-部分分式展開法解法二+ 2z 2 + 1z 3F (z) =2+ 6

13、+z813=-z 2 (z -1)(z - 0.5)z -1z - 0.5z 2zF (z) = 2 + 6 +8z13z-z -1z - 0.5zf (k) = 2d (k -1) + 6d (k) +8 -13(0.5)k e (k)z + z322）F (z) =(z -1)3（+ zz2F (z)231=(z -1)3=(z -1)3+(z -1)2+z -1解z2z3zzF (z) =+z -1(z -1)3(z -1)2因?yàn)? zz 2zze (k) «ke (k) «k e (k) «2z -1(z -1)2(z -1)3+ z - z(z -1)2

14、= z2z- k)e (k)« (k 2(z -1)3(z - 1)3F(z) « (k 2 - k + 3k +1)e (k) = (k +1)2e (k)z+ z23）F (z) =(z -1)(z2（+1)z +11+ Bz + cF (z) =解遮擋法(z -1)(z2+1)z -1+1z2z11 + C上式以 z = 0 代入，得=C = 0-1´1-11等式兩邊同乘 z 令 z ® ¥，有0 =1+ BB = -1- zF (z) =1變換對(duì)：+故z -1z+1z2zF (z) =kpz2e(k ) «- z 2cos+

15、1z22z - 1+ 1z 2kpze(k ) «z2sinf (k) = (1 - cos p k)e (k)+ 12 2返回 6.3 Z 變換的性質(zhì)Z f1 (k)= F1 (z )，Z f2 (k)= F2 (z )1. 線性若則Za1 f1 (k) + a2 f2 (k)= a1F1 (z ) + a2 F2 (z )若 Z f (k)= F (z )則 Z f (k +1)= zF (z ) - zf (0)Z f (k -1)= z-1F (z ) + f (-1)2. 移序（移位）性¥¥證明 å f (k + 1)z -k= z å

16、; f (k + 1)z - (k+1)返回又稱為左移序性質(zhì)，相當(dāng)于ù 拉氏變換中的k =0¥k =0éù¥= z å f ( j)z= z êå f ( j)z- f (0)ú- j- jë j =0û- kj =1ém-1) - åZ f (k + m)= zmF (f (k)推廣zzêú 微分性質(zhì)。ëûk =0¥¥å f (k -1)z -kk =0= z-1 å f (k -1)

17、z - (k-1) k =0¥= z -1 å f ( j)z -j= z -1F (z ) + f (-1)z j =-1又稱為右移序性質(zhì)，相當(dāng)于拉氏變換中的性質(zhì)。éùmz ) + å f (-k)Z f (k - m)= z-mkF (推廣zêúëûk =1當(dāng) f (-1) = f (-2) = L = f (-m) = 0 時(shí)Z f (k - m)= z -mF (z )Z f (k - m)e (k - m)= z -mF (z )Z 變換的移序性質(zhì)能將關(guān)于 f (k) 的差分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)即于F(

18、z) 的代數(shù)方程，使得對(duì)離散系統(tǒng)的分析大為簡化。例6 - 3 -1試求離散信號(hào) f (k) = d (k -1) +d (k +1) 的Z 變換式解 Z f (k)= Zd (k -1) + d (k +1) = z-1Zd (k) + zZd (k) - zd (0) = z-1例6 - 3 - 2已知Zak =z，分別求 ak-1，ak-1e (k)z - a和ak-1e (k -1) 的 Z 變換式。設(shè) f (k) = ak，則 f (k -1) = ak-1，根據(jù)右移序性質(zhì)，有解Za k -1 = z -1Za k + a -1+ 1 =zz= z -1z - aa(z - a)aZa

19、k-1= Zak-1e (k)=z由于是單邊 Z 變換，有a(z - a)Zak-1e (k -1)= z-1Zake (k)= z-11z=z - az - a1例6 - 3 - 3已知 F (z) =，試求對(duì)應(yīng)于 F (z) 的z 9 (z +1)離散信號(hào) f (k)。這類題目用一般求Z反變換的方法求解是困難的解而用右移序性質(zhì)就方便得多。1zF (z) =×z + 1z 10Z(-1)k e (k)=zQz +1f (k) = (-1)k-10e (k -10) = (-1)k e (k -10)單邊周期序列的 Z 變換¥已知單邊周期序列 f (k) = å

20、f1 (k - mN)例6 - 3 - 4m=0m，N 為整數(shù)，N 為周期序列的周期，若設(shè)Z f1 (k)e (k) = F1 (z )，試求 f (k) 的 Z 變換 F (z )。解: f (k) = f1(k)e (k) + f1(k - N)e (k - N) +Lé¥-mN ùZ f (k)= F (åz ) + zz ) + zz ) +L = F (-N F (-2 N F (z )zêú1111ëm=0û< 1，則若z -Nz N1F (z ) = F1 (z ) 1- z -N= F1 (z

21、 )Nz-13. 比例性 (尺度變換)Zak f (k)= Fçæ z ö若 Z f (k)= F (z )÷則è a øæ z ö-kf (k)=¥å¥åæ z ö-k=Fçkkf (k)ç÷÷證明 Z aaf (k)zè a øè a øk =0k =0也稱為序列的指數(shù)性質(zhì)，表明時(shí)域中乘以指數(shù)序列ak，相當(dāng)于 Z 域中變量 z 除以 a。æ 1 ökpk

22、e (k) 的 Z 變換。例6 - 3 - 5求指數(shù)衰減序列ç÷sinè 2 ø2p2éù ze (k)=解 Z êsink，由指數(shù)+1性質(zhì)，得ú2zëûé æ 1 ökùp(2z)2zsinke (k)ú =2(2z)2=Z ê ç 2 ÷+14z +12êë èøúû4. Z 域微分Zkf (k)= -z dF (z)若 Z f (k)= F (z )則

23、dz¥¥dF (z)ddåå-k-k=f (k)zf (k)z證明dzdzdzk =0k =0¥= -z-1Zkf (k)= -z-1åkf (k)z-kk =0即 Zkf (k)= -z dF (z)dz性質(zhì)，表明時(shí)域中乘以 k，對(duì)應(yīng)也稱為序列的線性于 Z 域中對(duì) Z 變換取導(dǎo)數(shù)并乘以 -z。 d ùmf (k)= ê- zúF ( )ëdz ûém推廣 Z kzz例 已知Ze (k)=，求斜變序列ke (k) 的 Z 變換z -1æö =ddzzZke

24、 (k)=zZe (k)=zç÷解dz è z -1ø(z -1)2dz以及 Zk 2e (k)=z d Zke (k)=z d éz d æ zöùdz ê dz ç z -1÷údzèøûëz(z +1)æödzç÷ =ø=zdz è (z -1)2(z -1)3Zkake (k )=zZake (k )=zæöddzç÷dz 

25、32; z - a ødzaz=(z - a)25. 時(shí)域卷積定理若 Z f1 (k)= F1 (z )，Z f2 (k)= F2 (z )則 Z f1 (k)* f2 (k)= F1 (z )F2 (z )例6 - 3 - 7求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積。x(k) = ake (k)，h(k) = bke (k)(a ¹ 0，b ¹ 0，a ¹ b)zzX (z) =，H (z) =解z - az - bz2æö1azbzY (z) = X (z)H (z) =-ç÷(z - a)(z - b)a - b 

26、2; z - az - b ø(ak +1 - bk +1 )e (k)1y(k) = x(k)* h(k) = Z -1Y (z)=a - b6. 序列求和Z f (k) = F (z )若éùkzåf (n)=F (z )則Zêúz -1ën=0û證明 利用時(shí)域卷積定理，可以得到序列求和的 Z變換式。kf (k)e (k) * e (k) = å f (n)因?yàn)閚=0由時(shí)域卷積定理，得é kZ åf (n) ù = Z f (k)e (k) * e (k) = zF (z

27、)êúz -1ën=0ûk已知 f1 (k) = (-1) å2 ，f (k) = kf1 (k)例6 - 3 - 8kmm=0試求 f (k) 的單邊 Z 變換。k設(shè) f (k) = å2m，則有 f (k) =（-1）k f(k)解212m=0zzF (z) =根據(jù)序列求和性質(zhì)，得2z -1 z - 2z2æözç÷F (z)F根據(jù)序列指數(shù)性質(zhì)，得12-1(z +1)(z+ 2)èø根據(jù)序列線性性質(zhì)，得- z 2 (3z + 4)dF (z)- zF1 (z)dz(z +

28、 1)2 (z + 2)2> 2z7. 初值定理（也可以用長除法計(jì)算）若 Z f (k)= F (z )，且 lim F (z ) 存在z®¥f (k) 的初值 f (0)lim F (z )則z®¥證明 根據(jù) Z 變換的定義¥F (z) = å f (k) z-k = f (0) + f (1)z-1 + f (2)z-2+L+ f (n)z-n +Lk =0當(dāng) z ® ¥ 時(shí)，上式右邊除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均趨于零f (0)lim F (z )所以z®¥f (1)lim zF (z )

29、- f (0)而且z®¥一m ém-1-k ù般公式f (m)limz®¥zêF (z ) - å f (k)zúëk =0ûf (k + m)的 Z 變換8. 終值定理若 Z f (k)= F (z )，且 f (k) 的終值 f (¥) 存在f (¥) = lim（z -1)F (z )則z®1證明 根據(jù) Z 變換的線性和移序性Z f (k +1) - f (k)= zF (z) - zf (0) - F (z) = (z -1)F (z) - zf

30、(0)上式兩邊取極限¥¥ f (k +1) - f (k)= å f (k +1) - f (k)å-kz -1)F (z ) - f (0) = limlim（zz®1z®1k =0k =0= lim f (1) - f (0) + f (2) - f (1) +L+ f (n +1) - f (n)n®¥= lim f (n +1) - f (0)條件：f (k) 的終值存在意味著 F (z) 除了在 z1處有一個(gè)一階極點(diǎn)外，其n®¥f (¥) = lim（z -1)F (z )故

31、z®1余極點(diǎn)必須在圓內(nèi)部。S 平面與 Z 平面的關(guān)系s = s + jw ¾¾¾® z = esT（縱軸）s = 0 ¾¾¾® z = 1（= esT × e jwT圓）（原點(diǎn)）s = 0 ¾¾¾® z = 1（左半平面）s < 0 ¾¾¾® z < 1（圓上的一點(diǎn)）圓內(nèi)）j ImzjwsRez001z某序列的 Z 變換為 F (z) =例z - a試求 f (k) 的終值 f (¥)。F (z

32、) 的極點(diǎn)為 z = a解z當(dāng) a < 1時(shí)，f (¥) = lim (z -1)F (z) = lim (z -1)= 0z - az®1z®1圓上 z = 1 處當(dāng)a = 1時(shí)，單極點(diǎn)在zf (¥) = lim (z -1)F (z) = lim (z -1)= 1z -1z®1f (k) = ake (k)z®1當(dāng)a = -1時(shí)，f (k) = (-1)k e (k) 為不定值當(dāng) a > 1時(shí)，極點(diǎn)在圓外，f (¥) = ¥*9. Z 域Z é 1ùúû若

33、Z f (k)= F (z )¥ò-=1f (k)F (v)vdv則êë kz¥ 1 é-k ù¥¥åòzF (v)vdv = òz-1f (k )vúdv證明êvëk =0ûæ v-kö¥¥¥¥1k¥= å f (k )ò v (k+1)dv = å f (k)ç= å f (k)k =0-÷z-k

34、2; - k ø zzk =0k =0原式得證。éùúû 1¥ò-(a+= za > 0a1)f (k)F (v)vdv同理可證Zêë k + azP288 表 6-2 Z 變換的性質(zhì)已知 f (k) = f (k) * f (k) = 1 k(k +1)e (k)例122f1 (k) = e (k)，試求序列 f2 (k) 的表達(dá)式。且zZ f (k)= Z f (k)×Z f(k)=×Z f(k)解122z -1= 1 × (z +1)z + 1 ×z2(

35、z -1)3(z -1)2z21 × (z +1)z + 1 ×(z -1)3(z -1)22Z f2 (k)=2z=z(z -1)2z -1f2 (k) = ke (k)故¥求序列 f (k) = å(-1)ne (k - n) 的單邊 Z 變換n=0例f (k) = e (k) + (-1)e (k -1) + e (k - 2) + (-1)e (k - 3) +L解zzzzZ f (k)=- z -1+ z -2+L- z -3z-1z-1z-1z-1z=(1- z -1 + z -2 - z -3+L)z-1zz 21=×=>

36、1)( zz-1 1 - (-z -1)z 2-1例 試求序列 f (k) = (-1)k (k -1)e (k -1) 的Z 變換z(-1)k e (k) «解z +1æö = -dzz(-1)k ke (k) « -zç÷Z 域微分性z è z +1ø(z +1)2 dz- (-1)k ke (k) «(z +1)21f (k) = -(-1)k-1(k -1)e (k -1) «移序性(z +1)2例 求圖示有限長序列的 Z 變換。0 £ k £ N - 1k <

37、 0, k ³ NR(k) = ìkN -1RN (k)í0Nî32GN (k) = e (k) - e (k - N )解則設(shè)1RN (k) = kGN (k)N -1k0123z- N +1zGN (z) = z -1 -z -1或者dR (z) = -zN -1G(z)Z 域微分性RN (k) = åmd (k - m)m=1NN dzz - N +1+ Nz - N + 2 - Nz - N +1z=-N -1ZR(k)=åm=1-m(z - 1)(z - 1)22mzNz - z - N +1 + Nz - N +1 - N

38、z - N + 2=(z - 1)2例 求下列各序列的 Z 變換。(1)(k - 1)2 e (k - 1)f1(k) = (k -1)e (k -1)，根據(jù)移序性質(zhì)，有解設(shè)z1F (z) = z -1=1(z -1)2(z -1)2f (k) = (k -1) f1(k)而z + 1dF (z) = -zF (z) - F (z) =11(z - 1)2dz或者f (k) = (k 2 - 2k +1)e (k -1)F (z) = -z d -zd1d11) - 2-z) +(z -1z -1z -1dzdzdz= z(z + 1) -z + 12z1+=z -1(z -1)3(z -1)

39、2(z - 1)3k(2)å(-1)n(3)(k +1)e (k) - e (k - 3) *e (k) - e (k - 4)n=0解 （2）設(shè)zf (k) = (-1)k e (k)，則F (z) =11z +1kf (k) = å f1 (n)，由序列求和性質(zhì)，有而n=0zz 2F (z) =F (z) =z -11z 2-1+ z 2 -13z - 2z 3zz1（3）F1 (z) = (z -1)2+-z -1z2 (z -1)2-=z2 (z -1)z 2 (z -1)z - z -3-1+ 1)(z + 1)z 4(z 2F2 (z) =z 3 (z -1)z

40、 -1z 3(z 2 + 1)(z + 1)(z 3 + z 2 -1)F (z) = F1 (z)F2 (z) =z 5 (z -1)ì1k為偶數(shù)k為奇數(shù)例 試求序列 f (k) = í的 Z 變換î0f (k) = 1 (-1)k2+1e (k)解z 21zz=F (z) =2 z +z - 1- 1z 21k = 0，4，8，L4m，L的 Z 變換例 試求序列 f (k) = ì1íî0其它f (k) = d (k) + d (k - 4) + d (k -8) +L+ d (k - 4m) +L解F(z) = 1+ z -4+

41、 z -8+ Lz 41=1 - z -4- 1z 4z + 2z- z +132已知 F (z) =, 試求 f (0), f (1), f (2), f (¥)例+ z2 + 0.5zz3F(z) = 1+ z -1 - 2.5z -2 + 2z -3+L解用長除法，得f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = -2.5+ 2z 2 - z + 1+ 2z 2 - z + 1z 3z 3F (z) =+ z 2 + 0.5zz(z 2 + z + 0.5)z 3= -1± j ，極點(diǎn) p = 0，p12,32都在圓內(nèi)，可以用終值定理。(z - 1)(z

42、3 + 2z 2 - z + 1)f (¥) = lim (z - 1)F (z) = lim= 0+ z 2 + 0.5zz 3z®1z®1返回6.5 離散系統(tǒng)的Z 域分析1. 時(shí)域分析法：卷積和；2. 變換域分析法：利用 Z 變換的移序性質(zhì)，將差分方程變成代數(shù)方程。與拉氏變換類似，Z 變換分析法可以分別求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，也可以直接求解全響應(yīng)。6.5.1 零輸入響應(yīng)以二階前向差分方程為例。例6 - 5 -1已知描述系統(tǒng)的二階前向差分方程為y(k + 2) - 5 y(k +1) + 6 y(k) = x(k + 2) - 3x(k)初始條件為 yzi

43、(0) = 2，yzi (1) = 3，試求該系統(tǒng)的零輸入響返回應(yīng)。解 當(dāng) x(k) = 0 時(shí)，相應(yīng)的齊次差分方程為y(k + 2) - 5y(k +1) + 6 y(k) = 0對(duì)上式進(jìn)行 Z 變換，并應(yīng)用移序性質(zhì)，可得z2Y (z) - z2 y(0) - zy(1) - 5zY (z) - zy(0) + 6Y (z) = 0整理，得y(0)z2 + y(1) - 5 y(0)zY (z) =- 5z + 6z2y（zi 0）= 2，y（zi 1）= 3，得z代入零輸入響應(yīng)的初始條件2z2 - 7z3zY（ziz) = z2- 5z + 6 = z-2-z-3y (k) = 3(2)k

44、 - 3k反變換，得zi若為后向差分方程時(shí)例6 - 5 - 2已知描述系統(tǒng)的二階后向差分方程為y(k) - 5 y(k -1) + 6 y(k - 2) = x(k) - 3x(k - 2)初始條件為 yzi (0) = 2，yzi (1) = 3，試求其零輸入響應(yīng)對(duì)齊次差分方程進(jìn)行 Z 變換，并應(yīng)用移序性質(zhì)，可得Y (z) - 5z-1Y (z) - y(-1) + 6z-2Y (z) + z-1 y(-1) + y(-2) = 05y (-1) - 6 y (-2) - 6 y (-1)z-1整理，得 Yzi (z) = zizizi1- 5z-1 + 6z-2所需初始條件 yzi (-1

45、)和 yzi (-2)， 可以用遞推法求得在齊次方程中令k =1 代入，有y（-1）= 7y（1）- 5 y（0）+ 6 y（-1）= 0，可得zizizizi6令 k = 0：y（0）- 5 y（-1）+ 6 y（- 2）= 0，有 y（- 2）= 23zizizizi36將初始條件 yzi (-1)和 yzi (-2)代入，得2 - 7z-12z2 - 7z3zzYzi (z) = 1- 5z-1 + 6z-2=z2- 5z + 6 = z-2-z-3y (k) = 3(2)k - 3k反變換，得說明：zi1. 在常系數(shù)線性差分方程中，各項(xiàng)的序號(hào)同時(shí)增加或減少同樣數(shù)目，差分方程所描述的關(guān)系

46、不變。2. 如果所需的初始條件并不是已知的零輸入初始條件時(shí)， 可以用遞推的方法在齊次差分方程中求解。3. 也可以根據(jù)初始條件改變差分方程的序號(hào)。6.5.2 零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)域分析法：yzs (k) = x(k) * h(k)根據(jù)時(shí)域卷積定理：Yzs (z) = X (z)H (z)離散系統(tǒng)函數(shù) H (z) = Zh(k)與連續(xù)系統(tǒng)類似可以直接由差分方程求解。以二階前向差分方程為例a2 y(k + 2) + a1 y(k +1) + a0 y(k)= b2 x(k + 2) + b1x(k +1) + b0 x(k)對(duì)上式進(jìn)行 Z 變換，并應(yīng)用移序性質(zhì)，可得a z2Y (z) - z2 y(0) -

47、 zy(1) + a zY (z) - zy(0) + a Y (z)210= b z2 X (z) - z2 x(0) - zx(1) + b zX (z) - zx(0) + b X (z)210-設(shè)初始狀態(tài)為零，且 x(k) 為零起始序列，對(duì)于因果系統(tǒng)必然有 y(-1)=0 和 y(-2)=0，以此代入原差分方程，有k = 0k = -1因此，差分方程的 Z 變換應(yīng)為(a z2 + a z + a )Y (z) = (b z2+ b z + b ) X (z)210210b z2 + b z + bY (z)H (z) = zsX (z)=210 a z2 + a z + a210二階后

48、向差分方程的離散系統(tǒng)函數(shù)與此相同a2 y(1) + a1 y(0) = b2 x(1) + b1x(0)a2 y(0) = b2x(0)整理，得(a z2 + a z + a )Y (z) -210= (b z2 + b z + b )X (z) -210a z2 y(0)2b z2x(0)2a2zy(1) - a1zy(0)b2zx(1) - b1zx(0)例已知描述系統(tǒng)的二階前向差分方程為y(k + 2) - 5 y(k +1) + 6 y(k) = x(k + 2) - 3x(k)激勵(lì) x(k) = e (k)，試求該系統(tǒng)的離散系統(tǒng)函數(shù) H (z)函數(shù)響應(yīng) h(k)。和- 3z2H (z

49、) =解- 5z + 6z2- 12 +- 12 +z- 32H (z) =2=z(z2 - 5z + 6)zzz-2z-3h(k) = - 1 d (k) +2(3)k - 1 (2)k e (k)22= d (k) +2(3)k - (2)k-1e (k -1)返回例6 - 5 - 4已知描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k) + y(k - 2) = x(k) + x(k -1)試求該系統(tǒng)的離散系統(tǒng)函數(shù) H (z)和函數(shù)響應(yīng) h(k)；若激勵(lì) x(k) = e (k)，求零狀態(tài)響應(yīng) yzs (k)。1+ z-1+ zz2H (z) =-2=1+ z解+1z2h(k) = cos p ke

50、(k) + sin p ke (k)22+ zz2zYzs (z) = X (z)H (z) = z -×z +121+ zz 2Y (z)11=+ zs(z -1)(z 2 + 1)z -1+ 1z 2zy (k) = (1+ sin p k)e (k)返回zs26.5.3 全響應(yīng)1. 當(dāng)已知零輸入初始條件時(shí)，分別求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后疊加求得全響應(yīng)。2. 當(dāng)已知全響應(yīng)初始條件時(shí)，直接對(duì)差分方程取 Z 變換， 求解全響應(yīng)。3. 當(dāng)已知全響應(yīng)初始條件，并且需要分出零輸入響應(yīng)和 零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)：一般先求解零狀態(tài)響應(yīng)，得到零狀態(tài)響應(yīng)的初始值； 再用全響應(yīng)初始條件減去零狀態(tài)響應(yīng)的初始值，即得零輸入初始條件；繼而求得零輸入響應(yīng)；然后疊加求得全響應(yīng)。 也可以先求解全響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（或零輸入響 返回應(yīng)），相減得零輸入響應(yīng)（或零狀態(tài)響應(yīng)） 。例 已知離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 2 y(k -1) = x(k)，激勵(lì) x(k) = e-ke (k)，初始狀