(完整版)高等數(shù)學第一章函數(shù)與極限試題

1、1高等數(shù)學第一章函數(shù)與極限試題.選擇題1.設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，MN表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(B)F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)2.設(shè)函數(shù)f(x)二,則(A)x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點.(B)x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(C)x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點(D)x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點3.設(shè)f(x)=x,x豐0,1，則ff(x)=()1A)

2、1-xB)1x4.下列各式正確的是()A)lim(1+1)=1x0 xB)x,1lim(1+)=ex0 xC)limx,1(1-_)=-exlim(1+-)xxx=ex,x0.25.x已知lim(-ax)9,則a()。xxA.1B.；C.ln3;D.2ln3。6.極限：lim(x1)x()xx1A.1B.；C.e2;D.e27.極限：limx32=(:)xx3A.1B.；C.0;D.2.8.極限：lim-x11=()x0 xA.0B.；C1;D.2.9.2極限：limx(x2xx)=()A.0B.；C.2;D.1.210.極限:lim tanxsinx/2x=()x0sin3A.0B.；C.;

3、D.16.16填空題13.若yf(x)在點x0連續(xù)，則limf(x)xxsin5x14.lim;xx0 x一2.15.lim(12)nnn16.若函數(shù)y17.絕對值函數(shù)11.極限limxsin2x112.nmarctanxxf(x)=x,x0.3則它的間斷點是f(x)xx,x0;0,x0;4其定義域是，值域是18.符號函數(shù)其定義域是1,x0；f(x)sgnx0,x0；1,x0.,值域是三個點的集合19.無窮小量是20.函數(shù)Vf(x)在點 x0 連續(xù)，要求函數(shù) yf(x)滿足的三個條件是三.計算題21.求卿。(岸x!).22.設(shè)f(ex1)=3x-2,求f(x)(其中x0);23.求 lim(3

4、-x)x224.求 lim(日)x；求a的值；13n2x求它的定義域29.判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：f(x)=sin2x+cos2xg(x)=1x21f(x)ax1g(x)x12f(x).x1g(x)x1fxx12g(x)x1y=ax2s-2=atsinx2J、Mtan2x(x23x)26.已知lim(-a)xxxa9,27.計算極限lim(1n2n28_x228.fxig5x1530.已知函數(shù)f(x)=x2-1,求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)3n25n16n24n731.limn32.33.34.lim2nnlim1(n1、n)2n3nlimn23n35.判斷下列函數(shù)在指

5、定點的是否存在極限yx1，x2x,x2sinx,x1X,X336.lim1x337.38.x3x323x29-1x1xx0 x39.求當X00時，下列函數(shù)的極限40.求當X00時，下列函數(shù)的極限3,xx12x2x1y2x33xx1x2141.42.sin3x耽丁1cosxlimx043.limn2xn31n44.limn2n1nlimex10.x16147.lim1kxxx048.研究函數(shù)在指定點的連續(xù)性sinx,x0f(x)xx1,x01,x0f(x)x,x=00,x0指出下列函數(shù)在指定點是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點。f(x)：x00，x=。60.求極限 HnjaJ.x45.lim(

6、1x)x46.limx0=049.指出下列函數(shù)在指定點是否間斷,如果間斷，指出是哪類間斷點。1f(x)-,x=1x150.指出下列函數(shù)在指定點是否間斷,如果間斷，指出是哪類間斷點。51.52.證明f(x)=x2是連續(xù)函數(shù)53.54.ln(1x)如0廠x21limlnxx1x155.試證方程2x33x2+2x-3=0在區(qū)間1,2至少有一根56.xm)tas館辮57.試證正弦函數(shù) y=sinx 在(-00,+00)內(nèi)連續(xù)。58.函數(shù) f(x)=xx；在點 x=0 處是否連續(xù)?x,x059.一 xsin,x0：-函數(shù) f(x)=x是否在點 x0 連續(xù)?7答案：一.選擇題1. A【分析】本題可直接推證

7、，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為F(x):f(t)dtC,且F(x)f(x).當F(x)為偶函數(shù)時，有F(x)F(x),于是F(x)(1)F(x),即f(x)f(x)，也即f(x)f(x),可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，貝U：f(t)dt為偶函數(shù)，從而F(x):f(t)dtC為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項.方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=：x2，排除(D);故應(yīng)選(A).【評注】函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過.請讀者思考f(x)

8、與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？2. D【分析】顯然x=0,x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限.【詳解】由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點處無定義，因此是間斷點.且limf(x)，所以x=0為第二類間斷點；x0limf(x)0,limf(x)1,所以x=1為第一類間斷點，故應(yīng)選(D).x【評注】應(yīng)特別注意：limL,lim匚.從而limex1,x1x1x1x1x1xlimex10.x183C4A5C6C7A8CXoo 時，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”原式=iim(K1)(1)lim11.(有理化法)皿 x(x11)皿 X1129D10C9tan

9、x(1cosx)(2x)3x-lx2lim23x08x3注等價無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限,不能在代數(shù)和的情形中使用。如上例中若對分子的每項作等價替換，則xx(2x)30.二.填空題11.12.13.14.15.16.x1,2錯誤！原式1023.24.e225.1626.ln3;27.328.解：由x+2A0解得x-2由x1乒0解得x乒1由52x0解得xV2.5函數(shù)的定義域為x|2.5x-2 且 x 乒 1或表示為(2.5,1)U(1,-2)17.()0,)18.(,)(1,0,119.在某一極限過程中，以 0 為極限的變量，稱為該極限過程中的無窮小量20.函數(shù) yf(x)在點 x0 有

10、定義；2xrX0 時極限xx(X)存在；JJimf(x)f(x0)3極限值與函數(shù)值相等，即x0三.計算題21.【分析】型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則【詳解】1x1xx21exxx21exlim(-)limlim2x01exxx0 x(1ex)x0 x2=limxx2xe2e=limx02x22.f(x)=3lnx+1x01129.、是同一函數(shù)，因為定義域和對應(yīng)法則都相同，表示變量的12字母可以不同。不是同一函數(shù)，因為它們的定義域不相同不是同一函數(shù)，因為它們對應(yīng)的函數(shù)值不相同，即對應(yīng)法則不同30.解：f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,f(f(x)=f(x2-1)=(x2-1)2-

11、1=x4-2x2f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=9931.解：nlim_2-,3n5n126n4nlimn_2-,3n5n12n26n4n72nlimn5n4n12n72nlimnlim6n135lim-n_n1n4limn32.解：limn33.解:limnlimn34.解:limn2n3n2n3n35.解:因為所以limn7limn1-2n1-2nlimnn(n1)22nn)limn(、 一n1limnlimnlimn2n2n2n)(、n1n1；n.n)1、nn1n(-)n3印32,limy1,limnnn1limnnlim(2)nn、3lim(2)nn3limyx2函

12、數(shù)在指定點的極限不存在olimyx2lim1nlim1nlim1nlimyx213因為limysin00,limy30limyX0所以 函數(shù)在指定點的極限lim0limx3x3jx3limx3x9lim1x3limxlim3x3x3limx3x3x3lim一X3xlimALJlim(1x1)(1x1)x0 xx0 x(1x1)limxlimxlimx0limx0 x(1x1)xin31x12x33xlim2xlim1xx211lim一xx.1limxx2x23XX12limxxlim1xsin3xlimx13xT-3x1X.1lim7xx3limxlimx12x12x13x13x1limxx.

13、1limxxsin3xlim03x1cosxlimX0 xlim(1n1)nnlim(1n1)3nlimn1!imXx1-3Xlimx2sin2lim0lim0 xsin_2xlimn3637383940.41.42.43.44.1445.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.limxlimx耽11kxlim1xlimx1kxk1kkx1eklimf(x)xx0f(x。)limf(x)x0函數(shù)在xf(0)f(0)sinxlimx0 x10處連續(xù)。間斷，函數(shù)在x=1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點間斷，函數(shù)在x=0處左右極限不存在，第二類間斷點間斷，limf(x)0但

14、f(0)=1,兩者不相等，第一類間斷點x0證明：xe(oo,oo)因為limf(x)limx2(limx)2xx0 xx0 xx0所以limf(x)f(x)xx0因此，函數(shù) f(x)=x2是連續(xù)函數(shù)。一22x0,f(x0)=XO證明:1:.ln(1x)xlimlimln(1x)xx0 xx0lnlim(11x)lne1limx1lnxlimx1lnx20 x1x1x1設(shè)f(x)=2x3x+2x3,則f(x)在1,2上連續(xù)，f(1)=2V0,f(2)根據(jù)零點定理，必存在一點Ee(1,2)使f(則 x=E 就是方程的根。=50E)=0,15,算、x1x2,原式 iimtanx(1cosx)limV

15、-1xb(2x)3xb8x31657.證 x(-8,+oo)，任給 x 一個增量x,對應(yīng)的有函數(shù) y 的增量y=sin(x+Ax)-sinx=2sin-cos(x 瑚).0y2sin號2頓x,由夾逼準則知， yr0(Zx0),再由 x 的任意性知正弦函數(shù) y=sinx 在其定義域(-,+m)上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。58.解注意 f(x)是分段函數(shù)，且點 x0 兩側(cè) f 表達式不一致。解法 1f(0-0)=lim(x)0,x0f(0+0)=Jimx0,limf(x)0.又 f(0)=0,-函數(shù) f(x)=x 在點 x=0 處連續(xù)(圖 119)。解法 2limf(x)lim(x)0f(0),-函數(shù)在點 x0