概率論常用統(tǒng)計分布

1、下下回回停停第二節(jié)第二節(jié) 常用統(tǒng)計分布常用統(tǒng)計分布一、常見分布一、常見分布二、概率分布二、概率分布 的分位數(shù)的分位數(shù)一、常見分布一、常見分布 在實際中我們往往會遇到這樣的問題在實際中我們往往會遇到這樣的問題,要求有要求有本節(jié)介紹一些最常見的統(tǒng)計分布本節(jié)介紹一些最常見的統(tǒng)計分布. 例如在無線電接收中，某時刻接收到的信號例如在無線電接收中，某時刻接收到的信號2XY 通常需要求出通常需要求出Y的概率分布的概率分布.關(guān)關(guān)隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)的概率分布的概率分布.這個信號通過平方示波器，則這個信號通過平方示波器，則是一個隨機變量是一個隨機變量X ，若我們把，若我們把輸出的信號為輸出的信號為正態(tài)分

2、布是自然界中最常見的一類概率正態(tài)分布是自然界中最常見的一類概率)(21222ZYXmS 例如在統(tǒng)計物理中，若氣體分子速度是隨例如在統(tǒng)計物理中，若氣體分子速度是隨的分布規(guī)律的分布規(guī)律.),5 . 1 , 0(N),(ZYXV 各分量相互獨立各分量相互獨立，且均服且均服從從機向量機向量要求該分子運動動能要求該分子運動動能的概率分布問題的概率分布問題.是關(guān)于這些正態(tài)隨機變量的平方以及平方和是關(guān)于這些正態(tài)隨機變量的平方以及平方和高高，體重等都近似服從正態(tài)分布體重等都近似服從正態(tài)分布.常見的問題常見的問題分布，例如測量的誤差；人的生理尺寸：身分布，例如測量的誤差；人的生理尺寸：身1. 2 分布分布要求要

3、求S的分布的分布,自然首先就要知道自然首先就要知道S中的隨機變量中的隨機變量222ZYX 的概率分布的概率分布. 對于這種在實際中經(jīng)常碰到的隨機變對于這種在實際中經(jīng)常碰到的隨機變量平方量平方和和問題，我們自然希望能夠?qū)ζ浼右钥偨Y(jié)，問題，我們自然希望能夠?qū)ζ浼右钥偨Y(jié)，卡方卡方分布分布就是在類似的實際背景下提出的就是在類似的實際背景下提出的.中中右右端端包包含含獨獨立立指指222212nnXXX (1) 定義定義自由度：自由度：的的樣樣是是來來自自總總體體設(shè)設(shè))1 , 0(,21NXXXn222212nnXXX 本本，則則稱稱統(tǒng)統(tǒng)計計量量服服從從.2分分布布的的自自由由度度為為 n.變量的個數(shù)變量

4、的個數(shù)定義定義5.6其它002212122xexnxpxnn)()( 證證21 1(1),2 2 因因為為分分布布即即為為分分布布),1, 0( NXi又又因因為為),1(22 iX由由定定義義21 1,1, 2, .2 2iXin即即定理定理5.42n 分分布布的的概概率率密密度度: :分布的概率分布分布的概率分布2)2(n,21相相互互獨獨立立因因為為nXXX,22221也也相相互互獨獨立立所所以以nXXX2211,.2 2nniinX 根根據(jù)據(jù) 分分布布的的可可加加性性知知性質(zhì)性質(zhì)1獨獨并且并且設(shè)設(shè)21222121,),(),(YYnYnY )(2分布的可加性分布的可加性 (此性質(zhì)可以推

5、廣到多個隨機變量的情形此性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量的情形)相互相互并且并且設(shè)設(shè)), 2, 1(),(2miYnYiii 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 (3).(,21221nnYY 則則立立).(,2121mmiinnnY 則則獨獨立立性質(zhì)性質(zhì)2.2)(,)(),(2222nDnEnnnn 則則若若證證所所以以因因為為),1, 0( NXi, 1)()()(22 iiiXEXDXExexXExid21)(2442 )(2分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布的數(shù)學(xué)期望和方差 2032d22xex d32220202322xexexxx 3 2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ), 2, 1(ni

6、niinXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niinXDD122)( niiXD12)(.2n )1)(2 iXE性質(zhì)性質(zhì)3有有則則對對任任意意設(shè)設(shè),),(22xnn nniinXXXX, 6 . 521122其其中中由由假假設(shè)設(shè)和和定定義義 證證22()1,()2(1,2, )iiE XD Xin 2221lim.22txnnnPxedtn 且且獨獨立立同同分分布布因因而而獨獨立立且且每每個個,),1 , 0(22221niXXXNXdtexnnXPtxniin212221lim 由由中中心心極極限限定定理理得得n分分布布，也也即即當(dāng)當(dāng)分分布布的的極極限限分分布布是是正正態(tài)態(tài)即即

7、2 ).2 ,(),1 ,0(222nnNNnnnn 進(jìn)進(jìn)而而服服從從很很大大時時，2lim2xnnPnn 解解例例1相互獨立，相互獨立，且，且設(shè)設(shè)YXYNX,)2(),4 , 0(2 .42的概率分布的概率分布試求解試求解YX )1 , 0(2NX相互獨立相互獨立與與且且YX42).3(422YX 得得，由可加性得，由可加性得又因為又因為)1(422X相互獨立，所以相互獨立，所以且且因為因為YXNX,(0,4)的的一一組組為為來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體設(shè)設(shè))1 , 0(,621NXXX例例2使使得得求求樣樣本本21,CC2654322211)()(XXXXCXXCY ),4 , 0(6543N

8、XXXX 同同理理解解),2 , 0(21NXX )1 , 0(2211NXXY 則則)1 , 0(465432NXXXXY 則則.2分布分布服從服從 221)2(XX 所以所以26543)4(XXXX .,412121CC則則與與又又2211XXY 465432XXXXY 相互獨立相互獨立.2221YY )2(2 歷史上，正態(tài)分布由于其廣泛的應(yīng)用背景歷史上，正態(tài)分布由于其廣泛的應(yīng)用背景增大而接近正態(tài)分布增大而接近正態(tài)分布,樣本均值的分布將隨樣本量樣本均值的分布將隨樣本量識，我們知道在總體均值和方差已知情況下，識，我們知道在總體均值和方差已知情況下，數(shù)據(jù)分析工作，對數(shù)據(jù)誤差有著大量感性的認(rèn)數(shù)據(jù)

9、分析工作，對數(shù)據(jù)誤差有著大量感性的認(rèn)的釀酒化學(xué)技師的釀酒化學(xué)技師Cosset. WS, 他在酒廠從事試驗他在酒廠從事試驗在這樣的背景下，十九世紀(jì)初英國一位年輕在這樣的背景下，十九世紀(jì)初英國一位年輕和良好的性質(zhì)，曾一度被看作是和良好的性質(zhì)，曾一度被看作是“萬能分布萬能分布”，2. t 分布分布但是但是Cosset在實驗中遇到的在實驗中遇到的樣本容量僅有樣本容量僅有56樣本曲線樣本曲線Cosset正態(tài)曲線正態(tài)曲線個個，在其中他發(fā)現(xiàn)實際數(shù)據(jù)的分布情況與，在其中他發(fā)現(xiàn)實際數(shù)據(jù)的分布情況與正態(tài)分布有著較大的差異正態(tài)分布有著較大的差異.Oxy 于于是是Cosset懷疑存在一個不屬于正態(tài)的懷疑存在一個不屬于

10、正態(tài)的其他分布，通過學(xué)習(xí)終于得到了新的密度曲線，其他分布，通過學(xué)習(xí)終于得到了新的密度曲線，并在并在1908年以年以“Student”筆名發(fā)表了此項結(jié)果，筆名發(fā)表了此項結(jié)果，后人稱此分布為后人稱此分布為“t 分布分布”或或“學(xué)生氏學(xué)生氏”分布分布.YXnYNX,),(),1, 0(2且且設(shè)設(shè) t 分布又稱分布又稱學(xué)生氏學(xué)生氏 (Student)分布分布.(1) 定義定義則稱隨機變量則稱隨機變量獨立獨立,nYXT/ ).(,ntTtn記記為為分分布布的的服服從從自自由由度度為為定義定義5.7.圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t顯然圖形是關(guān)于顯然圖形是關(guān)于 tntnnnthn,1221)

11、(212 分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)()2(nt充充分分大大時時，其其圖圖形形當(dāng)當(dāng)n.0 對稱對稱 t類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.概率密度的圖形概率密度的圖形Oxy2 n9 n2 n n(3) T的數(shù)字特征的數(shù)字特征, 0)( TE,21)(lim22tneth 因為因為,)1 , 0(分分布布分分布布近近似似于于足足夠夠大大時時所所以以當(dāng)當(dāng)Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布與與但但對對于于較較小小的的Ntn).2(2)( nnnTD例例3 ./91291 iiiiYXT）（且都服從且都服從相互獨立相互獨立和和設(shè)總體設(shè)總體9 , 0,NYX的樣本

12、，的樣本，來自總體來自總體和和YXYYYXXX,921921求統(tǒng)計量求統(tǒng)計量T的分布，其中的分布，其中解解 )1 , 0( NX從抽樣分布知從抽樣分布知，故故而而)1 , 0(3/),9 , 0(NYNYii. 9 , 2 , 1),1()3(22 iYi 從而從而由可加性知由可加性知)9()3(2912 iiY)9(991912912tYXYXiiii 于是由于是由t 的定義有的定義有即即).9(91291tYXTiiii 分布分布F3.(1) 定義定義相相互互獨獨立立，且且設(shè)設(shè)YXnYnX,),(, )(2212 則則稱稱隨隨機機變變量量21/nYnXF 分分布布，記記為為的的服服從從自自

13、由由度度為為Fnn),(21).,(21nnFF定義定義5.8分布的概率密度為分布的概率密度為),()2(21nnF 其其它它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnypnnnn分布有以下性質(zhì)分布有以下性質(zhì)F)3().,(1),(1221nnFFnnFF則則若若1),2(,2)(222 nnnFE2)有有對對任任意意時時則則當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xnnnFF,4),(221 3)這說明這說明F分布極限分布也是正態(tài)分布分布極限分布也是正態(tài)分布.)4(,)4()2()2(2)(222212122 nnnnnnnFDdtexFDFEFPtxn22121)()(lim 例例4).

14、, 1(, 8 . 522nFnYXT 有有由由定定義義有有由定義由定義因為因為7 . 5),(ntT)., 1(),(2nFTntT試試證證已已知知證證,),(),1 , 0(2獨獨立立且且其其中中YXnYNX ,),1(222獨獨立立與與且且從從而而YXX nYXT 例例5所所以以因因為為, ),(mnFX.,),4)(,(11 DXEXnmnFX試求試求設(shè)設(shè)),(1nmFX 解解 由由F分布的性質(zhì)知分布的性質(zhì)知,21 nnEX所以得所以得 .)4()2()422(221 nnmnmnDX二、概率分布的分位數(shù)二、概率分布的分位數(shù)使使若若存存在在, x xXP(01),X 對對于于總總體體

15、和和給給定定的的1. 定義定義2. 常用分布的上側(cè)分位數(shù)記號常用分布的上側(cè)分位數(shù)記號 分布分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 記號記號)(2n u)(2n )(nt ),(21nnF .分位數(shù)分位數(shù)的分布的上側(cè)的分布的上側(cè)為為則稱則稱 Xx定義定義5.93. 查表法查表法(1) 若若X的分布密度關(guān)于的分布密度關(guān)于y軸對稱，則軸對稱，則 xx 1 1 xyO x x特例：特例： uuN 1)1 , 0()1：)()(:)()21ntntnt ：正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù) u)1 )(uuXP 11xeuXPuxd2122 1)(即u.2,的的值值可可查查得得由由附附表表給

16、給定定 u則其上側(cè)則其上側(cè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布設(shè)設(shè)),1 , 0(NX滿滿足足分分位位數(shù)數(shù) u 105.0u025.0u根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知.1 uu ,645. 1 ,96. 1 1)(u0.950.975)05. 0( )025. 0( uOxy)(xy u 1 1稱稱滿滿足足條條件件對對于于給給定定的的, 10, 可以通過查表求可以通過查表求由分布的對稱性知由分布的對稱性知).()(1ntnt .)(,45 untn 時時當(dāng)當(dāng)2)( )ttn 分分布布的的上上分分位位： )(d)()(nttthnttP .)()(分分位位點點分分布布的的上上為為的的點

17、點 ntnt.分位點的值分位點的值得上得上 1)(ntOxy)(xhy )10(05. 0t,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 (2) X的分布密度無對稱性的情形的分布密度無對稱性的情形:)()12n 稱稱滿滿足足對對于于給給定定的的正正數(shù)數(shù), 10, )(222d)()(nyypnP .)()(22分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)為為的的點點nn )(2nOxy)(xpy 460時，可查表時，可查表當(dāng)當(dāng) n)8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 (表表4只詳列到只詳列到 n=60 為止為止).,535.17 ,247. 3 .382.34 .

18、2)(,2 unnnn 充分大時充分大時當(dāng)當(dāng)例如：例如：05. 0205. 01202120)120(u . 5 .145 費歇資料費歇資料費歇費歇(R.A.Fisher)公式：公式：.2)(602 unnnn 時，時，當(dāng)當(dāng).分分位位點點是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上其其中中 u64. 1240120 )12, 9(105. 0F ：),()221nnF 等等，對對于于1 . 0,05. 0,025. 0,01. 0 此外，還可利用關(guān)系此外，還可利用關(guān)系.),(1),(12211nnFnnF .1 FF 求求得得由由)9 , 21(59 . 0F如如：8 . 21 .357. 0 )30

19、,14(05. 0F.31. 2 )8 , 7(025. 0F,90. 4 . 85可可直直接接查查表表.),(1),(12211nnFnnF 證證),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因為為,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因為因為,),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比比較較后后得得.),(1),(12211nnFnnF 即即內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.三大抽樣分布三大抽樣分布:分布分布分布分布分布分布 , , 2Ft 的

20、定義的定義,性質(zhì)性質(zhì).2.概率分布的分位數(shù)概念概率分布的分位數(shù)概念. xXP的的樣樣本本，為為來來自自于于正正態(tài)態(tài)總總體體設(shè)設(shè)),(),(21 NXXn._)(122 niiX 則則解解, 1),1 , 0(niNXi .且它們獨立且它們獨立).()(2122nXnii 則則)(2n 例例1-1備用題備用題例例1-2）的樣本，）的樣本，（來自正態(tài)分布來自正態(tài)分布設(shè)設(shè)221, 0, NXXXn.12的分布函數(shù)的分布函數(shù)試求試求 niiXY解解所以所以Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)()()(2 yTPyYPyF .22分布函數(shù)分布函數(shù)的的表自由度為表自由度為其中其中 nn分分布布性性質(zhì)質(zhì)知知則則由由

21、令令22, YT 2nT . 0),(22 yyn 相應(yīng)的由公式法可得，密度函數(shù)為相應(yīng)的由公式法可得，密度函數(shù)為21222211( )()2( /2)ynyp yen 21221,0.2( /2)ynnyeyn . )()()(),(11 yfyfpYxfYxpX函函數(shù)數(shù)為為密密度度的的且且單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)，則則密度變換密度變換公式公式例例2-12,SX)1(/)()()()1 , 0()()1 , 0()(2122 ntSXDnXCNXnBNXAnii 態(tài)態(tài)變變量量的的線線性性為為樣樣本本均均值值，由由獨獨立立正正因因X個樣本個樣本，分別為樣本均值與方差，則分別為樣本均值與方差，則解解)1,

22、 0(nNX所所以以), 0(nNXn相相應(yīng)應(yīng)的的設(shè)總體為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從中抽取設(shè)總體為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從中抽取n組組合合仍仍為為正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量由由卡卡方方分分布布的的定定義義有有因因為為),1 ,0( NXi)(212nXnii )1()1 ,0(22 nnSNXn 且且因因為為的的獨獨立立性性有有與與所所以以，由由2nSXn)1()1/(12 ntnnSXnSXn綜上可得綜上可得,正確答案為正確答案為C.,),(),(222相相互互獨獨立立且且設(shè)設(shè)YXnYNX 例例3-1nYXT 試試求求解解)1 , 0(),(2NXNX ,),(222獨獨立立與與則則獨獨立立且且又又 YXYXn

23、Y ).(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT 由定義由定義5.7,.的概率分布的概率分布例例3-2 服服從從設(shè)設(shè)是是樣樣本本均均值值和和方方差差，又又和和的的樣樣本本，12 nnXSX),(221 NXXXn是是來來自自正正態(tài)態(tài)分分布布，設(shè)設(shè)111 nnSXXTnn相相互互獨獨立立，試試求求分分布布，且且與與nXXN,),(12 的概率分布的概率分布.)1,0(21 nnNXXn 因因為為解解）（所以所以1 , 0121NnnXXn 相互獨立相互獨立與與且且2211 nnnSnnXX )1(222 nnSn 又又)1(1112221 nnSnnnnSXXnnn 故故. )1( nt例例3-

24、3YXTYNX 令令設(shè)設(shè)),4(),1 , 0(2 _, DTET則則.2124441)2(410221 TDDTTEET所所以以因因為為, )4(4/2tYXT 解解02/1例例3-4分別來自正態(tài)總分別來自正態(tài)總和和設(shè)設(shè)nmYYXX,11且相互獨立，試求且相互獨立，試求和和體體),(),(2221 NN為實數(shù)為實數(shù) ,2)()(22212122nmnmnSmSYXT 的概率分布的概率分布.解解服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布且且獨獨立立，由由于于YX ,),(),(2221nNYmNX 所所以以), 0(), 0(2221nNYmNX 因因此此)( , 0()()(22221 nmNYX ) 1 ,

25、 0()()(/12122NYXnmU 0)()()(21 YXEYXE又因為又因為)()()(21 YXDYXD故故222)( nm )2(2222122 nmnSmSV ),1(2212 mmS 我我們們有有且它們相互獨立且它們相互獨立, ,再利用伽瑪分布的可加性知再利用伽瑪分布的可加性知由卡方分布的定義知由卡方分布的定義知)1(2222 nnS ).2(2 nmtnmVU從而從而, 由由t分布的定義有分布的定義有nmnmnSmSYXT2221212)()(22 例例3-5TNYX量量且相互獨立，試求統(tǒng)計且相互獨立，試求統(tǒng)計設(shè)設(shè))1 , 0(,.YXT 的分布函數(shù)，其中的分布函數(shù)，其中獨立，獨立，且與且與因為因為XNY)1 , 0(解解獨獨立立與與），且且（所所以以2221YXY 故由故由t 的定義有的