圓周運(yùn)動(dòng)典型例題及答案詳解

1、 “勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的典型例題【例1】如圖所示的傳動(dòng)裝置中，A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)A、B、C三輪的半徑大小的關(guān)系是RA=RC=2RB當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線(xiàn)速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？【例2】一圓盤(pán)可繞一通過(guò)圓盤(pán)中心O且垂直于盤(pán)面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)在圓盤(pán)上放置一木塊，當(dāng)圓盤(pán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖），那么 A木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤(pán)中心B木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向指向圓盤(pán)中心C因?yàn)槟緣K隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向相同D因?yàn)槟Σ亮偸亲璧K物體運(yùn)動(dòng)，所以木塊所受圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力的方向與木塊的運(yùn)動(dòng)

2、方向相反E因?yàn)槎呤窍鄬?duì)靜止的，圓盤(pán)與木塊之間無(wú)摩擦力【例3】在一個(gè)水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B、C三個(gè)物體，它們跟臺(tái)面間的摩擦因數(shù)相同A的質(zhì)量為2m，B、C各為mA、B離轉(zhuǎn)軸均為r，C為2r則 A若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，A、C的向心加速度比B大B若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，B所受的靜摩擦力最小C當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，C最先發(fā)生滑動(dòng)D當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，A比B先滑動(dòng)【例4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距L0=0.1m長(zhǎng)L=1m的柔軟細(xì)線(xiàn)一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球小球的初始位置在AB連線(xiàn)上A的一側(cè)把細(xì)線(xiàn)拉直，給小球以2ms的垂直細(xì)線(xiàn)

3、方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)由于釘子B的存在，使細(xì)線(xiàn)逐步纏在A、B上若細(xì)線(xiàn)能承受的最大張力Tm=7N，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線(xiàn)斷裂歷時(shí)多長(zhǎng)？【說(shuō)明】圓周運(yùn)動(dòng)的顯著特點(diǎn)是它的周期性通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，用遞推法則寫(xiě)出解答結(jié)果的通式（一般表達(dá)式）有很重要的意義對(duì)本題，還應(yīng)該熟練掌握數(shù)列求和方法如果題中的細(xì)線(xiàn)始終不會(huì)斷裂，有興趣的同學(xué)還可計(jì)算一下，從小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線(xiàn)完全繞在A、B兩釘子上，共需多少時(shí)間？【例5】如圖(a)所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐頂角為2，當(dāng)圓錐和球一起以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球壓緊錐面此時(shí)繩的張力是多少？若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度至少為多少？【說(shuō)明

4、】本題是屬于二維的牛頓第二定律問(wèn)題，解題時(shí)，一般可以物體為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立xoy直角坐標(biāo)，然后沿x軸和y軸兩個(gè)方向，列出牛頓第二定律的方程，其中一個(gè)方程是向心力和向心加速度的關(guān)系，最后解聯(lián)立方程即可。【例6】雜技節(jié)目中的“水流星”表演，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下，如下圖所示，這是為什么？【例7】如下圖所示，自行車(chē)和人的總質(zhì)量為M，在一水平地面運(yùn)動(dòng)若自行車(chē)以速度v轉(zhuǎn)過(guò)半徑為R的彎道（1）求自行車(chē)的傾角應(yīng)多大？（2）自行車(chē)所受的地面的摩擦力多大？【例8】用長(zhǎng)L1=4m和長(zhǎng)為L(zhǎng)2=3m的兩根細(xì)線(xiàn)，拴一質(zhì)量m=2kg的小球A，L1和

5、L2的另兩端點(diǎn)分別系在一豎直桿的O1，O2處，已知O1O2=5m如下圖（g10ms-2）（1）當(dāng)豎直桿以的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，O2A線(xiàn)剛好伸直且不受拉力求此時(shí)角速度1（2）當(dāng)O1A線(xiàn)所受力為100N時(shí)，求此時(shí)的角速度2【說(shuō)明】向心力是一種效果力，在本題中O2A受力與否決定于物體A做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度的臨界值在這種題目中找好臨界值是關(guān)鍵例9一輛實(shí)驗(yàn)小車(chē)可沿水平地面（圖中紙面）上的長(zhǎng)直軌道勻速向右運(yùn)動(dòng)，有一臺(tái)發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺(tái)M上，到軌道的距離MN為d=10m，如圖所示。轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使激光束在水平面內(nèi)掃描，掃描一周的時(shí)間為T(mén)=60s，光束轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與MN的夾角為45時(shí)，光

6、束正好射到小車(chē)上，如果再經(jīng)過(guò)t=2.5s光束又射到小車(chē)上，則小車(chē)的速度為多少？（結(jié)果保留二位數(shù)字）例10圖所示為測(cè)量子彈速度的裝置，一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個(gè)半徑為R的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘n轉(zhuǎn)，一顆子彈沿圓筒的水平直徑由A點(diǎn)射入圓筒，在圓筒轉(zhuǎn)過(guò)不到半圓時(shí)從B點(diǎn)穿出，假設(shè)子彈穿壁時(shí)速度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測(cè)量出A、B兩點(diǎn)間的孤長(zhǎng)為L(zhǎng)，寫(xiě)出子彈速度的表達(dá)式。 說(shuō)明解題過(guò)程中，物理過(guò)程示意圖，是常用的方法，它可以使抽象的物理過(guò)程具體形象化，便于從圖中找出各物理量之間關(guān)系，以幫助建立物理方程，最后求出答案。典型例題答案【例1】【分析】皮帶不打滑，表示輪子邊緣在某段

7、時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)總是跟皮帶移動(dòng)的距離相等，也就是說(shuō)，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線(xiàn)速度大小相等根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，結(jié)合線(xiàn)速度、角速度、向心加速度的公式即可得解【解】由于皮帶不打滑，因此，B、C兩輪邊緣線(xiàn)速度大小相等，設(shè)vB=vC=v由v=R得兩輪角速度大小的關(guān)系BC=RCRB=21因A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，即A=B，所以A、B、C三輪角速度之比ABC=221因A輪邊緣的線(xiàn)速度vA=ARA=2BRB=2vB，所以A、B、C三輪邊緣線(xiàn)速度之比vAvBvC=211根據(jù)向心加速度公式a=2R，所以A、B、C三輪邊緣向心加速度之比=842=421【例2】【分析】由于木塊隨圓盤(pán)一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻

8、存在著一個(gè)沿半徑指向圓心的向心加速度，因此，它必然會(huì)受到一個(gè)沿半徑指向中心、產(chǎn)生向心加速度的力向心力以木塊為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析：在豎直方向受到重力和盤(pán)面的支持力，它處于力平衡狀態(tài)在盤(pán)面方向，可能受到的力只有來(lái)自盤(pán)面的摩擦力（靜摩擦力），木塊正是依靠盤(pán)面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤(pán)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)所以，這個(gè)摩擦力的方向必沿半徑指向中心【答】B【說(shuō)明】常有些同學(xué)認(rèn)為，靜摩擦力的方向與物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反，木塊隨圓盤(pán)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，時(shí)時(shí)有沿切線(xiàn)方向飛出的趨勢(shì)，因此靜摩擦力的方向應(yīng)與木塊的這種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，似乎應(yīng)該選D這是一種極普遍的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，其原因是忘記了研究運(yùn)動(dòng)時(shí)所相對(duì)的參照系通常說(shuō)做圓

9、運(yùn)動(dòng)的物體有沿線(xiàn)速度方向飛出的趨勢(shì)，是指以地球?yàn)閰⒄障刀缘亩o摩擦力的方向總是跟相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，應(yīng)該是指相互接觸的兩個(gè)相關(guān)物體來(lái)說(shuō)的，即是對(duì)盤(pán)面參照系也就是說(shuō)，對(duì)站在盤(pán)上跟盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的觀察者，木塊時(shí)刻有沿半徑向外滑出的趨勢(shì)，所以，木塊受到盤(pán)面的摩擦力方向應(yīng)該沿半徑指向中心【例3】【分析】A、 B、 C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度都等于轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，設(shè)為根據(jù)向心加速度的公式an=2r，已知rA=rBrC，所以三物體向心加速度的大小關(guān)系為aA=aBaCA錯(cuò)三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由轉(zhuǎn)臺(tái)的靜摩擦力提供向心力，即f =Fn=m2r，所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為fA=mA2rA

10、=2m2r，fB=mB2rB=m2r，fC=mc2rc =m22r=2m2r即物體B所受靜摩擦力最小B正確由于轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力有一個(gè)最大值，設(shè)相互間摩擦因數(shù)為，靜摩擦力的最大值可認(rèn)為是fm=mg由fm=Fn，即得不發(fā)生滑動(dòng)的最大角速度為即離轉(zhuǎn)臺(tái)中心越遠(yuǎn)的物體，使它不發(fā)生滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的最大角速度越小由于rCrA=rB，所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速逐漸增加時(shí)，物體C最先發(fā)生滑動(dòng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，物體A、B將同時(shí)發(fā)生滑動(dòng)C正確，D錯(cuò)【答】B、C【例4】【分析】小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線(xiàn)逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑會(huì)逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線(xiàn)速度大小保持不變【解】小球交替地繞A、B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因線(xiàn)速度不變，隨

11、著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線(xiàn)中張力T不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間t不斷減小令Tn=Tm=7N，得n=8，所以經(jīng)歷的時(shí)間為【例5】【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據(jù)牛頓第二定律列方程，即可求得解答。阿斯【解】對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖(b)所示，根據(jù)牛頓第二定律，向心方向上有Tsin-Ncos=m2r y方向上應(yīng)有Nsin+Tcos-G=0 r = Lsin 由、式可得T = mgcos+m2Lsin當(dāng)小球剛好離開(kāi)錐面時(shí)N=0（臨界條件）則有Tsin=m2r Tcos-G=0 【例6】【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，需

12、要提供一個(gè)向心力。當(dāng)水杯在最低點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由杯底的支持力提供，當(dāng)水杯在最高點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要做圓周運(yùn)動(dòng)的速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點(diǎn)時(shí)，水就不會(huì)流下來(lái)?！窘狻恳员兄疄檠芯繉?duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律【例7】【分析】騎車(chē)拐彎時(shí)不摔倒必須將身體向內(nèi)側(cè)傾斜從圖中可知，當(dāng)騎車(chē)人拐彎而使身體偏離豎直方向角時(shí)，從而使靜摩擦力f與地面支持力N的合力Q通過(guò)共同的質(zhì)心O，合力Q與重力的合力F是維持自行車(chē)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力【解】（1）由圖可知，向心力F=Mgtg，由牛頓第二定律有：（2）由圖可知，向心力F可看做合力Q在水平方

13、向的分力，而Q又是水平方向的靜摩擦力f和支持力N的合力，所以靜摩擦力f在數(shù)值上就等于向心力F，即f = Mgtg【例8】【分析】小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由兩條細(xì)線(xiàn)的拉力提供，當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)速度不同時(shí)，所受拉力就不同?！窘狻浚?）當(dāng)O2A線(xiàn)剛伸直而不受力時(shí)，受力如圖所示。則F1cos=mg F1sin=mR12 由幾何知識(shí)知R=2.4m =37代入式1=1.77（rad/s）（2）當(dāng)O1A受力為100N時(shí)，由（1）式F1cos=1000.8=80（N）mg由此知O2A受拉力F2。則對(duì)A受力分析得F1cos-F2sin-mg=0 F1sin+F2cos= mR22 由式（4）（5）得【例9】分析激

14、光器掃描一周的時(shí)間T=60s，那么光束在t=2.5s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但在水平方向上光點(diǎn)的掃描速度是變化的，這個(gè)速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。當(dāng)小車(chē)正向N點(diǎn)接近時(shí)，在t內(nèi)光束與MN的夾角由45變?yōu)?0隨著減小，v掃在減小若45時(shí)，光照在小車(chē)上，此時(shí)v掃v車(chē)時(shí)，此后光點(diǎn)將照到車(chē)前但v掃v車(chē)不變，當(dāng)v車(chē)v掃時(shí)，它們的距離在縮小。解在t內(nèi)，光束轉(zhuǎn)過(guò)角度如圖，有兩種可能（1）光束照射小車(chē)時(shí)，小車(chē)正在接近N點(diǎn)，t內(nèi)光束與MN的夾角從45變?yōu)?0，小車(chē)走過(guò)L1，速度應(yīng)為由圖可知L1=d(tg45- tg30)由、兩式并代入數(shù)值，得v1=1.7m/s （2）光束照到小車(chē)時(shí)，小車(chē)正在遠(yuǎn)離N點(diǎn)，t內(nèi)光束與MN的夾角從45為60，小車(chē)走過(guò)L2速度為由圖可知L2=d(tg60- tg45) 由、兩代并代入數(shù)值，得v2=2.9m/s說(shuō)明光點(diǎn)在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即則掃描速度不變化，就談不上與小車(chē)的“追趕”了，將不可能發(fā)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，再照射小車(chē)的問(wèn)題。這一點(diǎn)速度的合成與分解應(yīng)理解正確。另外光束與MN的夾角為45時(shí)，光束正好射到小車(chē)上有兩種情