最新人教八年級三角形教學(xué)案

1、 學(xué)思苑教育 學(xué)習(xí)無捷徑，考試有方法與三角形有關(guān)的線段知識點1：三角形的邊三角形的概念:不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊. 推論：三角形兩邊的差小于第三邊。腰腰底邊頂角底角底角三角形分類有兩種方法：（1）按角分類；（2）按邊分類（1） 按角分類 銳角三角形三角形 直角三角形 鈍角三角形（2）按邊分類 不等邊三角形 三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形考點1：認(rèn)識三角形1.如圖7.1.1-1的三角形記作_，它的三條邊是_，三個頂點分別是_，三個內(nèi)角是_，頂點A、B、C所對的邊分別是_，用小寫字母分別表示

2、為_.圖7.1.1-2圖7.1.1-12.三角形按邊分類可分為_三角形，_三角形；等腰三角形分為底與腰_的三角形和底與腰_的三角形.3.如圖7.1.1-2所示，以AB為一邊的三角形有（ ）A.3個B.4個C.5個D.6個考點2：三角形三邊關(guān)系4.已知四組線段的長分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）A.1，2，3B.2，5，8C.3，4，5D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（ ） A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm6.如果線段a、b、c能組成三角形，那么，它們的長度比可能是（ ）A.1

3、24B.134C.347D.2347.已知等腰三角形的兩邊長分別為4cm和7cm，則此三角形的周長為（ ）A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能確定8.下列各組給出的三條線段中不能組成三角形的是（ ）A.3，4，5B.3a，4a，5aC.3+a，4+a，5+aD.三條線段之比為3589.三角形三邊的比是345，周長是96cm，那么三邊分別是_cm.10.已知等腰三角形的周長是25cm，其中一邊長為10cm，求另兩邊長_.11.某木材市場上木棒規(guī)格和價格如下表：規(guī)格1m2m3m4m5m6m價格（元/根）101520253035小明的爺爺要做一個三角形的木架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長度為3

4、m和5m的木棒，還需要到某木材市場上購買一根.問：（1）有幾種規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？（2）選擇哪一種規(guī)格的木棒最省錢？12. 如圖所示,已知P是ABC內(nèi)一點,試說明PA+PB+PC>(AB+BC+AC).13、（1）如圖1，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，AC是一條小路，人們從A到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請你用學(xué)過的知識解釋一下原因。（2）如圖2，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，由A經(jīng)D到C是一條小路，人們從A步行到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請你用學(xué)過的知識解釋一下原因。 14、已知a、b、c是ABC的三邊長，化簡知識點2：三角形的高、中線與角平分線1.三角形的高(

5、如圖從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。表示法：（1）AD是ABC的BC上的高。（2）ADBC于D。（3）ADBADC90°。注意：三角形的高是線段；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；三角形三條高所在直線交于一點。圖2如圖3圖12.三角形的中線（如圖2）三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段。表示法：（1）AD是ABC的BC上的中線；（2）BDDCBC注意：三角形的中線是線段；三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點；中線把三角形分成面積相等的兩個三角形。3、三角形的角平分線（

6、如圖3）三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交這個角頂點與交點之間的線段。表示法：（1）AD是ABC的BAC的平分線。（2）12BAC注意：三角形的角平分線是線段；三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點；可以用量角器畫三角形的角平分線?？键c1：三角形的高1.如圖7.1.2-1，在ABC中，BC邊上的高是_；在AFC中，CF邊上的高是_；在ABE中，AB邊上的高是_. 圖7.1.2-1 圖7.1.2-2 圖7.1.2-32.如圖7.1.2-2，ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，則ABH的三條高是_，這三條高交于_.BD是_、_、_的高.3.如圖7.1.2-

7、3，在ABC中EFAC，BDAC于D，交EF于G，則下面說話中錯誤的是（ ）A.BD是ABC的高B.CD是BCD的高C.EG是ABD的高D.BG是BEF的高4.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ） A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定5.三角形的三條高的交點一定在（ ）A.三角形內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的內(nèi)部或外部D.以上答案都不對6.如圖7.1.2-4所示，ABC中，邊BC上的高畫得對嗎？為什么？ 圖7.1.2-47、如圖，在ABC中，D是BC邊上的任意一點，AHBC于H。圖中以AH為高的三角形個數(shù)為（ ） A、3 B、4 C、5

8、D、6考點2：三角形的中線與角平分線8如圖7.1.2-5所示：（1）ADBC，垂足為D，則AD是_的高，_=_=90°.（2）AE平分BAC，交BC于E點，則AE叫做ABC的_，_=_=_.（3）若AF=FC，則ABC的中線是_，SABF=_.（4）若BG=GH=HF，則AG是_的中線，AH是_的中線. 圖7.1.2-5 圖7.1.2-69.如圖7.1.2-6，DEBC，CD是ACB的平分線，ACB=60°，那么EDC=_度.10.如圖7.1.2-7，BD=DC，ABN=ABC，則AD是ABC的_線，BN是ABC的_，ND是BNC的_線. 圖7.1.2-7 圖7.1.2-8

9、11.如圖7.1.2-8，若上1=2、3=4，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A.AD是ABC的角平分線B.CE是ACD的角平分線C.3=ACBD.CE是ABC的角平分線12.下列判斷中，正確的個數(shù)為（ ）（1）D是ABC中BC邊上的一個點，且BD=CD，則AD是ABC的中線（2）D是ABC中BC邊上的一個點，且ADC=90°，則AD是ABC的高（3）D是ABC中BC邊上的一個點，且BAD=BAC，則AD是ABC的角平分線（4）三角形的中線、高、角平分線都是線段A.1B.2C.3 D.412如圖，在ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則根據(jù)圖形填空：BE= = ； BAD= =

10、AFB= =900；14.如圖圖7.1.2-9所示，在ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，SABC=4cm2，求SABE. 圖7.1.2-9 15.ABC中，高AD與CE的長分別為2，4 求AB與BC的比是多少？16、在ABC中，ABAC，AC上的中線BD把三角形的周長分為24cm和30cm的兩個部分，求三角形的三邊長。16.根據(jù)你畫圖的實踐，用序號字母填寫下表（有幾種可能情況填寫幾個字母）：A.在三角形的內(nèi)部 B.在三角形的邊上 C.在三角形的外部銳角三角形直角三角形鈍角三角形角平分線中線高17填表：用長度相等的火柴棒拼成如圖所示的圖形三角形的個數(shù) 1 2 3 4 5n所用的火柴的根數(shù)3

11、57918.如圖所示,在ABC中,A=,ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點P, 且P=,試探求下列各圖中與的關(guān)系,并選擇一個加以說明. 知識3：三角形的穩(wěn)定性考點1：三角形的穩(wěn)定性1.三角形是具有_的圖形，而四邊形沒有_.2.自行車用腳架撐放比較穩(wěn)定的原因是_.3.木工師傅在做完門框后，為了防止變形常常像圖7.1.3-1所示那樣釘上兩條斜拉的木板條（即圖中的AB、CD兩個木條），這樣做根據(jù)數(shù)學(xué)道理是_. 圖7.1.3-1 圖7.1.3-2考點2：四邊形的不穩(wěn)定性4.如圖7.1.3-2是放縮尺，其工作原理是_.5下列把四邊形的不穩(wěn)定性合理地應(yīng)用到生產(chǎn)實際中的例子有（ ）（1）活動掛架 （2）放

12、縮尺 （3）屋頂鋼架 （4）能夠推攏和拉開的鐵拉門（5）自行車的車架 （6）大橋鋼架A.1B.2C.3D.46.下列圖形（如圖7.1.3-3）中哪些具有穩(wěn)定性？圖7.1.3-37.如圖7.1.3-4，哪些應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性，些應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性. 鋼架橋 起重機 屋頂鋼架 活動滑門圖7.1.3-4你來試一試：夯實基礎(chǔ)一、精心填一填，你會輕松（每題5分，共30分）1、如圖，當(dāng)_時，AD是ABC的中線；當(dāng)_時，AD是ABC的角平分線.圖2圖32、圖2中有_個三角形，它們分別是_3、如圖3，ABC的高AD、BE、CF相交于點I，BIC的BI邊上的高是_4、三角形的三邊之比是345，周長是36c

13、m，求這個三角形各邊長分別為_。5、已知三角形兩邊長分別是2cm和5cm，第三邊長數(shù)值為奇數(shù)，則這個三角形周長為_cm6、觀察下表中三角形個數(shù)變化規(guī)律，填表并回答下面問題問題：如果圖中三角形的個數(shù)是102個，則圖中應(yīng)有_條橫截線二、耐心選一選，你會開心（每題5分，共30分）7、在下列長度的四組線段中，能組成三角形的是（ ） A、4，5，6 B、6，8，15 C、7，5，12 D、3，7，138、在圖中，正確畫出AC邊上高的是（ ）A B C D9、已知三角形的周長為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長是（ ） A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm10、在下列長度的四

14、根木棒中，能與4cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）A、4cm B、5cm C、9cm D、13cm11、如圖，線段AD把ABC分為面積相等的兩部分，則線段AD是（ ）A、三角形的角平分線B、三角形的中線C、三角形的高D、以上都不對12、在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對角的角平分線，最短的是（ ）A、高 B、中線 C、角平分線 D、不能確定綜合創(chuàng)新三、細心做一做，你會成功（共40分）14、如圖，ABC正好可以放在長方形內(nèi)，要測出ABC的面積，現(xiàn)有一把刻度尺，你能做到嗎?說出你是怎樣做的15、如圖，AD、CE是ABC的兩條高，AB3cm，BC6cm，CE8c

15、m，求AD的長 與三角形有關(guān)的角知識點一：三角形內(nèi)角和定理1、內(nèi)容：角形三個內(nèi)角的和等于180°，即可以表示為：在中，有.2、作用：在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角之間關(guān)系，求各角；已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和等于180°，但要注意的是在解決實際問題時，這一點是不會在已知中告訴你的，也就是往往要把它作為隱含的條件來用，因此在解決此類問題時應(yīng)該切記3、定理的推導(dǎo)：三角形內(nèi)角和定理證明方法很多，定理的證明需要添加輔助線，通過輔助線將角轉(zhuǎn)移和集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來由180°可聯(lián)想到平角；鄰補角；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，現(xiàn)舉幾種常見的證明思路： 思路1：如圖1所

16、示，延長BC到E，作CDAB因為ABCD（已作）， 所以1=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），B=2（兩直線平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180°（平角定義）， 所以ACB+A+B=180°（等量代換） 思路2：如圖2所示，在BC邊上任取一點D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于點F 因為DFAC（已作）， 所以1=C（兩直線平行，同位角相等）， 2=DEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 因為DEAB（已作） 所以3=B，DEC=A（兩直線平行，同位角相等） 所以A=2（等量代換） 又1+2+3=180°（平角定義）， 所以A+B+C=180°（

17、等量代換）知識點二：三角形的外角 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.要點詮釋： (1)外角的特征有三條： 頂點在三角形的一個頂點上如下圖：ACD的頂點C是ABC的一個頂點 一條邊是三角形的一邊如：ACD的一條邊AC正好是ABC的一條邊； 另一條邊是三角形某條邊的延長線如：ACD的邊CD是ABC的BC邊的延長線。 (2)三角形有六個外角，每個頂點處有兩個外角，但算三角形外角和時，每個頂點處只算一個外角，外 角和是指三個外角的和，三角形的外角和為360°；和外角有共同頂點的內(nèi)角叫做和這個外角相鄰的內(nèi)角，它們是互補的，互為鄰補角，另外兩個內(nèi)角叫做和這個外角不相鄰的內(nèi)角

18、知識點三：三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì) 1. 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. （1）推理過程：如圖所示， 因為ACD+ACB=180°（鄰補角定義）， ACB+A+B=180°（內(nèi)角和定理）， 所以ACD=A+B（等式性質(zhì)） （2）作用：已知外角和與它不相鄰兩個內(nèi)角中的一個可求“另一個”； 可證一個角等于另兩個角的和； 經(jīng)常利用它作為中間關(guān)系式證明兩個角相等。 2. 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角. 如上圖所示，ACD>A或ACD>B 作用：利用它證明兩個角不相等的關(guān)系要點詮釋： 這兩個結(jié)論稱為三角形內(nèi)角和定理的推論它可以當(dāng)作定理直接使用

19、利用它證明角不等時，應(yīng)設(shè)法把求證中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在內(nèi)角位置上，也可以把它們的一部分放在外角或內(nèi)角的位置上。 注意：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理的推論時，一定要理解其意思即 “和它不相鄰”的意義三、規(guī)律方法指導(dǎo) 1三角形內(nèi)角和為180°，三角形三個外角的和是360°,這是在做題時題設(shè)不用加以說明的已知條件； 在三個角中已知其中兩個角的度數(shù)便能求第三個角的大小. 2在一個三角形中最多只能有一個鈍角或者一個直角，最少有兩個銳角. 3三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度數(shù)及有關(guān)的推理論證時經(jīng)常使用的理論依據(jù)外角的性質(zhì)應(yīng)用：證明一個角等于另兩個角的和；作為中間關(guān)

20、系式證明兩角相等；證明角的不等關(guān)系. 4利用作輔助線求解問題，會使問題變得簡便.基礎(chǔ)過關(guān)作業(yè)1ABC中，A=50°，B=60°，則C=_2已知三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形是（ ） A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定3ABC中，A=B+C，則A=_度4根據(jù)下列條件，能確定三角形形狀的是（ ）（1）最小內(nèi)角是20°； （2）最大內(nèi)角是100°； （3）最大內(nèi)角是89°； （4）三個內(nèi)角都是60°； （5）有兩個內(nèi)角都是80°A（1）、（2）、（3）、（4） B（1）、（3）、（4）、（5

21、） C（2）、（3）、（4）、（5） D（1）、（2）、（4）、（5）5如圖1，1+2+3+4=_度 (1) (2) (3)6三角形中最大的內(nèi)角不能小于_度，最小的內(nèi)角不能大于_度7ABC中，A是最小的角，B是最大的角，且B=4A，求B的取值范圍8如圖2，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于D，求ABD的度數(shù)綜合創(chuàng)新作業(yè)9（綜合題）如圖3，在ABC中，B=66°，C=54°，AD是BAC的平分線，DE平分ADC交AC于E，則BDE=_10（應(yīng)用題）如圖7-2-1-4是一個大型模板，設(shè)計要求BA與CD相交成30°角，DA與CB相交成20°角，怎樣

22、通過測量A，B，C，D的度數(shù)，來檢驗?zāi)０迨欠窈细瘢?1（創(chuàng)新題）如圖，ABC中，AD是BC上的高，AE平分BAC，B=75°，C=45°，求DAE與AEC的度數(shù)12（2005年，福建廈門）如圖，已知，在直角ABC中，C=90°，BD平分ABC且交AC于D（1）若BAC=30°，求證：AD=BD；（2）若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù)13（易錯題）在ABC中，已知A=B=C，求A、B、C的度數(shù)培優(yōu)作業(yè)14（探究題）（1）如圖，在ABC中，A=42°，ABC和ACB的平分線相交于點D，求BDC的度數(shù)（2）在（1）中去掉A=42°

23、;這個條件，請?zhí)骄緽DC和A之間的數(shù)量關(guān)系15（開放題）如圖，在直角三角形ABC中，BAC=90°，作BC邊上的高AD，圖中出現(xiàn)多少個直角三角形？又作ABD中AB邊上的高DD1，這時，圖中共出現(xiàn)多少個直角三角形？按照同樣的方法作下去，作出D1D2，D2D3，當(dāng)作出Dn-1Dn時，圖中共出現(xiàn)多少個直角三角形？答案:170° 2B 390 4C 5280 660；607解：設(shè)B=x，則A=x由三角形內(nèi)角和定理，知C=180°-x而ACB所以x180°-xx即80°x120°8解：設(shè)ABC=C=x°，則BAC=4x° 由

24、三角形內(nèi)角和定理得4x+x+x=180 解得x=30 BAC=4×30°=120° BAD=180°-BAC=180°-120°=60° ABD=90°-BAD=90°-60°=30°點撥：ABD是RtBDA的一個銳角，若能求出另一個銳角DAB就可運用直角三角形兩銳角互余求得9132° 點撥：因為BAC=180°-B-C=180°-66°-54°=60°，且AD是BAC的平分線，所以BAD=DAC=30°在ABD中，

25、ADB=180°-66°-30°=84°在ADC中，ADC=180°-54°-30°=96°又DE平分ADC，所以ADE=48°故BDE=ADB+ADE=84°+48°=132°10解：設(shè)計方案1：測量ABC，C，CDA，若180°-（ABC+C）=30°，180°-（C+CDA）=20°同時成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計方案2：測量ABC，C，DAB，若180°-（ABC+C）=30°，（BAD+ABC）-180

26、°=20°同時成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計方案3：測量DAB，ABC，CDA，若（DAB+CDA）-180°=30°，（BAD+ABC）-180°=20°同時成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計方案4：測量DAB，C，CDA，若（DAB+CDA）-180°=30°，180°-（C+CDA）=20°同時成立，則模板合格；否則不合格 點撥：這是一道幾何應(yīng)用題，借助于三角形知識分析解決問題，對形成用數(shù)學(xué)的意識解決實際問題是大有益處的11解法1：B+C+BAC=180°，B=75°，

27、C=45°，BAC=60°AE平分BAC，BAE=CAE=BAC=×60°=30°AD是BC上的高，B+BAD=90°，BAD=90°-B=90°-75°=15°，DAE=BAE-BAD=30°-15°=15°在AEC中，AEC=180°-C-CAE=180°-45°-30°=105°解法2：同解法1，得出BAC=60°AE平分BAC，EAC=BAC=×60°=30°AD是BC

28、上的高，C+CAD=90°，CAD=90°-45°=45°，DAE=CAD-CAE=45°-30°=15°AEC+C+EAC=180°，AEC+30°+45°=180°，AEC=105° 答：DAE=15°，AEC=105° 點撥：本節(jié)知識多與角平分線的定義，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形高的定義綜合應(yīng)用，有時也結(jié)合方程組、不等式等代數(shù)知識綜合應(yīng)用求角的度數(shù)的關(guān)鍵是把已知角放在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理求解，或轉(zhuǎn)化為與已知角有互余關(guān)系或互補關(guān)系求解，

29、有些題目還可以轉(zhuǎn)化為已知角的和或差來求解12（1）證明：BAC=30°，C=90°， ABC=60° 又BD平分ABC，ABD=30° BAC=ABD，BD=AD （2）解法1：C=90°， BAC+ABC=90° （BAC+ABC）=45° BD平分ABC，AP平分BAC， BAP=BAC，ABP=ABC； 即BAP+ABP=45°， APB=180°-45°=135° 解法2：C=90°， BAC+ABC=90° （BAC+ABC）=45° BD平分A

30、BC，AP平分BAC， DBC=ABC，PAC=BAC， DBC+PAD=45° APB=PDA+PAD=DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45°+90°=135°13解：由A=B=C知，B=3A，C=5A 設(shè)A=x°，則B=3x°，C=5x° 由三角形內(nèi)角和定理得x+3x+5x=180 解得x=20 3x=60，5x=100 A=20°，B=60°，C=100° 點撥：解此類題，一般設(shè)較小的角為未知數(shù)14解：（1）A=42°， ABC+ACB=180°-A=138&#

31、176; BD、CD平分ABC、ACB的平分線 DBC=ABC，DCB=ACB DBC+DCB=（ABC+ACB）=×138°=69° BDC=180°-（DBC+DCB）=180°-69°=111° （2）BDC=90°+A 理由：BD、CD分別為ABC、ACB的平分線， DBC=ABC，DCB=ACB DBC+DCB=（ABC+ACB）=（180°-A）=90°-A BDC=180°-（DBC+DCB） =180°-（90°-A） =90°+A 點撥：

32、欲求BDC，只要求出DBC+DCB即可15解：作出BC邊上的高AD時，圖中出現(xiàn)3個直角三角形； 作出ABD中AB邊上的高DD1時，圖中出現(xiàn)5個直角三角形； 作出Dn-1Dn時，圖中共出現(xiàn)（2n+3）個直角三角形 多邊形及其內(nèi)角和目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解多邊形，多邊形的對角線，正多邊形等有關(guān)的概念；2掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法， 進一步培養(yǎng)說理和進行簡單推理的能力.重點：多邊形內(nèi)角和及外角和公式的靈活應(yīng)用.難點：1多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo). 2多邊形內(nèi)角和及外角和公式的應(yīng)用知識要點梳理知識點一：多邊形及有關(guān)概

33、念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間 多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的

34、直線，如果整個多邊形都在這 條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸 多邊形. 凸多邊形 凹多邊形 圖1 (2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形知識點二：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊

35、形才是正方形.知識點三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點詮釋：(1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個頂點有n3條對角線(n3的正整數(shù))，又共有n個頂點，共有n(n3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得到邊

36、形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平角的度數(shù)，即.要點詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識點五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360°. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內(nèi)角和加外

37、角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)·180°(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180°。 多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識點六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同

38、，也可以形狀不相同。2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點。當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360

39、76;，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六

40、邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和 就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少 沒有鈍角.4在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法.5在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相

41、關(guān)的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°，求這個多邊形的邊數(shù).【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°，求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？ 【變式3】個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350

42、6;，求這個多邊形的邊數(shù)。類型二：多邊形對角線公式的運用2某校七年級六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每兩個班都進行一次比賽）.你能算出一共需要進行多少場比賽嗎？總結(jié)升華：對于其他學(xué)科問題要善于把它與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起，便于解決.舉一反三：【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）.A6 B7 C8 D9【變式2】一個十二邊形有幾條對角線?？偨Y(jié)升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對角線的條數(shù)，要記住這個公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題3如圖，求A+B+C+D+E+

43、F+G的度數(shù). 總結(jié)升華：本題通過作輔助線，把A與G的和轉(zhuǎn)化為1與2的和，從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和運算，“轉(zhuǎn)化思想”是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】如圖所示，1+2+3+4+5+6=_. 【變式2】如圖所示，求ABCDEF的度數(shù)。類型四：實際應(yīng)用題4如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進10m，又向右轉(zhuǎn)15°，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點時，一共走了_m.【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°，然后

44、繼續(xù)向前走10米，再向右轉(zhuǎn)36°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，當(dāng)他走回點A時共走了多少米？若不能，寫出理由?！咀兪?】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊ABCF，CDAE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由. 類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖。(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形。思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和

45、能構(gòu)成一個周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌?？偨Y(jié)升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是( )A、4B、5C、6D、8【變式3】（2010內(nèi)蒙古赤峰）下面平面圖形中，不能鑲嵌平面的圖形是 （ ）A任意一個三角形 B任意一個四邊形C任意一個正五邊形 D任意一個正六邊形學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達標(biāo)：選擇題1.多邊形的內(nèi)角和不可能是（ ）.A.1800° B.540° C.800° D.360°2.一個多邊形的內(nèi)角中,銳角的個數(shù)最多有( ).A.3個 B.4個 C.5個 D.6個3.