《獨立性檢驗》

1、問題: 數(shù)學家龐加萊每天都從一家面包店買一塊1000g 的面包，并記錄下買回的面包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。 假設(shè)“面包分量足”，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應該不少于1000g ； “這個平均值不大于950g”是一個與假設(shè)“面包分量足”矛盾的小概率事件； 這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。一:假設(shè)檢驗問題的原理假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個叫做備擇假設(shè)，用H1表示。例如，在前面的例子中， 原假設(shè)為： H0：面包分量足，備擇假設(shè)為 H1：面包分量不足。這個假設(shè)檢驗

2、問題可以表達為： H0：面包分量足 H1：面包分量不足二:求解假設(shè)檢驗問題考慮假設(shè)檢驗問題： H0：面包分量足 H1：面包分量不足 在H0成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件； 如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解思路：三:二個概念這種變量的不同取“值”表示個體所屬的不同類別，這類變量稱為分類變量1.分類變量 對于性別變量，取值為：男、女 分類變量在現(xiàn)實生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，出生月份等等。利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為”兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量

3、的獨立性檢驗.(為假設(shè)檢驗的特例) 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大0.54%2.28%1)通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：三維柱狀圖2) 通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：二維條形圖3)

4、通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：患肺癌比例不患肺癌比例 獨立性檢驗H0： 吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系 H1： 吸煙和患肺癌之間有關(guān)系通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠程度如何？ 用 A 表示“不吸煙”， B 表示“不患肺癌”則 H0： 吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系 “吸煙”與“患肺癌”獨立,即A與B獨立P P( (A AB B) )= = P P( (A A) )P P( (B B) )等價于等價于 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙a ab ba+ba+b吸煙吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+

5、b+c+da+b+c+da a + + b ba a + + c ca aP P( (A A) ), ,P P( (B B) ), ,P P( (A AB B) )n nn nn n其其 中中 n n = = a a + + b b + + c c + + d dacac,a+bc+da+bc+d a a c c+ +d d c c a a+ +b b , ,adbcaa+ba+caa+ba+cnnnnnn2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) ) 獨

6、立性檢驗0.adbca ad d- -b bc c 越越小小，說說明明吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌之之間間的的關(guān)關(guān)系系越越弱弱，ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強引入一個隨機變量作為檢驗在多大程度上可以認為“兩個變量有關(guān)系”的標準 。1)如果P(m10.828)= 0.001表示有99.9%的把握認為”X與Y”有關(guān)系;2)如果P(m7.879)= 0.005表示有99.5%的把握認為”X與Y”有關(guān)系;3)如果P(m6.635)= 0.01表示有99%的把握認為”X與Y”有關(guān)系;4)如果P(m5.024)= 0.025表示有97.5%的把

7、握認為”X與Y”有關(guān)系;5)如果P(m3.841)= 0.05表示有95%的把握認為”X與Y”有關(guān)系;6)如果P(m2.706)= 0.010表示有90%的把握認為”X與Y”有關(guān)系;7)如果m2.706),就認為沒有充分的證據(jù)顯示”X與Y”有關(guān)系;設(shè)有兩個分類變量X和Y它們的值域分別為x1,x2和y1,y2其樣本頻數(shù)列表(稱為22列聯(lián)表) 為y y1 1y y2 2總計總計x x1 1a ab ba+ba+bx x2 2c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d22列聯(lián)表22()()()()n ad bcKa b c d a c b d（）2 2P(k

8、 m)P(k m)適用觀測數(shù)據(jù)a、b、c、d不小于5 獨立性檢驗 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計總計9874919965通過公式計算2242 209956.6327817 2148 9874 91K9965(7775 49） 獨立性檢驗已知在 成立的情況下，0H2(6.635)0.01P K 即在 成立的情況下，K2 大于6.635概率非常小，近似為0.010H現(xiàn)在的K2=56.632的觀測值遠大于6.635分類變量之間關(guān)系條形圖柱形圖列聯(lián)表獨立性檢驗背景分析例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院

9、的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?例2.為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生,得到如下列聯(lián)表: 性別與喜歡數(shù)學課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學課程喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程 總計總計 男男 37 37 85 85 122 122 女女 35 35 143 143 178 178 總計總計 72 72 228 228 300 300由表中數(shù)據(jù)計算得 ,高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間是否有關(guān)系?為什么?2 2K K 4 4. .5 51 13 3acdb解:P111獨立性檢驗基本的思想類似反證法(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個分類變量沒有關(guān)系”