概率統(tǒng)計 1-2幾何概率

1、二二 幾何概率幾何概率引例引例: 大轉(zhuǎn)盤大轉(zhuǎn)盤利用等可能性的概念成功地解決了古典概型的概率利用等可能性的概念成功地解決了古典概型的概率, 不不過古典概型要求試驗的樣本空間是個有限集過古典概型要求試驗的樣本空間是個有限集. 因此因此, 對對于結(jié)果無限而又有某種等可能性的場合一般可以通過幾于結(jié)果無限而又有某種等可能性的場合一般可以通過幾何方法來解決何方法來解決.結(jié)論結(jié)論: 幾何量之比幾何量之比. P A 綠格面積綠格面積圓面積圓面積.2圓心角圓心角周角周角A在這類問題中在這類問題中, 試驗的可能結(jié)果是某區(qū)域試驗的可能結(jié)果是某區(qū)域 中的一個點中的一個點,落在該區(qū)域任意位置都是等可能的落在該區(qū)域任意位

2、置都是等可能的. 落在某子區(qū)域落在某子區(qū)域A的的可能性與區(qū)域的測度可能性與區(qū)域的測度Measure（長度、面積、體積等）（長度、面積、體積等）成正比而與其位置及形狀無關(guān)成正比而與其位置及形狀無關(guān).設(shè)設(shè) 是可度量的（區(qū)間有長度是可度量的（區(qū)間有長度, 平面情形具有面積平面情形具有面積, 空空可能性是相同的可能性是相同的. 事件事件 是是 的一個子區(qū)域的一個子區(qū)域, 并且并且 也也AA是可以度量的是可以度量的, 則事件則事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為:間情形具有體積）間情形具有體積）, 并進一步地假定每個樣本點出現(xiàn)的并進一步地假定每個樣本點出現(xiàn)的 m AP Am例例1 某碼頭只能?？恳恢淮炒a頭只

3、能?？恳恢淮? 現(xiàn)已知某日會有兩只船現(xiàn)已知某日會有兩只船解解 設(shè)甲船到達時刻為設(shè)甲船到達時刻為 ?？客？?小時小時, 乙船乙船,0,24 ,x x情形情形: 乙船先到乙船先到, 甲船等待甲船等待, 則則 滿足滿足 , x y,6,xy xy情形情形: 甲船先到甲船先到, 乙船等待乙船等待, 則則 滿足滿足 , x y,4,xy yx0,24到達且到達時間是在到達且到達時間是在 中任一時刻中任一時刻, 已知一船需已知一船需要停要停4小時小時, 另一只需要停另一只需要停6小時小時, 求一船需等待的概率求一船需等待的概率.,0,24 ,y y到達時刻為到達時刻為 ?？客？?小時小時. 相應的區(qū)域如圖

4、所示相應的區(qū)域如圖所示: 81624816246xy4xy Dxy所以所以 若以若以 表示某船等待另一船這表示某船等待另一船這 224576,m A一事件一事件, 則則 即為圖中區(qū)域即為圖中區(qū)域 的面積的面積, 容易得到容易得到: m AD 2211576201822m A214,從而從而, 事件事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為A 2140.3715.576P A 例例2 將一單位長度的小棍隨機折成將一單位長度的小棍隨機折成3段段.求能構(gòu)成三角形的概率求能構(gòu)成三角形的概率.解解: 如果設(shè)截成的三段長度分別為如果設(shè)截成的三段長度分別為x, y, z. 則涉及三維則涉及三維,計算麻煩計算麻煩 .設(shè)單

5、位長度的小棍左右端點坐標分別為設(shè)單位長度的小棍左右端點坐標分別為0, 1兩截點坐標分別為兩截點坐標分別為 x, y由對稱性不妨設(shè)由對稱性不妨設(shè) 01xy則三段長度分別為則三段長度分別為, , 1x yxy由三角形兩邊之和大于第三邊得約束如下由三角形兩邊之和大于第三邊得約束如下 1 1 1 xyxyxyyxyyxx 解得解得: 1 2121 2yyxx比較面積得比較面積得: 14P A xy1112（ , ）1212例例3 蒲豐投針問題蒲豐投針問題平面上畫著一些等距的平行線平面上畫著一些等距的平行線,間距為間距為a. 向此平面任意投向此平面任意投擲一長度為擲一長度為 的針的針. 試求此針與任一平

6、行線相交試求此針與任一平行線相交的概率的概率. l la解解: 以以x表示針的中點到最近的平行線的距離表示針的中點到最近的平行線的距離 表示針與平行線的交角表示針與平行線的交角 xO2a2lx,|0,02axx ,|0,0sin22laAxx 01sin d2212llP Aaa 以頻率以頻率 近似代替近似代替P得得nN 可算得可算得 2lNan2lnaN歷史資料歷史資料, a折算為折算為1 3.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000

7、.81850WolfnN針線比年份實驗者貝特朗奇論貝特朗奇論:在單位圓內(nèi)隨機取一條弦在單位圓內(nèi)隨機取一條弦, 問其長度超過該圓內(nèi)接等邊問其長度超過該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少三角形邊長的概率是多少?解法解法1 以此端點做一個等邊三角形以此端點做一個等邊三角形.顯然顯然, 只有穿過此三角形內(nèi)的弦才符合要求只有穿過此三角形內(nèi)的弦才符合要求. 而符合而符合條件的弦的另一端正好占整個圓弧的條件的弦的另一端正好占整個圓弧的1/3.并且并且, 不論固定的那個端點在圓上的哪個不論固定的那個端點在圓上的哪個位置位置, 情況都是一樣的情況都是一樣的. 所以結(jié)果為所以結(jié)果為1/3.A由于弦交圓于兩點由于弦交

8、圓于兩點. 我們先固定弦的一個端點我們先固定弦的一個端點 . A解法解法2 由于弦長只和圓心到它的距離有關(guān)由于弦長只和圓心到它的距離有關(guān). 所以固定圓內(nèi)一條所以固定圓內(nèi)一條半徑半徑. 當且僅當圓心到它的距離小于當且僅當圓心到它的距離小于1/2才滿足條件才滿足條件.并且并且, 不論固定的是哪條半徑不論固定的是哪條半徑, 情況都是一樣的情況都是一樣的. 所以所以結(jié)果為結(jié)果為1/2.OA弦被其中點唯一確定弦被其中點唯一確定. 當且僅當其中點在半徑為當且僅當其中點在半徑為1/2的圓的圓解法解法3 內(nèi)時才滿足條件內(nèi)時才滿足條件. 此小圓面積為大圓的此小圓面積為大圓的1/4. 所以結(jié)果所以結(jié)果為為1/4.

9、三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果, 所以所以我們稱其為我們稱其為paradox. 其實其實, 這些結(jié)果都是對的這些結(jié)果都是對的. 因為它們采用了不同的等可能性假定因為它們采用了不同的等可能性假定. 上均勻分布上均勻分布.解法一假定弦的端點在圓上均勻分布解法一假定弦的端點在圓上均勻分布.解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點在半徑解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點在半徑解法三假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布解法三假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布.1.3 頻率與概率頻率與概率 設(shè)設(shè) 是隨機試驗是隨機試驗, 是樣本空間是樣本空間, 是事件是事件, 設(shè)在設(shè)在

10、N 次試次試驗中驗中, 事件事件 出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為n 次次,則稱則稱n為頻數(shù)為頻數(shù) .AEAnN稱為事件稱為事件 在在 次試驗中出現(xiàn)的頻率次試驗中出現(xiàn)的頻率, 記為記為 即即AN ,NfA定義定義: .NnfAN 歷史上歷史上, 有很多學者為了考察某些問題的概率而做了有很多學者為了考察某些問題的概率而做了試驗者試驗者試驗次數(shù)試驗次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率頻率蒲豐蒲豐404020480.5069K.皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜皮爾遜24000120120.5005大量的試驗大量的試驗, 以觀察一些問題的實質(zhì)以觀察一些問題的實質(zhì). 例如在拋硬幣試例如在拋硬幣試

11、驗中驗中, 有這樣三組數(shù)據(jù)有這樣三組數(shù)據(jù): 通過這一組數(shù)據(jù)可以看到通過這一組數(shù)據(jù)可以看到:當試驗的次數(shù)越大當試驗的次數(shù)越大, 則事件則事件N在在 次試驗中出現(xiàn)的頻率越接近某一個常數(shù)次試驗中出現(xiàn)的頻率越接近某一個常數(shù), 它反映了它反映了事件在大量重復試驗中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性事件在大量重復試驗中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性. 由于事件發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的由于事件發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的關(guān)系關(guān)系, 加之頻率又有穩(wěn)定性加之頻率又有穩(wěn)定性, 故而可通過頻率來定義故而可通過頻率來定義概率概率. 這就是這就是:概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義:實際應用中實際應用中, 往往就

12、簡單地把頻率當概率用往往就簡單地把頻率當概率用. N發(fā)生的頻率隨著發(fā)生的頻率隨著 的增大將穩(wěn)定到某個常數(shù)的增大將穩(wěn)定到某個常數(shù), 就稱該常就稱該常( ).P A數(shù)為事件發(fā)生的概率數(shù)為事件發(fā)生的概率, 記為記為,AA對于任何一個事件對于任何一個事件 若事件若事件 在在 次重復試驗中所次重復試驗中所N例例1 在拋硬幣試驗中，以在拋硬幣試驗中，以 表示出現(xiàn)正面朝上這一事件表示出現(xiàn)正面朝上這一事件,A 1.2P A A則由上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到事件則由上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 例例2 為了設(shè)計某路口向左拐彎的汽車侯車道為了設(shè)計某路口向左拐彎的汽車侯車道. 在每天交在每天交1頻率頻率

13、601231420164等候天數(shù)等候天數(shù)總和總和6543210等候車輛數(shù)等候車輛數(shù)460166020601460360260160通最繁忙的時間（上午通最繁忙的時間（上午9時）在該路口觀察候車數(shù)時）在該路口觀察候車數(shù), 共觀共觀察了察了60天天, 得數(shù)據(jù)如下得數(shù)據(jù)如下:試求某天上午試求某天上午9時在該路口至少有時在該路口至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎解解 設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“至少有至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎”這這一一A 602110.05,6020fA故可近似地認為至少有故可近似地認為至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為 0.05.P

14、 A 的概率的概率.事件事件, 在在60次觀察中次觀察中, 事件發(fā)生的頻率事件發(fā)生的頻率1.4 概率的公理化定義概率的公理化定義 概率的統(tǒng)計定義具有一定的應用價值概率的統(tǒng)計定義具有一定的應用價值, 但在理論上有但在理論上有嚴重的缺陷嚴重的缺陷, 也不利于一般概率問題的計算也不利于一般概率問題的計算. 古典概型古典概型和幾何概型的計算公式雖然解決了這兩種概型中事件的和幾何概型的計算公式雖然解決了這兩種概型中事件的概率的計算問題概率的計算問題, 但并不是普遍適用的但并不是普遍適用的. 下面我們引入下面我們引入概率的公理化定義概率的公理化定義, 并導出基本的概率計算公式并導出基本的概率計算公式.先來

15、看古典概率和幾何概率的共性先來看古典概率和幾何概率的共性: 2、規(guī)范性、規(guī)范性 1;P 若若 為兩兩互不相容事件為兩兩互不相容事件, 則則12,nA AA121.nniiP AAAP A 1、非負性、非負性 0P A 3、有限可加性、有限可加性對于任一隨機事件對于任一隨機事件, 賦予唯一一個實數(shù)賦予唯一一個實數(shù) P A若若 滿足以下三條公理：滿足以下三條公理： P A設(shè)隨機試驗的樣本空間為設(shè)隨機試驗的樣本空間為公理公理3 完全可加性完全可加性(可列可加性可列可加性)公理公理1 非負性：非負性： 0P A 公理公理2 規(guī)范性：規(guī)范性： 1P 12,nA AA是一列兩兩互不相容的隨機事件是一列兩兩

16、互不相容的隨機事件 11iiiiPAP A則稱則稱 為事件為事件A的概率的概率 P A 由定義由定義, 不難得到如下性質(zhì)不難得到如下性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 0;P 證明證明: 在公理在公理3中取中取 則則iA 111iiiiiPPAP AP 所以所以20iP 又又0P 所以所以0P 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè) 為互不相容事件組為互不相容事件組, 則有則有 12,nA AA121.nniiP AAAP A證明證明: 在公理在公理3中取中取 則則,1iAin 111nniiii niP APP A 111niiiiiiPAPAP A性質(zhì)性質(zhì)3 對立事件計算公式對立事件計算公式 ,1PAP A 證明證明: 互斥互斥

17、, 由性質(zhì)由性質(zhì)2,A A APPAAP AP 由公理由公理2得得: ,1PAP A 且且 P AP B P BAP BP A性質(zhì)性質(zhì)4 若若 則則AB證明證明:BABA由性質(zhì)由性質(zhì)2 P BP AP BA移項即得移項即得: P AP B P BAP BP A 0P BAP BP A由非負性由非負性即得即得:性質(zhì)性質(zhì)5 減法公式減法公式: P BAP BP AB證明證明:,BABAB ABB由性質(zhì)由性質(zhì)4 P BAP BABP BP AB注注: 此公式無任何條件限制此公式無任何條件限制. 設(shè)設(shè) 為任意兩個事件為任意兩個事件, 則則 ,A B性質(zhì)性質(zhì)6 加法公式加法公式 P ABP AP BP

18、AB現(xiàn)推導三個隨機事件的加法公式現(xiàn)推導三個隨機事件的加法公式 P ABC證明證明:ABAABABBAB由可加性和減法公式即得由可加性和減法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得再用一次加法公式以及分配律得 將將 看作一個事件看作一個事件, 由加法公式得由加法公式得 BC P ABCP AP BCP ABC P ABCP AP BP CP BCP ABAC再用一次加法公式并注意到再用一次加法公式并注意到ABACABC整理即得整理即得 P ABCP AP BP CP BCP ABP ACP ABC由此可用數(shù)學歸納法證明一般由此可用數(shù)學歸納法證明一般加法公式加法公式: 1111nnnniiijijkiij nij k niPAP AP AAP AA A 1121nnP A AA 例例1、 設(shè)設(shè) 求求 0.5,0.7,0.8,P AP BP AB.P AB解解 由加法公式由加法公式 .P ABP AP BP AB得得0.4,P AB 又又: ,P ABP AP AB所以所以 0.1.P ABP AP AB例例2 從從1到到9九個數(shù)字中有放回地取出九個數(shù)字中有放回地取出 個數(shù)字個數(shù)字.求取出之數(shù)的乘積能被求取出之數(shù)的乘積能被10整除的概率整除的概率 2n n 解：乘積能被解：乘積能被10整除要求有