1菱形知識(shí)講解+練習(xí)

1、麥形（基礎(chǔ)）1. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1. 菱形的四條邊都相等；2. 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖

2、形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種:1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2. 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3. 四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一

3、、菱形的性質(zhì)牝201調(diào)，魏ABCD中，E小為AD“的點(diǎn)，且AE=AF，連接EF并延長，交CB的延長線于點(diǎn)G,連接BD.(1)求證：四邊形EGBD是平行四邊形;(2)連接AG,若ZFGB=30GB=AE=1，求AG的長.【思路點(diǎn)撥】(1)連接AC,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EG/BD,根據(jù)對(duì)邊分別平行證明是平行四邊形即可.(2)過點(diǎn)A作AH±BC,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.【答案與解析】(1)證明：連接AC,如圖1:.四邊形ABCD是菱形，AC分ZDAB,曲以BD,.AF=AE,AC上EF,EG/BD.又.菱形ABCD中，ED/BG,四邊形EGBD是平行四邊形.(2)解：過點(diǎn)

4、A作AH±BC于H./FGB=30°,DBC=30°,.ZABH=2/DBC=60°,.GB=AE=1,AB=AD=2,在RtAB電ZAHB=90°,AH3,BH=1.GH=2,在RtAGHK根據(jù)勾股定理得，AG=J.關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及直角三ABCD中，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接DE交,則/CBO=度.【總結(jié)升華】本題考查了菱形性質(zhì)，角形的性質(zhì)解題.舉一反三：【變式1】(2015?溫州模擬)如圖，在菱形AC于點(diǎn)O，連接BO,且ZAED=50【答案】50;解：在菱形ABCD中,AB/CD,匕CDO=ZAED=50CD=CB，

5、/BCO=ZDCO,BCOADC。,C比CBZbco=Zdco,co=coBCOADCAS),.ZCBO=ZCDO=50【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）例1】【變式2】菱形ABCD中，ZA:ZB=1:5,若周長為8,則此菱形的高等于（）.A.1B.4C.1D.22【答案】C;提示：由題意，/A=30°,邊長為2,菱形的高等于一X2=1.2類型二、菱形的判定命5串一八出曰/_2、如圖所小，在ABC中，CD是ZACB的平分線，DE/AC,DF/BC，四邊形DECF是菱形嗎？試說明理由.【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE/AC,DF/BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由/1=Z

6、2=Z3得到鄰邊相等即可.【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：.DE/AC,DF/BC四邊形DECF是平行四邊形.CD平分ZACB,Z1=Z2.DF/BC,Z2=Z3,Z1=Z3.CF=DF,四邊形DECF是菱形.【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由一對(duì)鄰邊相等來判定它是菱形.舉一反三：【變式】如圖所示，AD是MBC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于E,交AC于F,則四邊形AEDF是菱形嗎？請(qǐng)說明理由.BD【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：EF垂直平分AD,ZAOF與ADOF關(guān)于直線EF成軸對(duì)稱.ZODF=ZOA

7、F,又.AD平分ZBAC，即ZOAF=ZOAE,ZODF=ZOAE.AE/DF,同理可得：DE/AF.四邊形AEDF是平行四邊形，EO=OF又.YaEDF的對(duì)角線AD、EF互相垂直平分.YAEDF是菱形.3、如圖所示，在ABC中，ZBAC=90°,AD±BC于點(diǎn)D,CE平分ZACD,交AD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E,EF±BC于點(diǎn)F.求證：四邊形AEFG是菱形.D【思路點(diǎn)撥】由角平分線性質(zhì)易知AE=EF,欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFG是平行四邊形或AG=GF=AE即可.【答案與解析】證明：方法一：CE平分ZACB,ZBAC=90°,EF

8、77;BC,AE=EF,Z1+Z3=90°,A+Z2=90°.Z1=Z2,Z3=Z4.EF±BC,AD±BC,.二EF/AD.Z4=Z5.Z3=Z5.AE=AG.EFAG.四邊形AEFG是平行四邊形.又.AE=AG,四邊形AEFG是菱形.方法二：.CE平分ZACB,ZBAC=90°,EF±BC,AE=EF,Z1+Z3=90°,A+Z2=90°.Z3=Z4.EF±BC,AD±BC,EF/AD.Z4=Z5.Z3=Z5.AE=AG.在AAEG和AFEG中，AE=EF,Z3=Z4,EG=EG,ZAEG絲

9、AEG.AG=FG.AE=EF=FG=AG.四邊形AEFG是菱形.【總結(jié)升華】判定一個(gè)四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件.舉一反三：【變式】如圖所示，在YaBCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過A點(diǎn)作AG/DB交CB的延長線于點(diǎn)G.(1) 求證：de/bf；若ZG=90°，求證四邊形DEBF是菱形.【答案】證明：(1)YaBCD中，AB/cd,AB=cd-E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)11df=-dc,be=-ABdf/be.df=be四邊形debf為平行四邊形de/bf(2)證明：.AG/BDZG=ZDBC=90°紗bc為直角三角形

10、又F為邊CD的中點(diǎn).1-:.bf=-dc=df2又四邊形debf為平行四邊形四邊形debf是菱形類型三、菱形的應(yīng)用C4、如圖所示，是一種長0.3m，寬0.2m的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長4.2m,寬2.8m的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚.試問：(1) 這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊？(2) 全部貼滿后，這面墻壁會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)面積相同的菱形？【答案與解析】解：墻壁長4.2m，寬2.8m,矩形瓷磚長0.3m，寬0.2m,4.2+0.3=14,2.8+0.2=14,則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼

11、滿墻面.(1) 則至少需要這種瓷磚14X14=196(塊).13 每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱形，則共有196個(gè)白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半.另外在同一個(gè)頂點(diǎn)處的瓷磚能夠拼成一個(gè)淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚面積的一半，有花紋的菱形橫排有13個(gè)，豎排也有13個(gè)，則一共有淡黃色花紋菱形13X=169個(gè)，面積相等的菱形一共有196+169=365(個(gè)).【總結(jié)升華】菱形可以看作是由直角三角形組成的，因而鋪滿墻面后，要計(jì)算空白菱形的個(gè)數(shù)和陰影菱形的個(gè)數(shù).將相同的圖形拼在一起，在頂點(diǎn)周圍的幾個(gè)圖形也能拼成一定的圖案，不要忽略周圍圖形的拼接.1. 【鞏固練習(xí)】選擇題(2015?濰坊模擬)下列

12、說法中，錯(cuò)誤的是()A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊C.菱形的對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形2.順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是（）A.矩形B.平行四邊形C.菱形D.任意四邊形3.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF=2,那么菱形ABCD的周長是（）B.8D.16A.205.如圖，在菱形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，若ZBAC=50°,則咨于ABC)A.44. C.12如圖，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120。，則白ABC等于（）A.40°B.50°C.80AE

13、CF.若AB=3,貝UBC的長6.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形7. 為（）A.1B.2C.2D.3填空題已知菱形的周長為40cm,兩個(gè)相鄰角度數(shù)之比為1：2，則較長對(duì)角線的長為m.8. （2015?南充）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對(duì)角線AC長和BD長之比為L已知菱形ABCD兩對(duì)角線AC=8cm,BD=6cm，則菱形的高為.如圖，P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE±AB點(diǎn)E,PE=4cm，則點(diǎn)P到BC的距離是cm.9. 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,AC=10,過點(diǎn)D作DE/AC交BC的延長線于點(diǎn)E,則

14、BDE周長為.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,4）,貝UC點(diǎn)的坐標(biāo)為.13.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,E是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PB+PE的最小值是J3,求AB的值.14 .如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB,CD的中點(diǎn)，連接DE、BF、BD.若AD±BD,貝U四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.D7C(2015春？泰安校級(jí)期中)如圖，在中，ABCABC=90°BD為AC的中線，過點(diǎn)C作CE±BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取FG

15、=BD，連接BG、DF.(1)求證：BD=DF;(2) 求證：四邊形BDFG為菱形；(3) 若AG=13,CF=6，求四邊形BDFG的周長.1. 【答案與解析】選擇題【答案】D;【答案】C;【答案】D;【解析】BC=2EF=4,周長等于4BC=16.2. 【答案】B;【解析】.BCD=120°,./B=60°,果菱形,ABCDBA=BC,婀C三角形，故可得ABC長=3AB=15.3. 【答案】C;4. 【解析】.四邊形ABCD是菱形，./BAC1/BAD,CB/AD,BAC=50：£BAD=100°,.CB/AD,ABC+ZBAD=180°ZA

16、BC=180100°=80【答案】D;【解析】ZDAF=ZFAO=ZOAE=30°所以2BE=CE=AE,3BE=3,BC=V3BE=V3.5. 填空題【答案】10J3;【解析】由題意，菱形相鄰內(nèi)角為60。和120。，較長對(duì)角線為2J1025210/3.6. 【答案】1:Ml；【解析】如圖，設(shè)AC,BD相較于點(diǎn)O,.菱形ABCD的周長為8cm,AB=BC=2cm,高AE長為一一；cm,BE寸-&薩=1（cm），CE=BE=1cm,AC=AB=2cm,.OA=1cm,AC±BD,-0咐虹2-0巧（cm）,BD=2OB=2.cm,AC:BD=1:厄.9.【答案

17、】cm；5【解析】菱形的邊長為5,面積為一6824，則高為cm.2510. 【答案】4;【解析】在菱形ABCD中，BD是ZABC勺平分線，：PEJABE,PE=4cm,二點(diǎn)P到BC的距離=PE=4cm.11. 【答案】60;BE=2BC=26,BD的周長為12. 【解析】因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直及互相平分就可以在RtAO伸利用勾股定理求出OB=12,BD=2OB=24,DE=2OC=10,【答案】(3,4);【解析】過B點(diǎn)作BD±OA于D,過C點(diǎn)作CE±OA于E,BD=4,OA=X,AD=8一X,x28x242，解得X(3,4).解答題【解析】解：.ZABC=120°/BCD=ZBAD=60°菱形ABCD中，AB=AD心BD是等邊三角形；又.£是AB邊的中點(diǎn)，B關(guān)于連接DE,DE與AC交于P,DE的長就是PB+PE的最小值5,所以O(shè)E=AD=85=3,C點(diǎn)坐標(biāo)為AC的對(duì)稱點(diǎn)是D,DELABPB=PD;3；設(shè)AE=X,AD=2x,DE=J2xX3x/3，所以X1,AB=2x2.13. 【解析】四邊形BFDE是菱形，證明：AD±BD,ABD直角三角形，且AB是斜邊,.E為AB的中點(diǎn)，1DE=AB=BE,2.四邊形ABCD是平行四邊形，DC/AB,DC=AB,.F為DC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，DF