1菱形知識講解+練習(xí)

1、麥形（基礎(chǔ)）1. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.【要點梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）知識要點】要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件要點二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1. 菱形的四條邊都相等；2. 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖

2、形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分（2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種:1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3. 四條邊相等的四邊形是菱形.要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一

3、、菱形的性質(zhì)牝201調(diào)，魏ABCD中，E小為AD“的點，且AE=AF，連接EF并延長，交CB的延長線于點G,連接BD.(1)求證：四邊形EGBD是平行四邊形;(2)連接AG,若ZFGB=30GB=AE=1，求AG的長.【思路點撥】(1)連接AC,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EG/BD,根據(jù)對邊分別平行證明是平行四邊形即可.(2)過點A作AH±BC,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.【答案與解析】(1)證明：連接AC,如圖1:.四邊形ABCD是菱形，AC分ZDAB,曲以BD,.AF=AE,AC上EF,EG/BD.又.菱形ABCD中，ED/BG,四邊形EGBD是平行四邊形.(2)解：過點

4、A作AH±BC于H./FGB=30°,DBC=30°,.ZABH=2/DBC=60°,.GB=AE=1,AB=AD=2,在RtAB電ZAHB=90°,AH3,BH=1.GH=2,在RtAGHK根據(jù)勾股定理得，AG=J.關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及直角三ABCD中，點E是AB上的一點，連接DE交,則/CBO=度.【總結(jié)升華】本題考查了菱形性質(zhì)，角形的性質(zhì)解題.舉一反三：【變式1】(2015?溫州模擬)如圖，在菱形AC于點O，連接BO,且ZAED=50【答案】50;解：在菱形ABCD中,AB/CD,匕CDO=ZAED=50CD=CB，

5、/BCO=ZDCO,BCOADC。,C比CBZbco=Zdco,co=coBCOADCAS),.ZCBO=ZCDO=50【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）例1】【變式2】菱形ABCD中，ZA:ZB=1:5,若周長為8,則此菱形的高等于（）.A.1B.4C.1D.22【答案】C;提示：由題意，/A=30°,邊長為2,菱形的高等于一X2=1.2類型二、菱形的判定命5串一八出曰/_2、如圖所小，在ABC中，CD是ZACB的平分線，DE/AC,DF/BC，四邊形DECF是菱形嗎？試說明理由.【思路點撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE/AC,DF/BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由/1=Z

6、2=Z3得到鄰邊相等即可.【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：.DE/AC,DF/BC四邊形DECF是平行四邊形.CD平分ZACB,Z1=Z2.DF/BC,Z2=Z3,Z1=Z3.CF=DF,四邊形DECF是菱形.【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時，首先判定這個四邊形是平行四邊形，再由一對鄰邊相等來判定它是菱形.舉一反三：【變式】如圖所示，AD是MBC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于E,交AC于F,則四邊形AEDF是菱形嗎？請說明理由.BD【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：EF垂直平分AD,ZAOF與ADOF關(guān)于直線EF成軸對稱.ZODF=ZOA

7、F,又.AD平分ZBAC，即ZOAF=ZOAE,ZODF=ZOAE.AE/DF,同理可得：DE/AF.四邊形AEDF是平行四邊形，EO=OF又.YaEDF的對角線AD、EF互相垂直平分.YAEDF是菱形.3、如圖所示，在ABC中，ZBAC=90°,AD±BC于點D,CE平分ZACD,交AD于點G,交AB于點E,EF±BC于點F.求證：四邊形AEFG是菱形.D【思路點撥】由角平分線性質(zhì)易知AE=EF,欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFG是平行四邊形或AG=GF=AE即可.【答案與解析】證明：方法一：CE平分ZACB,ZBAC=90°,EF

8、77;BC,AE=EF,Z1+Z3=90°,A+Z2=90°.Z1=Z2,Z3=Z4.EF±BC,AD±BC,.二EF/AD.Z4=Z5.Z3=Z5.AE=AG.EFAG.四邊形AEFG是平行四邊形.又.AE=AG,四邊形AEFG是菱形.方法二：.CE平分ZACB,ZBAC=90°,EF±BC,AE=EF,Z1+Z3=90°,A+Z2=90°.Z3=Z4.EF±BC,AD±BC,EF/AD.Z4=Z5.Z3=Z5.AE=AG.在AAEG和AFEG中，AE=EF,Z3=Z4,EG=EG,ZAEG絲

9、AEG.AG=FG.AE=EF=FG=AG.四邊形AEFG是菱形.【總結(jié)升華】判定一個四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件.舉一反三：【變式】如圖所示，在YaBCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG/DB交CB的延長線于點G.(1) 求證：de/bf；若ZG=90°，求證四邊形DEBF是菱形.【答案】證明：(1)YaBCD中，AB/cd,AB=cd-E、F分別為AB、CD的中點11df=-dc,be=-ABdf/be.df=be四邊形debf為平行四邊形de/bf(2)證明：.AG/BDZG=ZDBC=90°紗bc為直角三角形

10、又F為邊CD的中點.1-:.bf=-dc=df2又四邊形debf為平行四邊形四邊形debf是菱形類型三、菱形的應(yīng)用C4、如圖所示，是一種長0.3m，寬0.2m的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長4.2m,寬2.8m的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚.試問：(1) 這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊？(2) 全部貼滿后，這面墻壁會出現(xiàn)多少個面積相同的菱形？【答案與解析】解：墻壁長4.2m，寬2.8m,矩形瓷磚長0.3m，寬0.2m,4.2+0.3=14,2.8+0.2=14,則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼

11、滿墻面.(1) 則至少需要這種瓷磚14X14=196(塊).13 每塊瓷磚中間有一個白色菱形，則共有196個白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半.另外在同一個頂點處的瓷磚能夠拼成一個淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚面積的一半，有花紋的菱形橫排有13個，豎排也有13個，則一共有淡黃色花紋菱形13X=169個，面積相等的菱形一共有196+169=365(個).【總結(jié)升華】菱形可以看作是由直角三角形組成的，因而鋪滿墻面后，要計算空白菱形的個數(shù)和陰影菱形的個數(shù).將相同的圖形拼在一起，在頂點周圍的幾個圖形也能拼成一定的圖案，不要忽略周圍圖形的拼接.1. 【鞏固練習(xí)】選擇題(2015?濰坊模擬)下列

12、說法中，錯誤的是()A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊C.菱形的對角線互相垂直D.對角線互相垂直的四邊形是菱形2.順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是（）A.矩形B.平行四邊形C.菱形D.任意四邊形3.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，如果EF=2,那么菱形ABCD的周長是（）B.8D.16A.205.如圖，在菱形ABCD中，AC、BD是對角線，若ZBAC=50°,則咨于ABC)A.44. C.12如圖，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120。，則白ABC等于（）A.40°B.50°C.80AE

13、CF.若AB=3,貝UBC的長6.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形7. 為（）A.1B.2C.2D.3填空題已知菱形的周長為40cm,兩個相鄰角度數(shù)之比為1：2，則較長對角線的長為m.8. （2015?南充）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為L已知菱形ABCD兩對角線AC=8cm,BD=6cm，則菱形的高為.如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PE±AB點E,PE=4cm，則點P到BC的距離是cm.9. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AB=13,AC=10,過點D作DE/AC交BC的延長線于點E,則

14、BDE周長為.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點B的坐標(biāo)為（8,4）,貝UC點的坐標(biāo)為.13.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,E是AB邊的中點，P是AC邊上一動點，PB+PE的最小值是J3,求AB的值.14 .如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB,CD的中點，連接DE、BF、BD.若AD±BD,貝U四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論.D7C(2015春？泰安校級期中)如圖，在中，ABCABC=90°BD為AC的中線，過點C作CE±BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG

15、=BD，連接BG、DF.(1)求證：BD=DF;(2) 求證：四邊形BDFG為菱形；(3) 若AG=13,CF=6，求四邊形BDFG的周長.1. 【答案與解析】選擇題【答案】D;【答案】C;【答案】D;【解析】BC=2EF=4,周長等于4BC=16.2. 【答案】B;【解析】.BCD=120°,./B=60°,果菱形,ABCDBA=BC,婀C三角形，故可得ABC長=3AB=15.3. 【答案】C;4. 【解析】.四邊形ABCD是菱形，./BAC1/BAD,CB/AD,BAC=50：£BAD=100°,.CB/AD,ABC+ZBAD=180°ZA

16、BC=180100°=80【答案】D;【解析】ZDAF=ZFAO=ZOAE=30°所以2BE=CE=AE,3BE=3,BC=V3BE=V3.5. 填空題【答案】10J3;【解析】由題意，菱形相鄰內(nèi)角為60。和120。，較長對角線為2J1025210/3.6. 【答案】1:Ml；【解析】如圖，設(shè)AC,BD相較于點O,.菱形ABCD的周長為8cm,AB=BC=2cm,高AE長為一一；cm,BE寸-&薩=1（cm），CE=BE=1cm,AC=AB=2cm,.OA=1cm,AC±BD,-0咐虹2-0巧（cm）,BD=2OB=2.cm,AC:BD=1:厄.9.【答案

17、】cm；5【解析】菱形的邊長為5,面積為一6824，則高為cm.2510. 【答案】4;【解析】在菱形ABCD中，BD是ZABC勺平分線，：PEJABE,PE=4cm,二點P到BC的距離=PE=4cm.11. 【答案】60;BE=2BC=26,BD的周長為12. 【解析】因為菱形的對角線互相垂直及互相平分就可以在RtAO伸利用勾股定理求出OB=12,BD=2OB=24,DE=2OC=10,【答案】(3,4);【解析】過B點作BD±OA于D,過C點作CE±OA于E,BD=4,OA=X,AD=8一X,x28x242，解得X(3,4).解答題【解析】解：.ZABC=120°/BCD=ZBAD=60°菱形ABCD中，AB=AD心BD是等邊三角形；又.£是AB邊的中點，B關(guān)于連接DE,DE與AC交于P,DE的長就是PB+PE的最小值5,所以O(shè)E=AD=85=3,C點坐標(biāo)為AC的對稱點是D,DELABPB=PD;3；設(shè)AE=X,AD=2x,DE=J2xX3x/3，所以X1,AB=2x2.13. 【解析】四邊形BFDE是菱形，證明：AD±BD,ABD直角三角形，且AB是斜邊,.E為AB的中點，1DE=AB=BE,2.四邊形ABCD是平行四邊形，DC/AB,DC=AB,.F為DC中點，E為AB中點，DF