2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)理數(shù)答案解析(正式版)(解析版)

1、高中數(shù)學學習材料金戈鐵騎整理制作2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學（理科）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁，時量120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.已知集合A=（1,2,3,B=（2,3,則A、A=BB、ACB=0C、A?BD、B?A【答案】D【解析試題分析ST2e.12eA,3;1AA故A、R、C均錯，。是正確的，選?？键c：集合的關(guān)系.在等差數(shù)列a中，若a2=4,84=2,則a6=A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6=2a4a2

2、=224=0，選B.考點：等差數(shù)列的性質(zhì).1 .重慶市2013年各月的平均氣溫（°C）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：089125800*3S|I2則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是A、19B、20C、21.5D、23【答案】B.【解析】試題分析：從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中間兩個數(shù)為20,故中位數(shù)為20,選B.考點：莖葉圖，中位數(shù).4.“x>1"是“l(fā)og1(x+2)<0"的2A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析*log:2)<0<=>x

3、+2>1<=>.y>-1因此遠B,考點：充分必要條件.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為31C、-+2覽3【答案】A2D、一+2覽【解析】試題分析：這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體,1)111V=-Hx1X2+-X(-XX1X2)x1=R十一，選2323A.考點：組合體的體積6.若非零向量a,b滿足|a|=2把|b|,且(a-b)3_1_(3a+2b),貝Ua與b的夾角為C、D、二nA、4【答案】A【解析】4H44電-1戒4242(a-b)<3a+2b)=3a-ab-2b=0,即3aal，bcosB-2b=0,所以試題分析：由題意3獨¥2-

4、半8SI=0,C°s8=f，。虧,選A.考點：向量的夾角.7.執(zhí)行如題(7)圖所示的程序框圖，若輸入A、s_'B、s-46K的值為8,則判斷框圖可填入的條件是.11C、s12.15D、s<24IT【答案】C【解析】試題分析.由程序框圖，*的值依次為0,2,義&S,因此S=-+-=(此時Jt=6)還必須計24612算一次，因此可填旦，選C12考點：程序框圖.8.已知直線l:x+ay-1=0(aR)是圓C：x2+y24x2y+1=0的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的一條切線，切點為B,則|AB|=A、2B、4豆C、6D、210【答案】C【解析】試題分析：圓C標準方

5、程為(x2)2+(y1)2=4，圓心為C(2,1)，半徑為r=2，因此2+ax11=0,a=1,即A(T,1),考點：直線與圓的位置關(guān)系一4.B9.右tana=2tan,5【解析】試題分析*cos(a曰已知，土sin(ctIAB=J|AC|2t2=J(42)2十(_1_1)2_4=6.選C.，3二、cos(:)10s”('一5)C、33t.,3,tcosacosfsinasin1010*K、了sinctcos-costzsin3,t,costailczsin1010TT-TT-Mtanc;cossin3/Ttb3<tcos_ratisin10510_7171.71.Lancos-

6、sin考點：兩角和與差的正弦(余弦)公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換/Tcas1022xy10.設雙曲線2=1(a>0,b>0)的右焦點為1,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分ab別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于a+Ja=+b2,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是A、(-1,0)u(0,1)B、(-O0,-1)u(1,+oO)C、(-龍，0)p(0,后d、(-co,-V2)p(V2,+co)【解析】b"b試題分析:由題意A(a,0),B(c,),C(c,)，由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設D(x,0),由BDJCaab2

7、b4b4ac食軍得c一x=,所以c一x=<a+Ja2+b2=a+c,所以b42-2-cab2、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡11.設復數(shù)a+bi(a,bR)的模為J3,則(a+bi)(a-bi)=【解析】試題分析：由a+bi=J3得Ja2+b2=73,即a2+b2=3,所以(a+bi)(a_bi)=a2+b2=3.a2=b2n烏<1n0<b<1,因此漸近線的斜率取值范圍是(1,0)U(0,1),選A.aa考點：雙曲線的性質(zhì).考點：復數(shù)的運算.12.X又亡I的展開式中x8的系數(shù)是(用數(shù)字作答).【解析】試題分析j二項展開式

8、通項為7；.1=偵）1（云）苛二（；）*</',令15_JS=8.解得k=J因c1、.。此寸的系數(shù)為（河",考點：二項式定理13.在LABC中，B=120o,AB=必，A的角平分線AD=焰，則AC=.【答案】6【解析】試題分析：由正弦定理得A%b=ad，即fDB=f0°，解得sinNADB=#,2ADB=45>從而NBAD=15'=NDAC，所以C=180°120。30'=30、AC=2ABcos30'=5/6.考點：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選兩題作答，若

9、三題全做，則按前兩題給分如圖，圓。的弦AB,CD相交于點E,過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1，貝UBE=.【解析】試題分析，首先由切割線定理得PPCPD.因此如二頊=1、CDFD-PC=9,又C£:£D-2:b因此CE=6,ED=3,再相交弦定理有AEEE=CE-ED,所以口匚CEED6x3-AE9考點：相交弦定理，切割線定理.已知直線l的參數(shù)方程為XI'（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，y=1t3二5二曲線C的極坐標萬程為P2cos2e=4（P0,*<e<）,則直線

10、l與曲線C的交點的極坐標為.【答案】（2,二）【解析】試題分析：直線l的普通方程為y=x+2，由P2cos26=4得P2（cos20sin2e）=4,直角坐標方程為22X2y2=4,把y=x+2代入雙曲線方程解得x=2,因此交點.為（2,0），其極坐標為（2,兀）.14. 考點：參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實數(shù)a=.【答案】a=4或a=-6【解析】試題分析：由絕對值的性質(zhì)知六對的最小值在x=-l或工二由時取得，苦/（1）=2|1-由|=私心二;或a=-經(jīng)檢驗均不合；若/（<?）=5*則|工+1|=5,=4

11、或。=-6*經(jīng)檢驗盲題意，因此a=4或女=-6.一考點：絕對值的性質(zhì)，分段函數(shù).三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（本小題滿分13分，（1）小問5分，（2）小問8分）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個。（1）求三種粽子各取到1個的概率；(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望1.一.一.3【答案】(1)-；(2)分布列見解析，期望為-.45【解析】試題分析：(1)本題屬于古典概型，從10個棕子中任取3個，基本事件的總數(shù)為C*,其中事件“三種

12、棕子各取i個”含基本事件的個數(shù)為c；c；c5,根據(jù)古典概型概率計算公式可計算得所求概率；(2)由于io個棕子中有2個豆沙棕，因此x的可能分別為0,1,2，同樣根據(jù)古典概型概率公式可得相應的概率，從而3列出其分布列，并根據(jù)期望公式求得期望為35試題解析：(1)令A表示事件“三個粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)=C2c3c51c*4'c；c；1(2)X的所有可能取值為0,1,2,且c37c!c?P(X=0)=-=-,P(X=1)=T=一，P(X=2)=T，c315c315c315101010綜上知，X的分布列為7713故E(X)=0?1?2?-.1515155考點：古

13、典概型，隨機變量的頒布列與數(shù)學期望.(本小題滿分13分，(1)小問7分，(2)小問6分)已知函數(shù)fx=sin-xsinx-3cos2x2(1) 求f(x)的最小正周期和最大值；.,：2二討論f(x沖-,上的單調(diào)性._63【答案】(1)最小正周期為p,最大值為;(2)f(x)在仁，攵上單調(diào)遞增；f(x)在攵，史上2612123單調(diào)遞減.【解析】試題分析,三角函數(shù)間題一般方法是把函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個角，一個函數(shù)，一被式，即為HNM&Y-G+t形式,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性腐求得結(jié)論，本題利用誘導公式，倍角公式，兩角差的正弦公式可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為(對=sinOx-I)-£，這樣根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可

14、得周期為7=年=最大值為1-土(2)n由已知條件得OGx-蘭WQ而正弦函數(shù)在0三和二初上分別是增函數(shù)和被函數(shù)，因此可得單322調(diào)區(qū)間./_/V試題解析工11?f(x)=sinxjsin.y/3cos"y=cosvsinx(1+coslx)=1sin2x-3(1+cos2x)=【sin2x-3cos2x-3=sin(2x-P)-32222232因此f(x)的最小正周期為p，最大值為232一二2二_二當xu,時，有02x苴兀，從而6335二當0<2xM一時，即一時，f(x)單調(diào)遞增，326125二2二當一壬2x壬冗時，即<x<時，f(x)單調(diào)遞減，23123,、，一，二

15、5二，、一、，.、，5二2二，、，、一、，.綜上可知，f(x)在,上單倜遞增；f(x)在,上單倜遞減.考點：三角函數(shù)的恒等變換，周期，最值，單調(diào)性.(本小題滿分13分，(1)小問4要，(2)小問9分)冗如題(19)圖，三棱錐PABC中，PC_L平面ABC,PC=3,NACB=.D,E分別為線段AB,BC2上的點，且CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)證明：DE_L平面PCD（2）求二面角APDC的余弦值。I)題（19）圖【答案】（1）證明見解析;【解析】試題分析:（1）要證線面垂直，就是亶證線線垂直，題中由PC-平面可知再分析已知由DC=C£=V2.CE=2得CD_DE,這樣與D

16、E垂直的兩條直線都已找到，M而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個平面角的大小，本題中，由于小。宜=匚yPC一平面.1BC,因此CA.CB:CP兩兩垂直，可以他們?yōu)閤rz軸建立空間直角坐標系，寫出圖中各點的坐標，求出平面一護和平面CE9的法瘋童有3,向童富云的表角與二面角相等或互詛由此可得結(jié)論.學科圈試題解析，（1）證明；由PC一平面ABC,DEz平面ABC,故PC.DE由CE=2,CD=DE=得ACDE為等腰直角三角形，故CD.LDE由PCnCD=GDE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE_平面PCD解：由（1）知，ACDE為等腰直角三角形，2DCE

17、=,如（19）圖，過點D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,由ZACB=蘭得DFAC,-DF=-FB=2>AC=-DF=-2,ACBC322以C為坐標原點,分別以CACB則C(0,0,0,),p(0,0,3),A(3,0,0),2E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),T1DP=(-1,-1,3)DA=(-,-1,0)設平面PAD的法向量ni=(x1,y1,z1),"d?=0,n#=0,_x-y-3z=0.I1故可取n1=(2,1,1).5X1_y=0cP的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系,(1)可知DE_L平面PC

18、D，故平面PCD的法向量n2可取為ED,即n2=(1,-1,0).從而法向量n1,n2的夾角的余弦值為cos"苦3故所求二面角A-PD-C的余弦值為.6考點：線面垂直，二面角.20.(本小題滿分12分，(1)小問7分，(2)小問5分)3x2ax設函數(shù)fx=xaRe(1)若f(x推x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)若f(x施Re)上為減函數(shù)，求a的取值范圍。9【答案】(1)a=0，切線萬程為3x-ey=0;(2)_Y,*c).2【解析】試題分析：本題考查求復合函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，由求導法則可得3x2(6-a)xaf&#

19、39;(x)=L，由已知得f'(0)=0,可得a=0，于是有f(x)=癸，f'(x)=一3x：6x,ee一3一3f(1)=3，f'(1)=3，由點斜式可得切線方程；(2)由題意f'(x)0在3,危)上恒成立，即g(x)=-3x2十(6a)x+a<0在3,e)上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可很快得結(jié)論，由6-a二T非彳七96待a*一.2g(3)3x2xo6xaef3xaxe-3x26-axa試題解析：對f(x)求導得f(x)=-I)因為f(x)在x=0處取得極值，所以f'(0)=0,即a=0.當"0時，/（工）=年/6=丑攔二故貝）=2/=%

20、從而，（對在點（L1（D）處的切線方程/e"ee為l一三二E（x-l）,化簡得3工一砂=0ee/se%-3x:+（6-a'lx+a心由：.l：得，廣（對=：令g（對-3x"+（6-a）x+a、卜心6一J'十366口十J疽*十36由g（x）=0,解得改=孑=.當x啜氣時.g（Y）。0做，（*）為調(diào)E函數(shù)：當而<x<x.時，g（x）>0,故?。üぃ猷岷瘮?shù)；當x>x;時，g（對t0：故/（工）為減函數(shù)；由八。在3mTc）上為減函數(shù)，知工：=6-”-必f6Q解得女丑一?629故a的取值范圍為-一：啊一考點：復合函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的極值，切線，

21、單調(diào)性.21.（本小題滿分12分，（1）小問5分,（2）小問7分）X2V2如題（21）圖，橢圓-2+=1>b>0）的左、右焦點分別為Fi,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩ab點，且PQ_PF1題"1)亳(1) 若PF1|=2+J2,PF2|=2J2,求橢圓的標準方程(2) 若PF1|=PQ，求橢圓的離心率e.【答案】(1)+y2=1;(2)阪-嫗4【解析】試題分析：H)本題中已知橢圓上的一點到兩焦點的距蔑，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數(shù)的值，而由PQ±PFV應用勾股定理可得焦距，即匚的值,因此方程易得?(2)要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于日，工的一個等式,

22、題中涉及到建點距離,因此我們?nèi)匀粦勉钾叶x,設|再|(zhì)=皿則|您|=2"熠,OF.=PO-PF.=m-(2a-m)=2m-2ar于是有QF=2a-QF:=4a-2mr這樣在R/APQR中求得w=2(2-y/2)ai在RtAPF中可建立關(guān)于久£的等式，從而求得離心率.試題分析sill由橢圓的定義，2=PF：-PF：=(2-很)-(A很)=4,故隊二2設描圓的半隹距為c由已知PF】_PF,因此2c=|F：F：|二/PF：曲PF：f二2+很)L(2-J5二出即B右,從而b=Jet'-二=1故所求橢圓的標誰方程為-+5=14(2)解法一：如圖(21)圖，設點P(Xo,y0)

23、在橢圓上，且PR_LPE,則22X0,y0.2,222+歹=1,Xo+yo=cab求得x0=±CJa22b2,y0=±.ac由|PR|=|PQ|>|PF2|,得X0>0,從而2C：:2_2|PE|=-捎-2b+ca官23/L_2=2a-bi，2a、a-2b?=a，、a-2b?由橢圓的定義，|PF|+|PF2|=2a,|QFi|+|QF2|=2a,從而由|Pg|=|PQ|=|PR|+|QF?|,有|QFi|=4a-2|PR|又由PR_LP5,|PFi|=|PQ|知|QF|=/2|P時,因此(2+T2)|PFi|=4a于是/2+.2)(a+1+-1I1一、L+V2；

24、j解得e=.2解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，|PF|+|PF2|=2a,|QF,|+|QF2|=2a而由|PR|=|PQ|=|PE|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|Pg|又由Pg_LPE,PR|=|PQ|知|QF|=72|Pg|,因此4a-2|PF|=V2|PF|,|PF|=2(2-四a,從而|PF|=2a-|PF|=2a-(2-72)a=2(72-1)a由PF._LPE,知|PF.|2+|PF2|2=|PF2|2=(2c)2=4c2,因此e=C=|彌|2+|理|=(2-、.2)2+(.2-1)2=.9-6.2=.6-.3考點：橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質(zhì).22.(本小題滿分12分，(1)小問4分，(2)小問8分)在數(shù)列l(wèi)a中，a=3,afan+#an+an2=0(nN+)(1)若九=0,卜=2，求數(shù)列Gn的通項公式;一一1.一1一1(2)右兀=一(ko亡N+ko芝2),P=-1,證明：2+<a、<2+k03k01k02k01【答案】(1)an=32n-；(2)證明見解析.【解析】試題分析！(1)由于z=0./=2j因此把已知等式具體化