高中數(shù)學(xué)必修⑤332《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：必修簡單的線性規(guī)劃問題三維目標(biāo)：1、 知識(shí)與技能（1）使學(xué)生進(jìn)一步了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；（2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決相關(guān)問題及一些簡單的實(shí)際問題。2、過程與方法（1）通過引導(dǎo)學(xué)生合作探究，將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題來解決，提高數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，可借助計(jì)算機(jī)的直觀演示可使教學(xué)更富趣味性和生動(dòng)性；（2）將實(shí)際問題中錯(cuò)綜復(fù)雜的條件列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件對學(xué)生而言既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，在此，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知、理解情況，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手建立數(shù)學(xué)模型，自我不斷體驗(yàn)、感受、總結(jié)；同時(shí)

2、，要給學(xué)生正確的示范，利用精確的圖形并結(jié)合推理計(jì)算求解3、情態(tài)與價(jià)值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、等與不等辯證的數(shù)學(xué)思想； (2) 通過對不等式知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識(shí)和合作精神；（3）通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。教學(xué)重點(diǎn)：（1）把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，即建立數(shù)學(xué)模型；（2）用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題。教

3、學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解（尤其是整數(shù)解的求解思想）教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面，我們學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）及其表示的區(qū)域并且體會(huì)到在實(shí)際問題中的應(yīng)用前景，感受到其重要性。下面，首先我們一起回顧一下這些知識(shí)和方法：幾個(gè)概念：1. 二元一次不等式.：我們把含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式.2. 二元一次不等式組.：我們把由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.3二元一次不等式組的解集：滿足二元一次不等式組的 x 和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合稱為

4、二元一次不等式組的解集.結(jié)論：1二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）而不等式表示區(qū)域時(shí)則包括邊界,把邊界畫成實(shí)線.2二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法：由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）在生活、生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排的等問題，如某工

5、廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？根據(jù)我們上節(jié)課所學(xué)知識(shí)，大家不難列出相應(yīng)的量的約束條件，但我們列出（或畫出）后，應(yīng)該要解決生產(chǎn)中的必需的問題，這就是我們今天要探究的問題二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究 ：【引領(lǐng)學(xué)生合作探究，通過上述問題的進(jìn)一步所求總結(jié)線性規(guī)劃問題】上面的問題應(yīng)該到達(dá)下面的位置：解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可的二元一次不等式組：（）將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域，如圖中陰影部

6、分的整點(diǎn)。XyO242468y=3X=4x+2y-8=0若繼續(xù)問：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？探究如下：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x乙產(chǎn)品y件時(shí)，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x、y滿足不等式（）并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是多少？ 變形：把這是斜率為；當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一組互相平行的直線；的平面區(qū)域內(nèi)有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使直線經(jīng)點(diǎn)P時(shí)截距最大； 平移：通過平移找到滿足上述條件的直線； 求解：找到給M（4，2）后，求出對應(yīng)的截距及z的值。由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，

7、2）時(shí)，截距的值最大，最大值為，這時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤14萬元?！疽I(lǐng)學(xué)生總結(jié)出線性規(guī)劃問題的相關(guān)概念】若，式中變量x、y滿足上面不等式組，則不等式組叫做變量x、y的，叫做；又因?yàn)檫@里的是關(guān)于變量x、y的一次解析式，所以又稱為。滿足線性約束條件的解叫做，由所有可行解組成的集合叫做可行域；其中使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的可行解叫做最優(yōu)解?！拘≡嚺５丁?求的最大值，使、滿足約束條件2. 求的最大值，使、滿足約束條件3、不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)為三、互動(dòng)達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：問題.1營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳

8、水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg?【分析】將已知數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07【解析】設(shè)每天食用kg食物A，kg食物B，總成本為，那么 化簡得目標(biāo)函數(shù)為 .作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.考慮，將它變形

9、為，這是斜率為、隨變化的一族平行線.是直線在軸上的截距，當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小.當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值.由上圖可見，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)時(shí)，截距最小，即最小.解方程組 得的坐標(biāo)為 ，.所以.答：每天食用食物A約143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元.【點(diǎn)評】線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實(shí)際問題列出表達(dá)約束條件的不等式，然后分析目標(biāo)函數(shù)中所求量的幾何意義，由數(shù)形結(jié)合思想求解問題. 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)

10、解.問題.2要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 鋼板類型 規(guī)格類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求。并求出各截這兩種鋼板多少張可得到所需A、B、C三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？【分析】解決問題1時(shí)是先將已知數(shù)據(jù)列成表，而此題已經(jīng)給出了表，根據(jù)此表直接列出約束條件既可【解析】設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，根據(jù)題意可得：作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（或打出投影片 B）,即可行域：目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，作出在一組平行

11、直線x+y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線x+3y=37和直線2x+y=15的交點(diǎn)A（），直線方程為x+y=.由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x、y必須滿足x，yZ，所以，可行域內(nèi)點(diǎn)()不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解.答：要截得所需規(guī)格的三種鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張，兩種方法都最少要截得兩種鋼板共12張.【點(diǎn)評】解題步驟

12、小結(jié)：先將數(shù)據(jù)整理列表, 分析各量之間的關(guān)系，進(jìn)一步確立變量和目標(biāo)函數(shù)分析約束條件并列出約束條件圖解法求解問題.3設(shè)，式中滿足下列條件： 求z的最大值和最小值?！痉治觥看朔N問題顯然是上面實(shí)際問題中的一個(gè)步驟，解決此題是為了進(jìn)一步讓學(xué)生鍛煉解決此種問題的方法和步驟【解析】讓學(xué)生自主作出此題并總結(jié)出簡明的步驟：【點(diǎn)評】簡明的步驟為： 指出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù) 畫出可行域的圖形 平移直線，在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解問題.4已知求的取值范圍?！痉治觥看祟}是先分別求出x、y范圍還是用和把表示出來，再進(jìn)一步求解同學(xué)們交流一下【解析】大家看下面兩種解法哪一種錯(cuò)了解法一：由已知可求出x和y的取值范圍：所以的取

13、值范圍為： 0 , 12 解法二：因所以，的取值范圍為： 2 ，10 【點(diǎn)評】經(jīng)過分析、探討解法一是錯(cuò)誤的，原因是：此處不是相互獨(dú)立的關(guān)系，而是由不等式組決定的相互制約關(guān)系，x取最大（?。┲禃r(shí)，y并不能同時(shí)取得最大（小）值；y取最大（?。┲禃r(shí)，x并不能同時(shí)取得最大（?。┲?；四、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）線性規(guī)劃的含義；（2）線性規(guī)劃的相關(guān)概念：目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。思想方法線：（1）建模思想方法；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想。題目線：（1）解決線性規(guī)劃的基本問題；（2）解決關(guān)于線性規(guī)劃的實(shí)際問題；（3）解決關(guān)于線性規(guī)劃的綜合問題。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：1. 已知

14、x，y滿足，則的最小值為2. 已知x，y滿足，則的取值范圍是3. 電視臺(tái)應(yīng)某企業(yè)制約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時(shí)間為80min，其中廣告時(shí)間為1min，收視觀眾為60萬，連續(xù)劇乙每次播放時(shí)間為40min，廣告時(shí)間為1min，收視觀眾為20萬，已知此企業(yè)與電視臺(tái)達(dá)成協(xié)議，要求電視臺(tái)每周至少播放6min廣告，而電視臺(tái)每周只能為該企業(yè)提供不多于320min的節(jié)目時(shí)間，如果你是電視臺(tái)的制片人，電視臺(tái)每周應(yīng)播映兩套連續(xù)劇各多少次，才能獲得最高的收視率？4 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)一車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝

15、酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元。那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？5. 求z=x-y的最大值和最小值，使式中的x，y滿足線性約束條件6. 中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,4),B(-1,0),C(1,0),點(diǎn)P（x，y）在的內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，則z=x-y的最大值是，最小值是。7. 已知，若，則的最小值是，最大值是?！咀鳂I(yè)】課本第93頁A組4，B組3【疑點(diǎn)答疑】典型錯(cuò)解剖析已知f(x)=a

16、x2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范圍?！惧e(cuò)解】由1f(-1)2,2f(1)4得(1)+(2),并同除以2，得（3）再由（1）得-2-a+b-1 (4)(2)+(4),并同除以2得0b (5)由（3），（5）得64a12,-3-2b034a-2b12,故3f(-2)12.【剖析】對于所求變量與已知量之間有依賴關(guān)系，即所求范圍的變量是非獨(dú)立的這類問題，學(xué)生一般都想從根據(jù)題設(shè)把所求量中的參數(shù)求出，再求出所求變量的范圍。由于這類問題量與量間的依賴性，因此該解法有時(shí)會(huì)擴(kuò)大（或縮?。┳兞康娜≈捣秶?。上述解答中，確定與0b是對的，但a,b不是相互獨(dú)立的量，不能在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)獨(dú)立取值（如當(dāng)a=2時(shí),b只能在 0,1內(nèi)取值；當(dāng)a=時(shí)，b只能?。?因此4a-2b的最大值不是12，最小值也不是3.顯然是忽視了a,b間的依賴關(guān)系誤選基本量而致錯(cuò)。【正解1】（基本量法）一個(gè)二次函數(shù)由三個(gè)獨(dú)立的條件確定，本題中的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,由于常數(shù)項(xiàng)已確定為0，故由兩個(gè)獨(dú)立條件即可確定?？梢元?dú)立選取的變量是f(-1)及f(1)，應(yīng)將f(-1)和f(1)作為基本量，將f(-2)用f(-1)及f(1)表示，才可求得正確結(jié)論。設(shè)f(-1)=u, f(1)=v,由已知得，解得，f(-2)=4a-2b=(2u+2v)-(v-u)=3u+v1