第十一章非參數檢驗

1、l假設檢驗的方法有兩種：假設檢驗的方法有兩種：（parametric test）和和（non parametric test）。l各種各種參數檢驗參數檢驗的的共同特點共同特點：l是對是對總體參數總體參數的推論的推論(包括參數估計與假設檢驗包括參數估計與假設檢驗)，要求樣本所屬的總體呈要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布、總體方差齊性正態(tài)分布、總體方差齊性等等。等等。主要適用于主要適用于變量和變量和變量的資料。變量的資料。l非參數檢驗非參數檢驗: :l不要求不要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布，樣本所屬的總體呈正態(tài)分布，一般也一般也不不是是對對總體參數總體參數進行檢驗。進行檢驗。l非參數檢驗不僅適用于非參數檢

2、驗不僅適用于非非正態(tài)總體正態(tài)總體名義變量名義變量和和次序變量次序變量的資料，而且也適用于正態(tài)總體的資料，而且也適用于正態(tài)總體等距等距變量變量和和比率變量比率變量的資料。的資料。 非參數檢驗的特點非參數檢驗的特點1一般一般不需要不需要嚴格的前提假設。嚴格的前提假設。2非參數檢驗特別適用于非參數檢驗特別適用于順序資料順序資料或或等級變量等級變量。3非參數檢驗適用于非參數檢驗適用于小樣本小樣本，且方法簡單。，且方法簡單。4非參數檢驗最大的不足是非參數檢驗最大的不足是未能充分利用資料未能充分利用資料 的全部信息的全部信息,檢驗精度比參數檢驗要差檢驗精度比參數檢驗要差。5非參數方法目前還不能處理非參數方

3、法目前還不能處理“交互作用交互作用”。 非參數假設檢驗方法非參數假設檢驗方法l兩兩獨立獨立樣本均值差異的非參數檢驗樣本均值差異的非參數檢驗l秩和檢驗法秩和檢驗法 (Mann-Whitney-U檢驗檢驗)l兩兩相關相關樣本均值差異的非參數檢驗樣本均值差異的非參數檢驗l符號檢驗法符號檢驗法l符號秩和檢驗法符號秩和檢驗法（ Wilcoxon SignedRank test ）l等級方差分析等級方差分析l克克-瓦氏單向方差分析瓦氏單向方差分析（完全隨機設計方差分析）（完全隨機設計方差分析）lFriedman test（重復測量設計方差分析）（重復測量設計方差分析）一、兩一、兩獨立獨立樣本的非參數檢驗樣

4、本的非參數檢驗 秩和檢驗（ Mann-Whitney-U檢驗檢驗）l最早是由最早是由Wilcox提出，后經提出，后經Mann-Whitney加以完善。加以完善。l適合于適合于相互獨立的兩個樣本相互獨立的兩個樣本在在總體分布不服從正態(tài)分布總體分布不服從正態(tài)分布的前提下，比較其平均值是否存在顯著差異的問題（對的前提下，比較其平均值是否存在顯著差異的問題（對應于應于獨立樣本獨立樣本T檢驗檢驗）。）。例：從某班隨機抽取5名走讀生和6名住校生，測得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？ 走讀生與住校生英語口語測驗成績走讀生走讀生4238354132住校生住校生561960433

5、855基本思想基本思想l假設兩組數據假設兩組數據沒有沒有顯著性差異，顯著性差異，l那把這些數據那把這些數據充分混合充分混合l再依再依大小順序大小順序重新排列，重新排列，l則這兩組數據中哪個數據排在第幾的概率應該是則這兩組數據中哪個數據排在第幾的概率應該是一樣的。一樣的。l如果如果相差太大相差太大則應則應否定否定沒有顯著差異的沒有顯著差異的假設假設。 n1 和和n2都小于都小于10，且，且n1n2 時，將兩個樣時，將兩個樣本的數據合在一起本的數據合在一起編秩次編秩次（從小到大從小到大賦予等賦予等級），計算級），計算容量小容量小的樣本的的樣本的秩次和秩次和T（等級和）（等級和）。 走讀生與住校生英

6、語口語測驗成績走讀生走讀生4238354132住校生住校生561960433855 學生英語口語測驗成績秩和檢驗計算表原始原始分數分數走讀生走讀生4238354132住校生住校生561960433855等級等級分數分數走讀生走讀生74.5362住校生住校生1011184.5922.5 檢驗步驟檢驗步驟 提出假設提出假設 編秩次編秩次（將兩樣本數據混合在一起）（將兩樣本數據混合在一起） 求秩和求秩和（求容量較小的樣本的秩次和，并表（求容量較小的樣本的秩次和，并表示為示為） 查秩和檢驗表查秩和檢驗表14，做出統(tǒng)計決斷：，做出統(tǒng)計決斷： 秩和檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則秩和檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則T與兩側臨界值比較與兩

7、側臨界值比較 顯著性顯著性 T1 2 不顯著不顯著 1或或 2顯顯 著著22.5 例：從某班隨機抽取5名走讀生和6名住校生，測得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？ 走讀生與住校生英語口語測驗成績走讀生走讀生4238354132住校生住校生561960433855 學生英語口語測驗成績秩和檢驗計算表原始原始分數分數走讀生走讀生4238354132住校生住校生561960433855等級等級分數分數走讀生走讀生74.5362住校生住校生1011184.5922.5 根據根據n15，n26查表查表當顯著性水平為當顯著性水平為0.05(雙側雙側)時，時，119 ，T241

8、差異差異不顯著不顯著。2 2大樣本情況大樣本情況 當當n1和和n2都大于都大于10，秩和，秩和T的分布接近于正的分布接近于正態(tài)分布，其平均數和標準差分別為：態(tài)分布，其平均數和標準差分別為： 21211nnnT1212121nnnnTn1n2檢驗統(tǒng)計量計算為檢驗統(tǒng)計量計算為TTTZ1212/12121211nnnnnnnT小結小結l秩和檢驗法秩和檢驗法（Mann-Whitney-U檢驗），針對檢驗），針對的是的是兩獨立樣本。兩獨立樣本。l如果樣本的數據不能滿足參數檢驗中獨立樣本如果樣本的數據不能滿足參數檢驗中獨立樣本t檢驗的要求（正態(tài)總體，方差未知），可以檢驗的要求（正態(tài)總體，方差未知），可以用

9、這種方法進行差異檢驗，但檢驗精度比參數用這種方法進行差異檢驗，但檢驗精度比參數檢驗要檢驗要差差。二、兩二、兩相關相關樣本的非參數檢驗樣本的非參數檢驗l兩兩相關相關樣本的數據是一一對應的成對數據，樣本的數據是一一對應的成對數據，因此相關樣本又稱為因此相關樣本又稱為配對配對樣本。樣本。l符號檢驗法符號檢驗法l符號秩和檢驗l又稱為又稱為Wilcoxon SignedRank test，也簡稱為也簡稱為Wilcoxon test。1 1符號符號檢驗法檢驗法符號檢驗法符號檢驗法（sign test）以每一對數據之差的以每一對數據之差的正負符號的數目進行檢驗。正負符號的數目進行檢驗。檢驗思想是：如果檢驗思

10、想是：如果兩樣本沒有顯著性差異，則兩樣本中每一對數兩樣本沒有顯著性差異，則兩樣本中每一對數據之差所得的正號與負號的數目應大致相當。據之差所得的正號與負號的數目應大致相當。實際應用中，遇到無法用數字描述的問題，實際應用中，遇到無法用數字描述的問題，符號檢驗法是一種簡單而有效的檢驗方法。符號檢驗法是一種簡單而有效的檢驗方法。 ：將三歲幼兒經過配對而成的實驗組施以五將三歲幼兒經過配對而成的實驗組施以五種顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期種顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期測驗得分見下表。問進行教學與不進行教學，幼測驗得分見下表。問進行教學與不進行教學，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？

11、兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？ 關于五種顏色命名得分的測驗結果序號序號12345678910 11 12實驗組實驗組X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19對照組對照組X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622小樣本情況小樣本情況(N25)(N25) 檢驗步驟提出假設提出假設觀察每一對數據的差數并記觀察每一對數據的差數并記符號符號分別將正號和負號的個數記為分別將正號和負號的個數記為n+和和n-，0不計。不計。將將n+和和n-較小的一個記為較小的一個記為r,并計算并計算Nn+n-確定檢驗形式，查表確定檢驗形式，查表15并做

12、出統(tǒng)計決斷，若并做出統(tǒng)計決斷，若r大于大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義。臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義。 單側符號檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則單側符號檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則r與臨界值比較與臨界值比較 P值值 顯著性顯著性 檢驗結果檢驗結果 r r 0.05 P0.05不顯著不顯著在在0.05顯著性水顯著性水平保留平保留H0，拒絕拒絕H1r 0.01 r r 0.050.05P0.01顯著顯著在在0.05顯著性水顯著性水平拒絕平拒絕H0，接受接受H1r r 0.01P0.01極其顯著極其顯著在在0.01顯著性水顯著性水平拒絕平拒絕H0，接受接受H1：將三歲幼兒經過配對而成的實驗組施以五將三歲幼兒經過配對而成

13、的實驗組施以五種顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期種顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期測驗得分見下表。問進行教學與不進行教學，幼測驗得分見下表。問進行教學與不進行教學，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？ 關于五種顏色命名得分的測驗結果序號序號12345678910 11 12實驗組實驗組X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19對照組對照組X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622 關于五種顏色命名得分的符號檢驗計算表序號序號12345678910 1112實驗組實驗組X X1

14、11820 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19對照組對照組X X2 21320 24 10 27 17 21815 11622差數符差數符號號+0+-+0+-+-計算計算：n+=7，n-=3，因此 N=n+n-=10，r=3查表：查表： N=10時，時，r0.05=1，本題，本題r=3，差異不顯著差異不顯著練習練習l研究者想調查特殊訓練是否可以提高領導力，取了兩組智力相當的被試進行匹配，其中一組進行特殊訓練，一組不進行訓練，問：受過特殊訓練的被試的領導力是否優(yōu)于沒有受過訓練的被試。組別組別實驗組實驗組控制組控制組14740243383364243325530296222

15、67251682118914810124115712931355計算計算：n+=9，n-=3，因此 N=n+n-=12，r=3查表：查表： N=12時，時，r0.05=2，本題，本題r=3，差異不顯著差異不顯著大樣本情況大樣本情況(N(N25)25)ln+與與n-服從二項分布，服從二項分布，大樣本時，由于二項大樣本時，由于二項分布接近于正態(tài)分布，可用作為檢驗統(tǒng)計量分布接近于正態(tài)分布，可用作為檢驗統(tǒng)計量，采用正態(tài)近似法，采用正態(tài)近似法。l附表中的數據雖然可滿足附表中的數據雖然可滿足N從從1到到90的情況，但的情況，但在實際應用中，在實際應用中，當當N25時時常常使用正態(tài)近似常常使用正態(tài)近似法。法

16、。在零假設條件下，二項分布的平均數和標準差分別為在零假設條件下，二項分布的平均數和標準差分別為 2Nnp 21: p假設22121NNNpqNn+n-l為了使計算結果更接近正態(tài)分布，可用校正公式為了使計算結果更接近正態(tài)分布，可用校正公式計算：計算： 22NNrnpqnprrZ225 . 0NNrZl統(tǒng)計量的計算公式為：統(tǒng)計量的計算公式為： 225 . 0NNrZNn+n-min(n+，n-)例2：32人的射擊小組經過三天集中訓練，訓練后與訓練前測驗成績見下表。問三天的集中訓練有無顯著效果？集訓前后成績序號序號前測前測 后測后測 序號序號 前測前測 后測后測 序號序號 前測前測 后測后測 序號序

17、號 前測前測 后測后測 142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計算計算ln+22，ln-9，lNn+n-31，lr9338. 231212319212NNrrZ16. 231212315 . 092125 . 0NNrZ2. 2. 符號符號等級等級檢驗（符號檢驗（符號秩和

18、秩和檢驗檢驗) ) （1）小樣本情況小樣本情況(N25)(N25) 當當N25時，用查表法進行符號等級檢驗時，用查表法進行符號等級檢驗:提出假設：提出假設：求求差數的絕對值差數的絕對值編秩次編秩次(賦予每一對數據差數的絕對值等級數賦予每一對數據差數的絕對值等級數)。添符號添符號(給每一對數據差數的等級分數添符號給每一對數據差數的等級分數添符號)求等級和求等級和（分正、負求等級和，（分正、負求等級和，將小的記為將小的記為）查符號等級檢驗表查符號等級檢驗表16，做出統(tǒng)計決斷，若，做出統(tǒng)計決斷，若T大于臨界大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義 。 符號等級檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則

19、符號等級檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則T與臨界值比較與臨界值比較 P值值 顯著性顯著性 檢驗結果檢驗結果 0.05 P0.05不顯著不顯著在在0.05顯著性水顯著性水平保留平保留H0，拒絕拒絕H10.01 0.050.05P0.01顯著顯著在在0.05顯著性水顯著性水平拒絕平拒絕H0，接受接受H1 0.01P0.01極其顯著極其顯著在在0.01顯著性水顯著性水平拒絕平拒絕H0，接受接受H1：將三歲幼兒經過將三歲幼兒經過配對配對而成的實驗組施以五種而成的實驗組施以五種顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期測顏色命名的教學，而對照組不施以教學，后期測驗得分見下表。問進行教學與不進行教學，幼兒驗得分見下表。問進

20、行教學與不進行教學，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？對顏色命名的成績是否有顯著差異？ 關于五種顏色命名得分的測驗結果序號序號12345678910 11 12實驗組實驗組X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19對照組對照組X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622關于五種顏色命名得分的符號檢驗計算表序號序號12345678910 11 12實驗組實驗組X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19對照組對照組X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622計算：計

21、算：T=47.5，T=7.5，因此因此 T=7.5查表查表16： N=10時時(差數為差數為0不計不計)，T0.05=8，差異顯著差異顯著差數差數5024280416143等級等級72.5 5.5 2.595.518104添符號添符號+練習練習l某年級隨機抽取英語成績相當的8名男生和8名女生分別進行一段時間的訓練，訓練后的成績如下表所示，該方法對男女生效果相同么？匹配組匹配組女生女生男生男生1141221310311104121251513610127131181514lN=7lT=23.5，T=4.5，因此因此 T=4.5l查表查表16： N=7時時(差數為差數為0不計不計)，T0.05=2

22、，差異不顯著差異不顯著（2 2）大樣本情況）大樣本情況(N(N25)25) 當當N25時，等級和的分布接近于正態(tài)分時，等級和的分布接近于正態(tài)分布，因此有布，因此有41NNT24121NNNTTTTZ1 / 412124TN NN NN例：32人的射擊小組經過三天集中訓練，訓練后與訓練前測驗成績見下表。問三天的集中訓練有無顯著效果？集訓前后成績計算表序號序號前測前測 后測后測 序號序號 前測前測 后測后測 序號序號 前測前測 后測后測 序號序號 前測前測 后測后測 142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751

23、444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計計 算算13. 2241312131314/131315 .139l+356.5 -139.5 因此因此,139.5，N311 / 412124TN NZN NNl符號檢驗、符號檢驗、符號等級檢驗法（符號等級檢驗法（ Wilcoxon SignedRank test ），針對的是，針對的是相關相關樣本。樣本。l如果樣本的數據如果樣本的數據不能滿足不能滿足參數檢驗

24、中相關樣參數檢驗中相關樣本本t檢驗的要求，可以用這兩種方法進行差異檢驗的要求，可以用這兩種方法進行差異檢驗，但檢驗精度比參數檢驗要檢驗，但檢驗精度比參數檢驗要差差。 小結小結三、等級方差分析三、等級方差分析 l方差分析方差分析l前提條件：前提條件：“總體正態(tài)總體正態(tài)”、“方差齊性方差齊性”、“獨立性獨立性”l數據類型：數據類型：連續(xù)型測量數據連續(xù)型測量數據l等級方差分析等級方差分析l克-瓦氏單向等級方差分析l弗里德曼雙向等級方差分析 1 1 克克- -瓦氏單向等級方差分析瓦氏單向等級方差分析又稱為克又稱為克-瓦氏檢驗法瓦氏檢驗法（Kruskal Wallis H）用于對用于對多組獨立樣本多組獨

25、立樣本進行分析，對應于參數進行分析，對應于參數檢驗法中的檢驗法中的完全隨機設計方差分析完全隨機設計方差分析。 例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？差異？ 三個小組圖畫成績計算表序號序號原始分數原始分數甲甲乙乙丙丙162458527760793687882454567657062合計合計55414基本分析過程：基本分析過程： l將多組樣本數據合在一起編將多組樣本數據合在一起編秩次秩次（從小到大賦（從小到大賦予等級）予等級）l計算各組樣本的計算各組樣本的等級和等級和il代入代入統(tǒng)計量公式統(tǒng)計量公式計算計算l查統(tǒng)計表查統(tǒng)計表17做出統(tǒng)

26、計結論做出統(tǒng)計結論 131122NnRNNHii統(tǒng)計量計算公式統(tǒng)計量計算公式為為公式中，公式中，N為各組頻數總和，為各組頻數總和， ni為各組樣本容量，為各組樣本容量， Ri為各組數據秩次和為各組數據秩次和 。 131122NnRNNHii統(tǒng)計決斷方法統(tǒng)計決斷方法 l當各組的容量當各組的容量n5，樣本組數，樣本組數k=3，可查，可查檢驗表檢驗表，根據相應的樣本容量找出概率值。，根據相應的樣本容量找出概率值。（p0.05時差異顯著）時差異顯著）例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？差異？ 三個小組圖畫成績計算表等級分數等級分數甲甲乙

27、乙丙丙5.5114104127111323985.5R1=32.5R2=24.5R3=48序號序號原始分數原始分數甲甲乙乙丙丙162458527760793687882454567657062合計合計55414計計 算算l根據根據k3，n15，n25，n34 查表判斷查表判斷131122NnRNNH114344855 .2455 .321141412222846. 6樣本容量較大或組數較多情況樣本容量較大或組數較多情況 l當各組容量當各組容量n5，或者樣本組數，或者樣本組數k3時，查自由時，查自由度度dfk1的的2分布表，進行統(tǒng)計決斷。分布表，進行統(tǒng)計決斷。 131122NnRNNHii2 2

28、弗里德曼雙向等級方差分析弗里德曼雙向等級方差分析 l弗里德曼雙向等級方差分析（弗里德曼雙向等級方差分析（Friedman test）用于）用于多組相關樣本多組相關樣本，是，是重復測量實驗設計重復測量實驗設計的非參數檢的非參數檢驗。驗?；痉治鲞^程：基本分析過程： l將每名被試（每一區(qū)組）的將每名被試（每一區(qū)組）的K個數據個數據從小到大從小到大排列出等級排列出等級l計算每種實驗處理計算每種實驗處理n個數據的等級和個數據的等級和l代入代入統(tǒng)計量公式統(tǒng)計量公式計算計算l查統(tǒng)計表查統(tǒng)計表18做出統(tǒng)計結論做出統(tǒng)計結論 l統(tǒng)計量計算公式為統(tǒng)計量計算公式為1311222knRknkr統(tǒng)計決斷方法統(tǒng)計決斷方法l當樣本容量當樣本容量n9，k3；或者；或者n4，k4時，時，可查檢驗表，根據相應的樣本容量找出概可查檢驗表，根據相應的樣本容量找出概率值。率值。 2r例：五位教師對甲、乙、