獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用1

1、問題問題: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊面包店買一塊1000g 的面包，并記的面包，并記錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為的均值為950g。于是龐加萊推斷這。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。家面包店的面包分量不足。 假設(shè)假設(shè)“面包分量足面包分量足”，則一年購買面包的質(zhì)量，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g ； “這個(gè)平均值不大于這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)是一個(gè)與假設(shè)“面包面包分量足分量足”矛盾的小概率事件；矛盾

2、的小概率事件； 這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。一一: :假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)叫做原假設(shè)，用叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，用用H1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中， 原假設(shè)原假設(shè)為：為： H0：面包分量足，：面包分量足，備擇假設(shè)備擇假設(shè)為為 H1：面包分量不足。：面包分量不足。這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為：這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：

3、面包分量不足二二: :求解假設(shè)檢驗(yàn)問題求解假設(shè)檢驗(yàn)問題考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題：考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足 在在H0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概矛盾的小概率事件；率事件； 如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路：求解思路：三三:二個(gè)概念二個(gè)概念這種變量的不同取這種變量的不同取“值值”表示個(gè)體所屬的不表示個(gè)體所屬的不同類別，這類變量稱為同類別，這類變量

4、稱為分類變量分類變量1.1.分類變量分類變量 對于性別變量，取值為：男、女對于性別變量，取值為：男、女 分類變量分類變量在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的，如是在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，出生月份等等。出生月份等等。利用隨機(jī)變量利用隨機(jī)變量K K2 2來確定在多大程度上可以認(rèn)為來確定在多大程度上可以認(rèn)為”兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為的方法稱為兩個(gè)分類變兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)量的獨(dú)立性檢驗(yàn).(.(為假設(shè)檢驗(yàn)的特例為假設(shè)檢驗(yàn)的特例) ) 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)

5、總計(jì)不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計(jì)總計(jì)98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大吸煙者患肺癌的可能性大0.54%0.5

6、4%2.28%2.28%1)通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：三維柱三維柱狀圖狀圖2) 通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：二維條二維條形圖形圖3)通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例 獨(dú)立性檢驗(yàn)H H0 0： 吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 H H1 1： 吸煙吸煙和和患患肺癌肺癌之間有關(guān)系之間有關(guān)系通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠結(jié)論的

7、可靠程度如何？程度如何？ 用用 A A 表示表示“不吸煙不吸煙”， B B 表示表示“不患肺癌不患肺癌”則則 H0： 吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系 “吸煙吸煙”與與“患肺癌患肺癌”獨(dú)立獨(dú)立, ,即即A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立P P( (A AB B) )= = P P( (A A) )P P( (B B) )等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙a ab ba+ba+b吸煙吸煙c cd dc+dc+d總計(jì)總計(jì)a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+da a + + b ba a + + c ca aP P( (A A) )

8、, ,P P( (B B) ), ,P P( (A AB B) )n nn nn n其其 中中 n n = = a a + + b b + + c c + + d dacac,a+bc+da+bc+d a a c c+ +d d c c a a+ +b b , ,adbcaa+ba+caa+ba+cnnnnnn2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) ) 獨(dú)立性檢驗(yàn)0.adbca ad d- -b bc c 越越小小，說說明明吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌之之

9、間間的的關(guān)關(guān)系系越越弱弱，ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)引入一個(gè)隨機(jī)變量引入一個(gè)隨機(jī)變量作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量兩個(gè)變量有關(guān)系有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn) 。1)1)如果如果P(P(m10.828)= 0.00110.828)= 0.001表示有表示有99.9%99.9%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)有關(guān)系系; ;2)2)如果如果P(m7.879)= 0.005P(m7.879)= 0.005表示有表示有99.5%99.5%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;

10、3)3)如果如果P(m6.635)= 0.01P(m6.635)= 0.01表示有表示有99%99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;4)4)如果如果P(m5.024)= 0.025P(m5.024)= 0.025表示有表示有97.5%97.5%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;5)5)如果如果P(m3.841)= 0.05P(m3.841)= 0.05表示有表示有95%95%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;6)6)如果如果P(m2.706)= 0.010P(m2.706)= 0.010表示有表示有90%90%的把握認(rèn)為

11、的把握認(rèn)為”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;7)7)如果如果m m2.706),2.706),就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示”X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;設(shè)有兩個(gè)分類變量設(shè)有兩個(gè)分類變量X X和和Y Y它們的值域分別為它們的值域分別為xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2 其樣本頻數(shù)列表其樣本頻數(shù)列表( (稱為稱為2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表) ) 為為y y1 1y y2 2總計(jì)總計(jì)x x1 1a ab ba+ba+bx x2 2c cd dc+dc+d總計(jì)總計(jì)a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d22列聯(lián)表22()()()()n ad

12、 bcKa b c d a c b d（）2 2P(k m)P(k m)適用觀測數(shù)據(jù)適用觀測數(shù)據(jù)a a、b b、c c、d d不小于不小于5 5 獨(dú)立性檢驗(yàn) 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計(jì)總計(jì)9874919965通過公式計(jì)算通過公式計(jì)算2242 209956.6327817 2148 9874 91K9965(7775 49） 獨(dú)立性檢驗(yàn)已知在已知在 成立的情況下，成立的情況下，0H2(6.635)0.01P K 即在即在 成立的情況下，成立的情況下，K K2 2 大于大于6.6356.635

13、概率非常概率非常小，近似為小，近似為0.010.010H現(xiàn)在的現(xiàn)在的K K2 2=56.632=56.632的觀測值遠(yuǎn)大于的觀測值遠(yuǎn)大于6.6356.635分類變量之間關(guān)系條形圖柱形圖列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)背景分析例例1.1.在某醫(yī)院在某醫(yī)院, ,因?yàn)榛夹呐K病而住院的因?yàn)榛夹呐K病而住院的665665名男性病人中名男性病人中, ,有有214214人禿頂人禿頂, ,而另外而另外772772名名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175175人禿頂人禿頂. .分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷是否有關(guān)法判斷是否有關(guān)? ?你所得的結(jié)論在什么范圍你所

14、得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效內(nèi)有效? ?例例2 2. .為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系課程之間的關(guān)系, ,在某城市的某校高中生在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取300300名學(xué)生名學(xué)生, ,得到如下列聯(lián)表得到如下列聯(lián)表: : 性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學(xué)課程喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程 總計(jì)總計(jì) 男男 37 37 85 85 122 122 女女 35 35 143 143 178 178 總計(jì)總計(jì) 72 72 228 228 300 300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得 , ,高中生的高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間是否有關(guān)系性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間是否有關(guān)系? ?為什么為什么? ?2 2K K 4 4. .5 51 13 3acdb解解:P:P111111獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似反證法反證法( (1)1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”. .(2)(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量在此假設(shè)下隨機(jī)變量 K K2 2 應(yīng)該很能小應(yīng)該很能小, ,如果由觀測數(shù)據(jù)如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到計(jì)算