立體幾何提高訓(xùn)練題.

1、立體幾何提高訓(xùn)練選擇題1、異面直線a， b 成 80°角， P 為 a， b 外的一個定點，若過P 有且僅有2 條直線與a， b所成的角相等且等于，則角屬于集合（B）A |0° <<40° C |40° <<90 ° B |40° < <50° D |50° < <90° 2、已知長方體 ABCDA1 B1C1D1中 ， AA1AB 2 ，若棱 AB 上存在點 P，使 D1PPC ，則棱 AD 的取值范圍是（ A ）A. 01，B、0 2C. 02D.1 2

2、填空題3、為兩個不同平面， m，n 是平面，外的兩條不同直線，給出下面四個結(jié)論： m/n； m/； n，以其中三個為條件，另一個為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題。（按 形式寫）或4、 .已知 A ， B，C， D 為同一球面上的四點，且連接每兩點的線段長都等于2，則球心到平面 BCD 的距離等于14解答題5、.在棱長為a 的正方體OABC O'A'B'C' 中，E、F 分別是棱AB 、BC 上的動點， 且 AE=BF.（1）求證： A'F C'E；（2）當(dāng)三棱錐 B' BEF的體積取得最大值時， 求二面角 B' EFB 的大小 .

3、 （結(jié)果用反三角函數(shù)表示）O'C'B "A 'OCFAEB解：） 證明 如圖，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè) AE BF x，則A(a， 0，a)、 F(a x， a， 0)、 C(0， a，a)、 E(a， x， 0)A'F x, a,a, C'E a, xa,a.''()20,A F C Exaa xaa AF CE.（） 解 記 BF=x ，BE y，則x+y=a，三棱錐 B BEF 的體積1 xya2Vax y1 a 3 ,66224當(dāng)且僅當(dāng) xya時，等號成立。2a .因此，三棱錐B BEF 的體積取得最大值時，

4、 BE BF2過 作 BD EF 交 EF 于 D，連 BD，可知 BD EF. BDB 是二面角B EF B 的平面角。在直角三角形BEF 中，直角邊 BEBFa , BD 是斜邊上的高，2BD2 a,4tgB'DBB' B2 2,BD故二面角 BEF B 的大小為 arctg 22.6、如圖，四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面 PDC 是邊長為2 的正三角形，且與底面垂直，底面是以 ADC 為銳角的菱形。（ 1）試問：當(dāng) ADC 為多大時，有PA CD ；（ 2）當(dāng) PA CD 時，求面PAB 與面 PCD 所成角的大小。解 :（ 1）如圖，過 P 作 PH CD于 H，平面 P

5、CD 平面 ABCD PH平面 ABCD。 AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影，又 PC=PD H為CD中點，當(dāng)ADC60 時，ACD 為正三角形， AH CD，又 PH平面 ABCD PACD（ 2）過 P 作直線 l / CDAPCDAPl 。PH l 。 APH 為所求二面角的平面角又 PHA 為等腰直角三角形， APH 457、 如圖，在長方體 ABCD A 1B1C1D1，中， AD=AA 1=1，AB=2 ，點 E 在棱 AB 上移動。（1）證明： D EA D；11D1C1（ 2）當(dāng) E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 1 的距離；B1A1（ 3） AE 等于

6、何值時，二面角 D1ECD 的大小為。解法（一）4DCAEB（ 1）證明： AE平面 AA 1DD 1，A 1DAD 1，A 1DD1 E（ 2）設(shè)點 E 到面 ACD 1 的距離為 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1= 5 ，AD 1= 2 ，故 S AD1C12 513,而S ACE1AE BC1 .22222VD11S AEC DD11131AEC3S AD1 C h,21h, h.323 A 1（ 3）過 D 作 DHCE 于 H，連 D1H、DE，則 D1HCE， DHD 1 為二面角 D1ECD 的平面角 . 設(shè) AE=x，則BE=2 xA在 Rt D1DH 中,DHD 1,

7、DH 1.4在 Rt ADE 中, DE1x 2 ,在 Rt DHE 中, EH x,D1C1 B 1DCHEB在中3,在中x24x 5.Rt DHC CHRt CBE CEx 3x2時二面角D1EC D的大小為.4x 5 x 2 3. AE 2 3 ,4解法（二）：以 D 為坐標(biāo)原點，直線DA ， DC，DD 1 分別為 x,y,z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AE=x，則 A 1（ ， ），1（，），（， ），（ ，1 01 D0 0 1 E 1 x0 A10，0）C（0，2，0）（1）因為DA1, D1E(1,0,1), (1, x, 1)0,所以 DA1D1E.（ 2）因為 E 為 A

8、B 的中點，則 E（1，1，0），zC 1(1,1,1), AC ( 1,2,0)D1從而 D1E，AD1 (1,0,1)，A 1B 1nAC0,D oy設(shè)平面 ACD 1 的法向量為 n (a, b,c) ，則CnAD10,AEBx也即a2b0 ，得 a2b ，從而 n(2,1,2) ，所以點 E 到平面 AD 1C 的距離ac0ac為| D1En |2 121h| n |3.3（ 3）設(shè)平面D1EC的法向量n ( a, b, c)， CE (1, x2,0), D1C (0,2,1), DD 1(0,0,1),nD1C0,2bc0令 b=1,c=2,a=2 x， n (2x,1,2).由C

9、E0,ab( x 2)0.n依題意cos| n DD1 |222 . x123 （不合，舍去），4| n | | DD1 |2( x 2) 252x2 23 . AE=23 時，二面角1。D EC D 的大小為48、如圖，在幾何體 ABCDE 中， ABC 是等腰直角三角形， ABC=90 °， BE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，且 BE=AB=2 ，CD=1 ，點 F 是 AE 的中點 .（ I）證明： DF平面 ABC ；（ II ）求 AB 與平面 BDF 所成角的大小 .（I ）證明：取AB 的中點G，連 CG， GF，則1GF/BE ，且GF=BE ， GF/CD ，

10、且GF=CD.2四邊形FGCD是平行四邊形. DF/CG.又 CG平面ABC ， DF平面ABC ， DF/平面 ABC.（ II ）解法一：設(shè) A 到平面 BDF 的距離為 h，由VA BDFS ABF CBVD ABF 得hS BDF在BDF中3,又S ABF1S ABE且, BF2, BD DF5, S BDF21, CB 2.2h1 243.32又設(shè) AB 與平面 BDF 所成的角為，h42sin3AB23故 AB 與平面2BDF 所成角為 arcsin3解法二：以點B 為原點， BA 、 BC 、 BE 所在直線為分別為x 、 y 、 z 軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則B（ 0，0

11、，0），A（ 2，0， 0）， C（ 0，2， 0）， D（ 0， 2， 1）， E（ 0， 0，2）， F（ 1， 0， 1），BD(0, 2,1) , DF(1, 2,0)設(shè)平面 BDF 的一個法向量為n(2, a, b)n DF , n BD n DF 0a1n BD 0，得n (2,1, 2)b2又設(shè) AB 與平面 BDF 所成的角為，則法向量 n 與 BA 所成角為2cos()BA n222BA n，即 sin，故 AB 與平面 BDF 所成角為 arcsin3233作業(yè)：1、下列命題正確的是（D）A 直線 a， b 與直線 l 所成角相等，則a/bB 直線 a， b 與平面成相等角

12、，則a/bC平面，與平面所成角均為直二面角，則/D 直線 a， b 在平面外，且a， a b，則 b/ 2 、 木星的體積約是地球體積的24030 倍，則它的表面積約是地球表面積的（C）。A60 倍B 6030 倍C120 倍D 12030 倍3、如圖，在三棱錐PABC中， PA=PB=PC=BC，且BAC，則PA 與底面ABC所成角2為。PABC4、己知 m, l 是直線，,是平面，給出下列命題：若 l 垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則l；若 l 平行于，則 l 平行于內(nèi)的所有直線；若 m, l, 且 lm , 則；若 l, 且 l, 則；若 m, l, 且/, 則 m / l 。其中正確命題的序

13、號是. （注把你認(rèn)為正確的序號都填上）5、正四棱錐S ABCD 中，所有棱長都是2， P 為 SA 的中點，如圖（ 1）求二面角 B SC D 的大?。唬?2）如果點 Q 在棱 SC 上，那么直線 BQ 與 PD 能否垂直？請說明理由解：（1）取 SC 的中點 E ，連結(jié) BE ，DESCB與SCD 是正角形BESC, DESC故 BED 是二面角 B SC D 的平面角 ,在 BED 中, cos BEDBE 2DE 2BD 23 3 812BEDE63BED1arccos3故二面角 BSCD 的大小為arccos 13(2)設(shè) ACBD 0,以射線 OA ,OB, OS分別為 ox,oy,

14、oz軸建立空間坐標(biāo)系設(shè)CQx, (如圖 ), 則B(0,2,0), D (0,2,0)P( 2 ,0,2),Q(2 x2,0,2 x)2222DP(2 ,2, 2),BQ(2 x2, 2,3 x)2222DPBQx 30(x0,2)BQ 與 PD 不可能垂直 .6、如圖，在三棱柱ABC A 1B 1C1 中， AB 側(cè)面 BB 1C1C，E 為棱 CC1 上異于 C、C1 的一點， EA EB1，已知 AB=2 ，BB 1=2，BC=1 ， BCC 1=，求：（）異面直線AB 與 EB1 的距離；3（）二面角A EB1 A 1 的平面角的正切值。.解：（ I）以 B 為原點， BB1 、 BA 分別為 y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 .由于 BC=1 ， BB 1=2，AB=2 ， BCC1= ，3在三棱柱 ABC A 1B 1C1 中有B（ 0，0，0），A（ 0，0， 2），B1（ 0， 2，0）， C( 3 ,1 ,0),C1 (3,