材料力學第五章,彎曲內力

1、5-5 5-5 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖第五章第五章 梁的內力梁的內力5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一、彎曲實例一、彎曲實例工廠廠房的天車大梁：工廠廠房的天車大梁：5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例FF火車的輪軸：火車的輪軸：FFFF樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽臺的挑梁：陽臺的挑梁：二、彎曲的概念：二、彎曲的概念：受

2、力特點受力特點作用于桿件上的作用于桿件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線。變形特點變形特點桿軸線由桿軸線由直線直線變?yōu)橐粭l平面的變?yōu)橐粭l平面的曲線曲線。 主要產(chǎn)生彎曲變形的桿主要產(chǎn)生彎曲變形的桿- - 梁梁。三、平面彎曲的概念：三、平面彎曲的概念：qPMARBN受力特點受力特點作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在 梁的縱向對稱平面內（通過或平行形心主軸上且過梁的縱向對稱平面內（通過或平行形心主軸上且過 彎曲中心）彎曲中心）。變形特點變形特點桿的軸線在梁的縱向對稱面內由直線變?yōu)橐粭l平桿的軸線在梁的縱向對稱面內由直線變?yōu)橐粭l平 面曲線。面曲

3、線。縱向對稱面縱向對稱面MF1F2q平面彎曲平面彎曲5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1 1、懸臂梁：、懸臂梁：2 2、簡支梁：、簡支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L稱為梁的跨長）稱為梁的跨長）一、彎曲內力的確定（截面法）：一、彎曲內力的確定（截面法）：例例已知：如圖，已知：如圖，F(xiàn)，a，l。 求：距求：距A端端 x 處截面上內力。處截面上內力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）0 , 0AXFXFAX =0 以后可省略不求以后可

4、省略不求0 , 0FalFmBYA0F , 0BYAYFFYlalFlFaFAYBY)(F ,5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程ABFFAYFAXFBYmmx求內力求內力FsMMFs 彎曲構件內力：彎曲構件內力：剪力，剪力，彎矩。彎矩。FAYACFBYFClalFFFAY)( s , 0Y. 0sAYFFxlalFxFMAY)( , 0Cm. 0 xFMAY研究對象：研究對象：m - m 截面的左段：截面的左段：若研究對象取若研究對象取m - m 截面的右段：截面的右段： , 0Y. 0BYsFFF , 0Cm. 0)()(MxaFxlFBY,)(lalFFsxlalFM)(

5、 sFMABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1. 彎矩：彎矩：M 構件受彎時，橫截面上構件受彎時，橫截面上存在垂直于截面的內力偶矩存在垂直于截面的內力偶矩（彎矩）。（彎矩）。AFAYCFBYFC2. 剪力：剪力： Fs 構件受彎時，橫截面上存在構件受彎時，橫截面上存在平行于截面的內力（剪力）。平行于截面的內力（剪力）。二、彎曲內力的正負號規(guī)定二、彎曲內力的正負號規(guī)定: : 剪力剪力Fs : : 彎矩彎矩M：Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()M(+)M(+)M()M()1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例 ：梁梁1-11-1、2-22-2截面處的內

6、力。截面處的內力。解解：（：（1）確定支座反力）確定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA8 . 01AsRF(2) 1(2) 1-1-1截面左段右側截面截面左段右側截面：065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0ABRM5 . 08 . 021ARM8 . 05 . 1)(7 . 0kN5 . 08 . 025 . 1)(6 . 2mkN 2 2-2-2截面右段左側截面：截面右段左側截面：9 . 25 . 12 . 12sF)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12 .

7、15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA1sF1M8 . 02sF2MBRq三、剪力方程、彎矩方程三、剪力方程、彎矩方程： 注意注意： 不能用一個函數(shù)表不能用一個函數(shù)表達的要分段，分段點為：達的要分段，分段點為：集中力集中力作用點、集中力偶作用點、分布作用點、集中力偶作用點、分布力的起點、終點。力的起點、終點。)(SSxFF 剪力方程剪力方程)(xMM 彎矩方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式矩隨截面位置變化的函數(shù)式 顯示剪力和彎矩隨截面位移的顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力剪力圖圖和和彎矩

8、圖彎矩圖。LqAB,)(qxxFs,21)(2qxxM)0(lx )0(lx xsFx( (- -) )Mxql25 . 0 qlF(x)xFFFxFAYs)(解解：求支反力求支反力)( )(LxFMxFxMAAY寫出內力方程寫出內力方程FL MFFAAY ; 根據(jù)方程畫內力圖根據(jù)方程畫內力圖 例例 列出梁內力方程并畫出內力圖。列出梁內力方程并畫出內力圖。FAB)0(lx )0(lx FAYMALxxM(x)FL注意：彎矩圖中正的彎矩值注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在繪在x x軸的下方軸的下方( (即彎矩值繪即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側在彎曲時梁的受拉側) )。例例 圖示簡支梁受集度為圖示簡支梁受

9、集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2SBlAq* 載荷對稱、結構對稱則剪力圖反對稱，彎矩圖對稱* 剪力為零的截面彎矩有極值。例例 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖作

10、用。試作梁的剪力圖和彎矩圖和彎矩圖。解：解：1、求支反力求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abCFS FblxFblMxFabl為極大值。為極大值。時，

11、時，42/maxFlMlba* 在 集中力F 作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大?。粡澗貓D有轉折xlAF abC例例 圖示簡支梁在圖示簡支梁在C點受矩為點受矩為Me 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。作梁的剪力圖和彎矩圖。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe 0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：剪力方程無需分段： lxlMFxFA0eS彎矩方程彎矩方程兩段：兩段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBxAFAM(x

12、)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖ba時時lbMMemax lMxFeS發(fā)生在發(fā)生在C截面右側截面右側FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用點處剪力圖無影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、寫出內力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 畫出梁的內力圖。),.(2)(111mk

13、NxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY3、根據(jù)方程畫內力圖1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一、一、 剪力

14、、彎矩與分布荷載間的關系剪力、彎矩與分布荷載間的關系1 1、支反力：、支反力：2qlFFBYAYLqFAyFBy2 2、內力方程、內力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、討論如下、討論如下qxqldxxdM21)(qdxxdFs)(x),(xFs)(xqsFMARA對對dx 段進行平衡分析，有：段進行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxqdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFdds 剪力圖上某點處的切線剪力圖上某點處的切線斜

15、率等于該點處荷載集度的大斜率等于該點處荷載集度的大小。小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs 彎矩圖上某點處的切彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的線斜率等于該點處剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxMxxFxMxMsFs(x)+dFs (x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的微分關系的微分關系二、微分關系的應用二、微分關系的應用-作作Fs 圖和圖和 M 圖（用于定形）圖（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x)

16、= = 常數(shù)時常數(shù)時1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0時時 （無分布載荷）（無分布載荷）Fs 圖：圖：M圖：圖： CxFxqxxFs)(0ddsDCxxMCxFxxMs)()(d)(d CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM 剪力圖為一條剪力圖為一條水平線水平線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條斜直線斜直線。剪力圖為一條剪力圖為一條斜直線斜直線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條二次曲線二次曲線。（1 1）當分布力的方向向上時）當分布力的方向向上時, 0q剪力圖為剪力圖為斜向上斜向上的

17、斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為上凸上凸的二次曲線。的二次曲線。 CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d（2 2）當分布力的方向向下時）當分布力的方向向下時Fs圖：圖：M圖：圖：M(x), 0q剪力圖為剪力圖為斜向下斜向下的斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為下凸下凸的二次曲線。的二次曲線。Fs圖：圖：M圖：圖：M(x)控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。三、簡易法作內力圖：三、簡易法作內力圖： 利用微分關系定形，利用特殊點的內力值來定值利用微分關系定形，利用特殊點的內

18、力值來定值 利用積分關系定值利用積分關系定值 基本步驟： 1、確定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分規(guī)律判斷梁各段內力圖的形狀； 4、確定控制點內力的數(shù)值大小及正負； 5、畫內力圖。利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系定值定值 212121)()()()()(dd1s2ssssxxxxQQdxxqFFdxxqxdFdxxqxdFxqxxF 212121)()()()()(dd12xxsxxsMMssdxxFMMdxxFxdMdxxFxdMxFxxM 梁上任意兩截面的剪力梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖所包差等于兩截面間載荷圖所包圍的面積

19、圍的面積 梁上任意兩截面的彎矩梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所包差等于兩截面間剪力圖所包圍的面積圍的面積積分關系積分關系: : 例例 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。左端點：剪力圖有突變，突變值左端點：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、確定支反力（可省略）、確定支反力（可省略）AB：BC：2、畫內力圖、畫內力圖Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；,

20、0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFBsMqa2(Fs 0, 所以所以Fs圖向正方向斜圖向正方向斜)( 積分關系積分關系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例畫組合梁的剪力與彎矩圖畫組合梁的剪力與彎矩圖組合梁組合梁, ,需拆開需拆開, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特點特點：鉸鏈傳力不傳力偶矩，：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連與鉸相連的兩橫截面上的兩橫截面上, M = 0 , FS 不一定

21、為零不一定為零2. 畫畫 FS 圖圖水平直線水平直線3. 畫畫 M 圖圖直線直線23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/23Fa/2四、平面剛架和曲桿的內力圖四、平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架：平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。軸線由同一平面折線組成的剛架。 特點：特點：剛架各桿橫截面上的內力有：剛架各桿橫截面上的內力有：Fs、M、FN。1、剛架剛架用剛性接頭連接的桿系結構用剛性接頭連接的桿系結構剛性接頭的特點剛性接頭的特點： 約束約束限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移 受力受力既可傳力，也可傳遞力偶矩既可傳力，也可傳遞力偶矩2、平

22、面剛架內力圖規(guī)定、平面剛架內力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：畫在各桿的受：畫在各桿的受拉拉一側，不注明正、負號。一側，不注明正、負號。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側，但須注明：可畫在剛架軸線的任一側，但須注明 正、負號正、負號。3、平面曲桿：、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件軸線為一條平面曲線的桿件。 4、平面曲桿內力圖規(guī)定：、平面曲桿內力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負值。使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負值。 要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受拉拉的一側。的一側。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力

23、圖：與平面剛架相同。：與平面剛架相同。內力分析內力分析1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yAxFMF /2 ,qaFFqaFAyCyAx 2. 建立內力方程建立內力方程BC 段：段： ,2S1qaF AB 段：段： ,2S2qxF 2N2qaF 112xqaM 22222xqaqaM 3. 畫內力圖畫內力圖2S2S1 ,2qxFqaF 2 , 0N2N1qaFF 2221122 ,2xqaqaMxqaM 彎矩圖畫法：與彎矩對應的點，畫在所在橫截面彎曲時受拉一側彎矩圖特點：如剛性接頭處無外力偶，則彎矩連續(xù)圖圖M22qa曲桿未受力時，軸線即為曲線的桿件未受力時，軸線即為曲線的桿件曲桿內力曲桿內力 sinSFF cosNFF )cos(1 FRMM使桿微段愈彎的彎矩為正