函數(shù)的極值最大值與最小值

1、關(guān)于函數(shù)的極值最大值與最小值現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共23頁一、函數(shù)的極值一、函數(shù)的極值定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, 如果如果對于該鄰域內(nèi)任何異于對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的的x都有都有極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 極大值點、極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點極小值點統(tǒng)稱為極值點.)()(0 xfxf)(0 xf(1) 成立成立, 則稱則稱 為為 f(x)的的0 x極大值極大值, 稱稱 為為f(x)的極大值點；的極大值點；)()(0 xfxf)(0 xf(2) 成立成立, 則稱則稱 為為f(x)的的0 x極小值極小值, 稱稱 為為f(x)

2、的極小值點；的極小值點；1. 極值的定義極值的定義現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共23頁注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點為極大點52,xx為極小點為極小點3x不是極值點不是極值點2) 對常見函數(shù)對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為 0 或或不存在的點上不存在的點上.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共23頁2. 極值存在的必要條件極值存在的必要條件定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且在且在x0處取得處取得極值極值, 那么那么f (x0) 0. 證明證明: 以以f(x0)是極大值來證明是極大

3、值來證明.因為因為f(x0)是極大值是極大值, 故在故在x0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi),對任意的對任意的 都有都有0 xx ),()(0 xfxf所以所以,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時, 0)()(00 xxxfxf所以所以, 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx當(dāng)當(dāng) 時時,0 xx , 0)()(00 xxxfxf所以所以, 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共23頁 使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點為零的點(方程方程f (x) 0的實的實根根)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的駐點駐點.3x1x4x2x5xxaboy 思考思考: 極值點是否一定是駐點極值點是否一

4、定是駐點? 駐點是駐點是否一定是極值點否一定是極值點?現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共23頁3. 極值的判別法極值的判別法定理定理2 (第一充分條件第一充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0連續(xù)連續(xù), 且在且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點點x0可除外可除外). 如果在如果在該鄰域內(nèi)該鄰域內(nèi)，0)(, 0)() 1 ( 00 xfxxxfxx時,當(dāng)時,當(dāng)，0)(, 0)(,)2(00 xfxxxfxx時當(dāng)時當(dāng) 如果如果f(x)在在x0的兩側(cè)保持相同符號的兩側(cè)保持相同符號, 則則x0不是不是f(x)的極值點的極值點.的極大值點.為)(0 xfx則的極小值點.為則)(0 xfx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第

5、六頁，共23頁，0)(, 0)() 1 ( 00 xfxxxfxx時,當(dāng)時,當(dāng)，0)(, 0)(,)2(00 xfxxxfxx時當(dāng)時當(dāng)?shù)臉O大值點.為)(0 xfx則的極小值點.為則)(0 xfx因此可知因此可知x0為為f(x)的極大值點的極大值點.同理可說明情形同理可說明情形(2).說明說明:對于情形對于情形(1)，由判別定理可知，由判別定理可知,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時, f(x)單調(diào)增加單調(diào)增加,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時, f(x)單調(diào)減少單調(diào)減少,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共23頁的符號的符號, 依定理判定依定理判定xi 是否為是否為f(x)的的), 2 , 1(kixi )(xf 判定函數(shù)極值一般步

6、驟判定函數(shù)極值一般步驟).() 1 (xf 求不存在的點的所有駐點和找出)()()2(xfxf., 1kxx (3) 判定每個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點判定每個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點兩側(cè)兩側(cè)(在在xi 較小的鄰域內(nèi)較小的鄰域內(nèi))極值點極值點.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共23頁.683234與極值點值的極求xxxy，得駐點令1, 0021xxy可知可知x=0為為y的極小值點的極小值點, 極小值為極小值為0.xxxy12241223例例1.).,(所給的函數(shù)定義域為所給的函數(shù)定義域為解解:.) 1(122xx非極值非極值極小極小0+0+0), 1 ( y1(0, 1)0 xy)0 ,(.),(內(nèi)存在在 y現(xiàn)在學(xué)

7、習(xí)的是第九頁，共23頁例例2. (1) f(x)在在( )內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) 除除x1外處外處解解: (3) 列表判斷列表判斷x1為不可導(dǎo)點為不可導(dǎo)點 得駐點得駐點x 1 (2) 令令f (x) 0 可導(dǎo)可導(dǎo) 且且( 1) 1( 1 1)1(1 ) 不可導(dǎo)不可導(dǎo) 0 x f (x) f(x) 0 343現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共23頁定理定理3 (第二充分條件第二充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處具處具有二階導(dǎo)數(shù)有二階導(dǎo)數(shù), 且且，的極大值點為，時當(dāng))(0)() 1 (00 xfxxf , 0)(, 0)(00 xfxf的極小值點.為時，當(dāng))(0)()2(00 xfxxf 則則證證: (1)

8、(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在存在x0的某鄰域的某鄰域, 使使, 0)(0 xxxf時，故當(dāng)0 xx ;0)( xf,0時當(dāng)xx ,0)( xf由判別法由判別法1知知.)(0取極大值在xxf同理證同理證(2).現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共23頁說明說明: 當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求, 且駐點且駐點x0處的處的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 時時, 利用判定極值的第利用判定極值的第二充分條件判定駐點二充分條件判定駐點 是否為極值點比較是否為極值點比較方便方便.0()0fx0 x但當(dāng)?shù)?dāng) f (x0) 0時時 只能用方法只能用方法1判斷判斷.

9、現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共23頁例例3. 求函數(shù)求函數(shù)f(x) (x2 1)3 1的極值的極值 解解: f (x) 6x(x2 1)2 令令f (x) 0 求得駐點求得駐點x11 x2 0 x3 1 f (x) 6(x2 1)(5x2 1) 因為因為f (0) 6 0 所以所以f (x)在在x 0處取得極處取得極 小值小值 極小值為極小值為f(0) 0 無法用定理無法用定理3-8判別判別 在在 1的左右鄰域內(nèi)的左右鄰域內(nèi)f (x) 0 所以所以f(x)在在 1處沒有極值處沒有極值 同理同理, f(x)在在1處也沒極值處也沒極值 因為因為f ( 1) f (1) 0 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共23頁

10、二、最大值最小值問題二、最大值最小值問題 怎樣求函數(shù)的最大值和最小值怎樣求函數(shù)的最大值和最小值? x1x2x3x4x5Mm觀察與思考：觀察與思考： 觀察下面的函數(shù)在哪些點有可能成為最觀察下面的函數(shù)在哪些點有可能成為最大值或最小值點大值或最小值點?現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共23頁 其最小值一定其最小值一定是函數(shù)的所有極是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值間端點的函數(shù)值中的最小者中的最小者 極值與最值的關(guān)系極值與最值的關(guān)系:x1x2x3x4x5Mm 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得只可能在區(qū)間端點及區(qū)間內(nèi)的

11、極值點處取得. 函數(shù)在閉區(qū)間函數(shù)在閉區(qū)間a b上的最大值一定是函上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者中的最大者;現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共23頁最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法: (1)求出函數(shù)求出函數(shù)f(x)在在(a b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點 設(shè)這些點設(shè)這些點為為x1 x2 xn; (2)計算函數(shù)值計算函數(shù)值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;x1x2x3x4x5Mm (3)判斷判斷: 最大者最大者是函數(shù)是函數(shù)f(x)在在a b上的最大值上的最大值 最小最小者是函數(shù)者是函數(shù)f(x)在在a b

12、上的最小值上的最小值 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共23頁14123223xxxy4 , 3),1)(2(612662xxxxy, 0 y. 1, 221xx,142)4(, 7) 1 (,34)2(,23)3(ffff,142)4()4(),1 (),2(),3(maxfffffM. 7) 1 ()4(),1 (),2(),3(minfffffm例例4. 求求在在上的最大值與最小值上的最大值與最小值.解解:令令得駐點得駐點因為因為所以所以現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共23頁 例例5. 工廠工廠C與鐵路線的垂直距離與鐵路線的垂直距離AC為為20km A點點到火車站到火車站B的距離為的距離為100km 欲修

13、一條從工廠到鐵路欲修一條從工廠到鐵路的公路的公路CD 已知鐵路與公路每公里運費之比為已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5 為為使火車站使火車站B與工廠與工廠C間的運費最省間的運費最省 問問D點應(yīng)選在何處點應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km解解: x 設(shè)設(shè)AD x(km) y 5k CD 3k DB (k是某個正數(shù)是某個正數(shù)) B與與C間的運費為間的運費為y 則則 DB=100 x 即)100(340052xkxky(0 x100) 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共23頁其中以其中以y|x 15 380k為最小為最小 因此當(dāng)因此當(dāng)AD 15km時時 運費最省運費最省 由于由于y|x 0 400k y

14、|x 15 380k 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共23頁x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為設(shè)觀察者與墻的距離為x(m),則則x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令令,0得駐點得駐點),0(4 . 2x根據(jù)問題的實際意義根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在觀察者最佳站位存在, 駐點駐點又唯一又唯一, 因此他站在距墻因此他站在距墻 2.4 m 處看圖最清楚處看圖最清楚 .例例6. 一張一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上高的圖片掛在

15、墻上, 它的底邊高于觀察它的底邊高于觀察者的眼睛者的眼睛1.8 m, 問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚楚(視角視角 最大最大) ? 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共23頁特殊情況下的最大值與最小值特殊情況下的最大值與最小值: 若若 f(x)在一區(qū)間在一區(qū)間(有限或無限有限或無限 開或閉開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且有內(nèi)可導(dǎo)且有且只有一個駐點且只有一個駐點x0 則：則： 當(dāng)當(dāng)f(x0)是是極大極大值時值時 f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的在該區(qū)間上的最大最大值值 說明當(dāng)當(dāng)f(x0)是是極小極小值時值時 f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)在該區(qū) 區(qū)間上的區(qū)間上的最小最小值值 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二