材料力學-扭轉問題

1、第三章第三章 扭扭 轉轉3.1 扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例工程上有很多承受扭轉變形桿件,例如攪拌器的主軸 實例實例實例實例傳動軸傳動軸實例實例汽車傳動軸汽車傳動軸實例實例汽車方向盤汽車方向盤實例實例絲錐攻絲絲錐攻絲實例實例 扭轉變形是指桿件受到大小相等扭轉變形是指桿件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用, ,使桿件的橫使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉動。截面繞軸線產(chǎn)生轉動。 扭轉的概念扭轉的概念工程上，把承受扭轉變形的桿件稱工程上，把承受扭轉變形的桿件稱“軸軸”。其橫截面大都是圓形的。其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭

2、轉。所以本章主要介紹圓軸扭轉。MeMe橫截面之間的相對角位移橫截面之間的相對角位移 ,稱為扭轉角。稱為扭轉角。直接計算直接計算FdMe 3.23.2、外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖一一. 外力偶的計算外力偶的計算 按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算已知已知軸轉速軸轉速n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率Pk 千瓦千瓦力偶矩力偶矩Me e)()()(9459mNmprnWkPkMe二二. 扭轉內(nèi)力扭轉內(nèi)力 : MeMeMeTMeTnn仍采用截面法仍采用截面法:扭轉內(nèi)力正負號規(guī)則扭轉內(nèi)力正負號規(guī)則 : 右手螺旋法則右手螺旋法則 ,確定內(nèi)力正負確定內(nèi)力正負 扭矩扭矩

3、T扭矩正負規(guī)定扭矩正負規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為右手拇指指向外法線方向為 正正(+),(+),反之為反之為 負負(-)(-)例例 已知已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm求求: :作圖示傳動軸的扭矩圖作圖示傳動軸的扭矩圖. .MAMBMC解解: 1. 求外力偶求外力偶 150199549MA= =1210Nm 同理 MB=2800Nm, MC=1590Nm MAMBMC1-12-2T1- MA=0 討論：交換討論：交換ABAB輪的位置扭矩輪的位置扭矩 將如何變化？將如何變化？1210-1590 xT-2800-1590 xT

4、MAnT1 T2- MA+ MB=0 MBMAT2n2.截面法求內(nèi)力截面法求內(nèi)力( 設正法設正法)3.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖 T1 = 1210 Nm T2 = -1590 Nm3.3 純剪切純剪切l(wèi)XMelX（1） 實驗觀察實驗觀察:A. 各縱向線傾斜角度相同各縱向線傾斜角度相同；正方形網(wǎng)格正方形網(wǎng)格,加外力偶后變加外力偶后變成同樣大小的平行四邊形成同樣大小的平行四邊形。B. 各圓周線的形狀、大小和各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是繞軸線作相對間距不變，只是繞軸線作相對轉動；轉動；一 圓軸扭轉時切應力圓軸扭轉時切應力lXMe二二 推論推論：存在切應力存在切應力, 且同一圓周上的且同一圓周上的切應

5、力相同切應力相同 橫截面上無正力橫截面上無正力；(橫截面上任意點的切應力的方橫截面上任意點的切應力的方向和半徑垂直。向和半徑垂直。)R由現(xiàn)象由現(xiàn)象A 由現(xiàn)象由現(xiàn)象Bxyzdxdydz dxdzdy )(dydxdz)(=單元體單元體 純剪切狀態(tài)純剪切狀態(tài)沿纖維、木紋方向開裂可以證明沿纖維、木紋方向開裂可以證明實驗證明實驗證明:當切應力不超過材料當切應力不超過材料的的剪切比例極限剪切比例極限時時,G剪切剪切G:稱為材料的切變模量稱為材料的切變模量反映材料的抗剪切變形的反映材料的抗剪切變形的能力能力.(MPa, GPa)12EG剪切剪切21evG22ABCD dxdydz10)(dxddydzdW

6、10)(dVddWdV10ddVdVv當切應力當切應力不超過材料的剪切比例極限不超過材料的剪切比例極限dydzdx3.4 圓軸扭轉時橫截面上的切應力圓軸扭轉時橫截面上的切應力lXMelX 實驗現(xiàn)象：平面假設：圓桿的橫截面變形后仍圓桿的橫截面變形后仍為保持為平面為保持為平面一一 變形幾何關系變形幾何關系 圓軸橫截面像剛性平面一樣圓軸橫截面像剛性平面一樣,繞繞軸線轉過一角度軸線轉過一角度T表面Rddx 內(nèi)部ddx dxd二二 物理條件物理條件：dA三三 平衡條件平衡條件：AdAdxdGddxdxdGGAdAdTTdAAdAdxdG2TT內(nèi)部一一 變形幾何關系變形幾何關系 dTPGITdxdPITT

7、dAAdAdxdGT2APdAI2極慣性矩極慣性矩APdAI2324DIp實心圓軸實心圓軸空心圓軸空心圓軸DdDdDIp444413232tppWTRITRITmax空心圓DdDWt43116Wt 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)實心圓163DWt圓軸扭轉的強度條件圓軸扭轉的強度條件:對階梯軸，因各段的對階梯軸，因各段的Wt不同不同 ,最大切應最大切應力不一定在最大力不一定在最大T所在截面，須綜合考所在截面，須綜合考慮慮T和和Wt，確定確定T/ Wt極值。極值。dNmmprnWkPMe)()(9459 tWTmax由163DWt MPaWTEt54.1611max MPaWTCt98.2133maxM

8、PaWTHt69.2222max解解：36431029116mDWt MPaWTt7 .51max強度滿足。強度滿足。 tWTmax2.3222dDdAAGG空心優(yōu)于實心空心優(yōu)于實心（1）改用實心軸，在改用實心軸，在最大應力不變時最大應力不變時確定軸的直徑；確定軸的直徑；討論：討論：（2）比較實心軸和空心軸的重量）比較實心軸和空心軸的重量。max316TdWt由mmd53得校核軸的強度。校核軸的強度。 例例 已知汽車傳動主軸已知汽車傳動主軸D = 90 mm, d = 85 mm,60MPaMe= 1.5 kNm。MeMe為什么相同強度條件下空心軸比實心軸省材料？為什么相同強度條件下空心軸比實

9、心軸省材料？944.0DdT = Me= 1.5 kNm , 3.5 圓軸扭轉的變形圓軸扭轉的變形:pIG抗扭剛度抗扭剛度pGITdxd單位：弧度弧度(rad)pIGTdxd)(180m剛度條件：剛度條件：180pIGTdxdmmm/0.30.1/0.150.0/5.025.0精密軸一般軸粗糙軸dxGITdlppGITl對于兩端作用力偶長為對于兩端作用力偶長為l 的等直軸的等直軸:若各段的若各段的T 不同，或各段的不同，或各段的Wt同，同，則分段計算扭轉角則分段計算扭轉角,再代數(shù)相加再代數(shù)相加: nipiiiGIlT121剛度條件：180pIGT解：作扭矩圖 GTDI

10、1590 xT1590 N.m2800 N.m1210 N.m tWTmax163TDWt mmMnD7.58163|T|max=1590（N.m) mmGMnD49180324取 D=59 或60mm例例 已知：已知：,80 GPaG 確定圓軸的直徑確定圓軸的直徑.,40MPa ,/2m 例例 傳動軸的轉速為傳動軸的轉速為n=500=500r/min，主動輪，主動輪A 輸入功率輸入功率P1=400kW，從動輪，從動輪C，B 分別輸出功率分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)試確定試確定AC 段的直徑段的直徑d1 和和BC 段

11、的直徑段的直徑d2； (2)(2)若若AC 和和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理主動輪和從動輪應如何安排才比較合理? ?1eMABC2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN 30602eMmN 45803eM解：解： 1.1.外力偶外力偶 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件: : mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選

12、取: : 按強度條件按強度條件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按剛度條件按剛度條件 : : 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強度條件按強度條件: : 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.選同一直徑時選同一直徑時mm4 .861 dd 6.6.將將主動輪按裝在主動輪按裝在兩從動輪之間兩從動輪之間1eMABC2e

13、M3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 扭轉的超定靜問題扭轉的超定靜問題例例 兩端固定的階梯圓截面桿，在兩端固定的階梯圓截面桿，在C處受一力偶處受一力偶m，求支，求支反力偶？反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA0BAmmmBBCmTAACmT解：解： 解除約束，以 、 代替。AmBm變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：物理方程：物理方程：求解得求解得:mmA74mmB73)(0CBAcCBACABpBCBCGIaT2pACpACACGIaTGIaT2mmBCABmA例例 由實心桿由實心桿1和空心桿和空心桿2組

14、成的組合軸，受扭矩組成的組合軸，受扭矩T，兩者之間無相對滑動，求各自最大切應力，兩者之間無相對滑動，求各自最大切應力.解解:設實心桿和空心桿承擔的扭矩分別為設實心桿和空心桿承擔的扭矩分別為T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：平衡方程：TTT21變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：211111pIGlT2222pIGlTTIGIGIGTppp2211111TIGIGIGTppp2211222TIGIGRGpp2211222TIGIGRGpp2211111聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T 討論討論: 1) 實心桿和空心桿相實心桿和空心桿相接觸處接觸處的切應力情況的切應力情況2) 在下述三種情況下的切應力分布情況：在下述三種情況下的切應力分布情況：（