彈性力學(xué)及有限元法chapter4

1、第四章 能量原理及其變分法 變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問題的變分法，變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問題的變分法，也稱為能量法，是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能密切相關(guān)的，也稱為能量法，是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能密切相關(guān)的，是有限元法的基礎(chǔ)。是有限元法的基礎(chǔ)。 單位體積中具有的應(yīng)變能，稱為單位體積中具有的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度或或比能比能。 彈性體在單向應(yīng)力狀態(tài)下，單位體積的應(yīng)變能為彈性體在單向應(yīng)力狀態(tài)下，單位體積的應(yīng)變能為 ，其中其中 是受力方向的正應(yīng)力，是受力方向的正應(yīng)力， 是該方向的線應(yīng)變。是該方向的線應(yīng)變。 對于平面應(yīng)力狀態(tài)下單位體積的應(yīng)變能，根據(jù)能量守恒定對

2、于平面應(yīng)力狀態(tài)下單位體積的應(yīng)變能，根據(jù)能量守恒定律，應(yīng)變能的大小與加力次序無關(guān)，只取決于應(yīng)力和應(yīng)變的律，應(yīng)變能的大小與加力次序無關(guān)，只取決于應(yīng)力和應(yīng)變的最終值，所以最終值，所以 4-1 應(yīng)變能的概念及其表達(dá)式應(yīng)變能的概念及其表達(dá)式12012xxyyxyxyU 第四章 能量原理及其變分法對于空間應(yīng)力狀態(tài)的單位體積的應(yīng)變能可寫成對于空間應(yīng)力狀態(tài)的單位體積的應(yīng)變能可寫成012xxyyzzxyxyyzyzzxzxU 將廣義虎克定律代入上式，得將廣義虎克定律代入上式，得 012TUD展開為展開為222222201122xyzxyzxyyzzxUGG 其中其中11 2E如果用應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義虎克定律，則

3、應(yīng)變能可寫成如果用應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義虎克定律，則應(yīng)變能可寫成22222201122xyzxyyzzxxyyzzxUEEG 第四章 能量原理及其變分法 一般情況下，彈性體受力并不均勻，各個(gè)應(yīng)力分量和一般情況下，彈性體受力并不均勻，各個(gè)應(yīng)力分量和應(yīng)變分量一般都是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因而應(yīng)變能一般也是應(yīng)變分量一般都是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因而應(yīng)變能一般也是位置坐標(biāo)的函數(shù)。為了得出整個(gè)彈性體的應(yīng)變能位置坐標(biāo)的函數(shù)。為了得出整個(gè)彈性體的應(yīng)變能U，必須，必須把比能把比能U0在整個(gè)彈性體內(nèi)進(jìn)行積分，即在整個(gè)彈性體內(nèi)進(jìn)行積分，即0UU dxdydz第四章 能量原理及其變分法 4-2 虛功原理虛功原理 虛位移虛位移是結(jié)構(gòu)

4、所允許的任意的微小的假想位移，在發(fā)生虛位是結(jié)構(gòu)所允許的任意的微小的假想位移，在發(fā)生虛位移過程中真實(shí)力所作的功，稱為移過程中真實(shí)力所作的功，稱為虛功虛功。 “如果變形體處于平衡狀態(tài)，則給以任意微小虛位移，外力如果變形體處于平衡狀態(tài)，則給以任意微小虛位移，外力所作的總虛功必等于變形體所所作的總虛功必等于變形體所接受接受的總虛變形功的總虛變形功 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 為了簡化變形體虛功原理的證明，以平面應(yīng)力問題為例來說為了簡化變形體虛功原理的證明，以平面應(yīng)力問題為例來說明。假設(shè)單位厚度的變形體在給定的外力（體積力明。假設(shè)單位厚度的變形體在給定的外力（體積力X、Y和表面和表面力力 ）和給定

5、的約束條件下處于平衡狀態(tài)，用）和給定的約束條件下處于平衡狀態(tài)，用 x、 y和和 xy表表示應(yīng)力分量。這些應(yīng)力分量滿足下列平衡條件：示應(yīng)力分量。這些應(yīng)力分量滿足下列平衡條件：,X Y第四章 能量原理及其變分法在整個(gè)變形體內(nèi)，各微元體滿足在整個(gè)變形體內(nèi)，各微元體滿足00 xyxyxyXxyYxy在變形體邊界處，各微元體滿足在變形體邊界處，各微元體滿足00 xxyxyylmXlmY其中，其中，l、m表示邊界處的外法線的方向余弦。表示邊界處的外法線的方向余弦。給變形體以微小虛位移給變形體以微小虛位移 u、 v，各微元體將有虛應(yīng)變，各微元體將有虛應(yīng)變,xyxyuvvuxyxyxyodsdydx2xyxy

6、dyy2xxdxx2yydyy2xyxydxxXYdxdyyxyydyyxxdxxyxxyyxyxdyyxyxydxxX_Y_第四章 能量原理及其變分法首先，分析變形體內(nèi)部的微元體由正應(yīng)力首先，分析變形體內(nèi)部的微元體由正應(yīng)力 x所作的虛功。所作的虛功。111xxxxxxxxudxudxu dVxxuudVudVxxx 11dVdxdy其中其中為微元體的體積。同樣，為微元體的體積。同樣， xy所作的虛功為所作的虛功為1xyxyuudVyy體積力所作的虛功為體積力所作的虛功為1.1XdxdyuX udV 同樣地求出其它力所作的虛功，疊加，則得到變形體內(nèi)微同樣地求出其它力所作的虛功，疊加，則得到變形

7、體內(nèi)微元體上所有力所作的虛功之和為元體上所有力所作的虛功之和為111xyxyyxxxxyxyyydWXuYv dVdVxyxy 第四章 能量原理及其變分法 其次，分析邊界處的微元體，以其次，分析邊界處的微元體，以ds表示斜邊的長度，則直表示斜邊的長度，則直角邊的面積分別為角邊的面積分別為.1.1,.1.1dyldsdxmds微元體的體積為微元體的體積為2111.1222dVdxdyldsdxmdsdy 設(shè)斜邊中點(diǎn)處的虛位移為設(shè)斜邊中點(diǎn)處的虛位移為 u、 v，應(yīng)力分量為，應(yīng)力分量為 x、 y和和 xy，直角邊直角邊dy上正應(yīng)力上正應(yīng)力 x所作的虛功為所作的虛功為111.1222xxxxxxudx

8、 ldsudxuudx ldsxxx 直角邊直角邊dx上剪應(yīng)力上剪應(yīng)力 xy所作的虛功為所作的虛功為111.1222xyxyxyxyxyuudy mdsudyuudy mdsyyyy 斜邊上表面力所作的虛功為斜邊上表面力所作的虛功為X uY v ds第四章 能量原理及其變分法體積力所作的虛功為體積力所作的虛功為2X uY v dV 同樣地求出其它力所作的虛功，疊加，則得到變形體邊界同樣地求出其它力所作的虛功，疊加，則得到變形體邊界處微元體上所有力所作的虛功之和為處微元體上所有力所作的虛功之和為22xyxyyxdWXuYv dVxyxy2xxyxyyxxyyxyxyXlmuYlmv dsdV 變

9、形體的總虛功為變形體的總虛功為 W總總xyxyyxVXuYv dVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmv dsdV 第四章 能量原理及其變分法由于已經(jīng)假設(shè)變形體在外力與約束條件下處于平衡狀態(tài)，所以由于已經(jīng)假設(shè)變形體在外力與約束條件下處于平衡狀態(tài)，所以總虛功總虛功xxyyxyxyVdV 所有微元體上的力所作的總虛功，可以寫成所有微元體上的力所作的總虛功，可以寫成其中其中SVX uY v dsX uY v dV總虛功表達(dá)式寫成總虛功表達(dá)式寫成最后，得出最后，得出SVX u Y v dsX u Y v dVxxyyxyxyVdV W總總W總總=W外外 + W面面W外外W面面0SVX

10、 uY v dsX uY v dVW總總W外外第四章 能量原理及其變分法 變形體在給定外力作用下，給以虛位移，如果外力所作的變形體在給定外力作用下，給以虛位移，如果外力所作的總虛功等于變形體所總虛功等于變形體所“接受接受”的總虛變形功，則變形體各處都的總虛變形功，則變形體各處都處于平衡狀態(tài)。處于平衡狀態(tài)。與與是恒等的。是恒等的。前提條件是前提條件是xyxyyxVXuYv dVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmv dsdV W總總SVX uY v dsX uY v dVW總總W面面SVX u Y v dsX u Y v dVxxyyxyxyVdV 第四章 能量原理及其變分法所以所以xyxyyxVXuYv dVxyxy0 xxyxyySXlmuYlmv ds因?yàn)樘撐灰埔驗(yàn)樘撐灰?u、 v是任意的，所以上式為零的條件必是使上式中是任意的，所以上式為零的條件必是使上式中0,0 xyxyyxXYxyxy成立，同時(shí)成立，同時(shí)0,0 xxyxyylmXlmY成立。成立。第四章 能量原理及其變分法 虛功原理（實(shí)際是虛位移原理）與平衡條件和力的邊界虛功原理（實(shí)際是虛位移原理）與平衡條件和力的邊界條件是等