(完整word版)空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(經(jīng)典)

1、i空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識(shí)要點(diǎn)。1.1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)(1)向量一般用有向線(xiàn)段表示,同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量(2)(2)向量具有平移不變性2.2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)運(yùn)算律：加法交換律：ab=ba加法結(jié)合律：(ab)a(bc)數(shù)乘分配律：(ab)=ab(ab)=ab運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3.3.共線(xiàn)向量。(1)(1)如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合，那么這些向量也叫做共線(xiàn)向量或平行向量，a平行于b，記

2、作a/b。(2)(2) 共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b(b豐0),a/b存在實(shí)數(shù)入使a=7b(3)(3) 三點(diǎn)共線(xiàn)：A、B B、C C 三點(diǎn)共線(xiàn)AB=， AC9-4to-OC=xOAyOB其族y=1)4.4. 共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。,(2)共面向量侶理：如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x,y使OB=OAAB=ab；BA=R)(4)(4)與a共線(xiàn)的單位向量為a|a|2p=xa+yb。(3)(3)四點(diǎn)共面：若 A A、B B、C C、P P 四點(diǎn)共面AP=xAB+yAC.OP=XOA+y

3、OB+zOC(其中x*y+z=1)35.5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,C不共畫(huà)V4T在一個(gè)唯一的有房洪數(shù)組x,y,z，使p=xa+yb+zc。時(shí)七a七若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,C叫做基向量,空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,Af,Cy面的四)點(diǎn)，則叫空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)X,y,Z,使OP=xOA+yOB+zOC。6.6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中， 對(duì)空間任一點(diǎn)A， 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xiOA=xi+ +yiy

4、i+ +zk,zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A(x,y,z)(x,y,z)關(guān)于 x x 軸的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,-y,-z),(x,-y,-z),關(guān)于 xoyxoy 平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y,-z).(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱(chēng)，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在 y y 軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),(0,y,0),在平面 yOzyOz 中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)(0,y,z)(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為 1,1,這個(gè)基底叫單位正交基底，444一.一_用i,

5、j,k表示。空間中任一向量a=xi+yj+zk=(x,y,z)=(x,y,z)(3).空間向量的直鳥(niǎo)坐標(biāo)運(yùn)算律：.彳日若瑚=(/2*3),b=(W,b2,b3)，則g+b=(ab1,a2+b2,a3+b3),旦*=(%-燈國(guó)2-b2,a3-炫)，a=(aa?,a3)(R),bqba2b2a,!,，那么對(duì)空間任一向量p,存4a/a-b=a1b1a2b2a3b32若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，則AB=(xx1,y小,瓦z1)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。3定比分點(diǎn)公式：若 A(/,y1,z1),B(x2,y2,z2),AP

6、fPB,則點(diǎn) P P 坐標(biāo)為赤b2,a3=b3e亡R),5(XiX2yiV2ZiZ2)(1+%,i 十九,i 十九)。推導(dǎo)：設(shè)P P(x,y,z)(x,y,z)(xyyi i,zXV2y,Z2 2Z)，顯然，當(dāng) P P 為 ABAB 中點(diǎn)XiX2yy24Z2時(shí)，P(2,2,2)ABC中，A(%乂，乙)，B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3),三角形重心P坐標(biāo)7.7.空間向量的數(shù)量積。_、（i）空間向堂的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)o,作T4T叩444OA=afB=b，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作；且規(guī)定oa,b“顯然有為P(XiX2X3Viy0AA 為銳角

7、AB，ACAV=A 為鈍角，鈍角(6)(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(Xi,yi,Zi),B(X2,V2,Z2),貝|AB|=AB2=,(X2Xi)2(y2yi)2(Z2Zi)2,或dA,B=(X2-Xi)2(y2-yi)2-Zi)26a,bA=；若a,bx三，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作：如b。27（2 2）向量的模:設(shè)項(xiàng)=a,貝，有向線(xiàn)段oA的叫做向量g的長(zhǎng)度或模,記作:T（3）向、勺數(shù)求積已知向量*a,b,貝（J|a|b|cosa,b叫做3,6的數(shù)量積，記作ab,即ab=|3|b|cosa,bA。（4 4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：,.*,土44_|-.2H4ae=|a|cosa,eA。abuab

8、=0。|a|=aa。b=ba（交換律）。不滿(mǎn)足乘法結(jié)合率：（ab）c=a（bc）二.空間向量與立體幾何1.1. 線(xiàn)線(xiàn)平行 U 兩線(xiàn)的方向向量平行1-1- 1 1 線(xiàn)面平行 U 線(xiàn)的方向向量與面的法向量垂直1-1- 2 2 面面平行 u 兩面的法向量平行2 2 線(xiàn)線(xiàn)垂直（共面與異面）仁兩線(xiàn)的方向向量垂直2-2- 1 1 線(xiàn)面垂直 u 線(xiàn)與面的法向量平行2-2- 2 2 面面垂直 u 兩面的法向量垂直 3 3 線(xiàn)線(xiàn)夾角0（共面與異面）0,90u兩線(xiàn)的方向向量房蓿的夾角或夾角的補(bǔ)角,cose=cos3-3-1 1 線(xiàn)面夾角90,90O:求線(xiàn)面夾角的步驟：先求線(xiàn)的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為

9、銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線(xiàn)面的夾*角.sin=cos3-3-2 2 面面夾角（二面角）90,180:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量 n ni,n,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos=-cosn1,n24 4.點(diǎn)面距離h:求點(diǎn)P（X0,y）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)Q（x,y）,得向量PQ.；, ,(5)(5)（ab=（aba仆+C）=a，b+a，c（分配律）。(b)8【典型例題】1.1.基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例上罰平行六面體ABCD=ABCD=BCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量（1）A+BC;（2）AB+

10、AD+AA;AB+AD+1C?:1（AB+AD+AA）。23例冬對(duì)回可代點(diǎn)=和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C,問(wèn)滿(mǎn)足向量式：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）的四點(diǎn)P,A,B,C是否共面？。例 3 3 已知空間（0,2,30,2,3）,B,B（-2,1,6-2,1,6）,C,C（1,1,1,51,5）求以向量AB,AC為一雪羿的平行四邊形的面積 S;S;若向量 a a 分別與向量AB,AC垂直，且俏|=。3,求向量 a a 的坐標(biāo)。2.2. 基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3.3. 坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4.4.幾何法計(jì)算平面a的法向量n；. .h h= =PQ一n|

11、n4-14-1 線(xiàn)面距離（線(xiàn)面平行） :轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-24-2 面面距離（面面平行） :轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離9編號(hào) 0303 晚白習(xí)測(cè)試；17,1817,18 題例 4.4.如圖，在空間四邊形OABg,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,NOAC=45，NOAB=60，求OA與BC的夾角的余弦值。說(shuō)明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如=135,易錯(cuò)寫(xiě)成.=45,切記!例 5.5.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,E為AC與BD1的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC與C的交點(diǎn)，又AF_LBE,求長(zhǎng)方體的高BB1?！灸M試題】1.1.已知空間四邊形ABCD，連地 C C 耳M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)

12、，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（1 1）AB+BC+CD;11(2)(2)AB+(BD+BC)；(3)(3)AG(AB+AC)。22A102.2.知m甲 y48y48 凹,平四AC外一點(diǎn)O引向量OE=kOA=kOB,OG=kOC,E=kOD。(1)(1) 求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；(2)(2) 平面AC/平面EG。13.3.如圖正方體ABCD-ABCIDI中，Ei=DFi=-A1B1,求BE與DF1所成角的余弦。4D5.5.已知平行六面體ABCD-ABCD中，AB=4,AD=3,AA=5,NBAD=90,/BAA=DAA=601，求AC的長(zhǎng)。111 1.解：如圖,(1)(1)AB

13、+BCCD=ACri*一一._(2)(2)AB十一(BD十BC)=AB十一BC十一BD。T4T22=AB+BM+MG=AG；(3)(3)AGHAB+AC)=AG=AGAM=MG。22 2.解 j(1j(1 頊些四邊形ABCD是平行四邊形，./EOG-OETT=kOC-kOA=k(OC-OA)=kAC=k(ABAD)-k(OB-OAODOA)=OF-OEOH-OE=EFEHE,F,G,H共理；_T(2)(2)解：EF=OF_OE=k(OB_OA)=k7B,EF/AB,EG/AC。所以，平面AC/平面EG3.3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,3則B(1,1,0),E1(1,3,1),D(0,0,0),4.T11BE1=(0,1),DF1=(0,一,1),44W-互，41115BE1DF=0乂0+(J)+1勺=。參考答案TFTAC=AB+AD,又EG=kAC,1叫,京=DF1=1二i124416131516=1517v1717444.4.分析：V VABABAC1|AB|AC|2=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),.cos.BAC=,.S=|AB|AC|sin60=7拓(X,y,Z),(X,y,Z),貝a_LABn_2xy+3z=0,-3y