2018屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)大突破學(xué)案：專(zhuān)題31數(shù)列求和

1、專(zhuān)題31數(shù)列求和1.求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(3) 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).(4) 倒序相加法把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.(5) 錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的 推廣.并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(1)f(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn

2、= 1002 992+ 982 972+ , + 22 12= (100 + 99) + (98+ 97)+ , + (2 + 1) = 5 0 50.2 常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式11 1(1);T-= _.n (n+1)n n+ 1(2)-1- =1亠亠(2)(2n 1)( 2n+ 1)2 2n 1 2n + 1.1/=7 n+ 1心.n+ n + 1Sn=n (ai+ aj2=n ai+d.(i)當(dāng) q = 1 時(shí),(ii )當(dāng) q 工 1 時(shí),sn=na1；(1-qn)1 qa1anq高頻考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和1 1 2例 1、（2016 天津卷）已知?jiǎng)⑹堑缺葦?shù)列，前n項(xiàng)和為S（n N+），且一 一

3、 = ,9= 63.aia2a3（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n N+,bn是 log2禺和 log2禺+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列（ 1）塢的前 2n項(xiàng)和.【解析】 設(shè)數(shù)列仏的公比 4由已知，有丄一丄=亠赴 ft?解得尸2或y=l.又由氏=世*-=S3,知護(hù)一匚1_?所以出* 2=63,得 E.所臥焉=廠 1宙題意：得i=（log：4- Log：a.-；） =|（log：2_,+ log：2f）=ir憶莊即乩是首項(xiàng)為?公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列（-1）說(shuō)的前 R 項(xiàng)和為工,則瓦=（-反+忑）4-（撫+ &） +4-（也+ =矗+ b +島+氏+比嚴(yán)：+撫上=【方法規(guī)律】 若數(shù)列6的通項(xiàng)公

4、式為 & =anbn,且an , bn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和an,n為奇數(shù)，若數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式為 6= 亠曲亠 其中數(shù)列an , bn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組bn,n為偶數(shù)，求和法求的前n項(xiàng)和11111【變式探究】（1）數(shù)列 1;, 3-, 5-, 7, , , （2n 1） +n,的前n項(xiàng)和 S 的值等于（）2 4816221 A.n+ 1 歹C 2彳丄 C.n+ 1 2門(mén)-1nn數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=ncos 牙，其前n項(xiàng)和為 S,貝US 等于（）B.2n2n+ 1 右D.n2A.1 008【答案】 (1)A(2)AB.2 016C.504 D.

5、0【解析】 該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (加1)+g則=L+3 + 5+ (如一1)+二+吉+呂_ 1=小-尹(2) acos 0?琵=2 cos兀=一2，6=0,決=4, *所以數(shù)列 g 的所有奇數(shù)項(xiàng)為 6 前201&項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)(rt 1008項(xiàng))依次為-2, 4, -6 8r -2014,2 016故5cn=0+ (-2 + 4) 4- (-6 + 8) + - 4-(一2 014 + 2 016) = 1 008*高頻考點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和 例 2、(2016 山東卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n2+8n, bn是等差數(shù)列，且 勿=6 +6+1. (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；n+1(a

6、n+ 1)(bn+ 2)n【解析】 (1)由題意知，當(dāng)n2時(shí)，an=S S-1= 6n+ 5.當(dāng)n= 1 時(shí)，ai=Si= 11,符合上式.所以an= 6n+ 5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d,即 11=2b1+d,17= 2b + 3d,可解得b1= 4,d= 3.所以bn= 3n+ 1.由(1)知，6=(策?)n= 3(n+ 1)2+又Tn=C1+C2+ , +Cn.得Tn=3X2X 22+3X 23+,+(n+1)X2n+1. 2Tn=3X2X 23+3X 24+,+(n+1)X2n+2.兩式作差，得Tn=3X2X 22+23+24+,+2n+1(n+1)X2n+2【方法規(guī)律】(1) 一般地，如

7、果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可 采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解；在寫(xiě)出“S”與“qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqS”的表達(dá)式.=3X4+4(1-2)(n+1)X2n+2L3n2n+212所以Tn= 3n2n+2令 Cn=.求數(shù)列o的前n項(xiàng)和Tn.a1=b1+b2,由ra2=b2+b3,【變式探究】 已知an是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2 5x+ 6= 0 的根.(1)求an的通項(xiàng)公式;求數(shù)列遠(yuǎn)的前n項(xiàng)和.【解析】(1)方程氐+6=0的兩根為2,心 由題意得& =2e.=

8、 3.設(shè)數(shù)列咯的公差為必則選一尸2必故 戶右 從而a=T.所以廟的通項(xiàng)公式為設(shè)滲啲前口項(xiàng)和為必由知芋齊.34ir+1JI+2則二歹+歹十+ 丁+滬n1 _34JJ+1 n+ 2兩式相減得扣=#+|r+圭廠31 n+2=+ =1 -B441 T 2* *高頻考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和2例 3、S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an0,an+ 2an=4S+ 3.(1)求an的通項(xiàng)公式；1設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和a“an+1所以耳=2-n+4【解析】（D由Z+2=4+3?可知S；-；+2&-I=4-；+3.可得s,_ +2(-： a.) Aa=_f貝卩2 （a-：+韻筆=（足-L+矩） 由于0,可得也-

9、：一殳=2又al+ 2&.4&. + 3,解得盤(pán)二一1（舍去）或313,所以韻是首項(xiàng)為山公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為e；=2r+l.由z=2卄1可知1 1 1/ 1 1 ,（2u+l）（2n+3_2 xZn+1 湖+P丿設(shè)數(shù)列的前 Q 項(xiàng)和為G則畫(huà)=花+b；+九_(tái) n_3 2n+3）T【方法規(guī)律】（1）利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)（2）將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等【變式探究】 設(shè)S為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知 S=a7,a8-2as= 3.（1）求an；1設(shè)bn=，求

10、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.sn【解析】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d,3a1+ 3d= + 6d,由題意得1+ 7d)-2(a1+ 2d)= 3,解得ai= 3,d= 2, an=ai+ (n-1)d= 2n+1.由(1)得S= na1+n(n- d=n(n+ 2),b=1= 1i?_ 丄、n=n(n+ 2) = 2 6n+ 2 /Tn=b+b2+ , +bn-1+bn1 1 11-3.廣丁4 丿 +,+土 +1n+1n+3/111 1=2I+2-n+1-HT2=3+丄4 2n+ 1n+ 2 【舉一反三】在數(shù)列an中，a1= 1,當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和$滿足S2=anS1.（1）求 S 的表達(dá)式；設(shè)

11、bn=2nST1，求bn的前n項(xiàng)和Tn.F1 j【解析】1?- S-i（診2），4/=（名一, 5；- ,j即2斤&=忑 7&由題意得洋0,式兩邊同除以-L * s巧彳畦-二數(shù)列罔是苜項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列-=14- 2 (1)=2n 1fS=-,忑2n 1丁b,二一=-曲 +12JJ-12JJ+1_lr_2k2_n 12JJ+Vlrr1,1 lv,1.人=刊+氏+ $尸#(1飛)+吋飛)+“ + $丁 如* 1) - 12加 +VJ32u+l1.【2016 高考山東理數(shù)】(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列:aj的前 n 項(xiàng)和 Sn=3n2+8n,fbj是等差數(shù)列，且 abhbnd.(i)求數(shù)列

12、 IbJ 的通項(xiàng)公式；(a + l)n十(n)令cnn .求數(shù)列；、c的前 n 項(xiàng)和 Tn.n(bn+2)n【答案】(i)bn=3n 1； (n)Tn=3 n2n 2.【解析】(I )由題青知當(dāng)料巴 2 時(shí)ar=6M+ 5,當(dāng)M= IB寸，白二S二11,所以.礙=6n+5+設(shè)數(shù)列仮的公差為乩所以4=餉+1又Tn二G C2cCn，得Tn=3 2 223 234 244川(n 1) 2n1,2Tn=3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,兩式作差，得-Tn=3 2 2223242n 1-(n 1) 2n 2=3 44(2一1)-(n 1) 2n 221(n)由(i)知(6n 6)n 1(

13、3n 3)n= 3(n 1) 2n 1,可解得所以Tn=3n 2n 2【解析】（I）由已紙有仏+碼）（込+礙）二（碼 5）-仏 5）,即 所以約-1）,又因?yàn)楣?,故角二化，由化得2當(dāng)?1 = 2斤一1(覘E AY時(shí)an =悅打it w JV*)時(shí)a耳 211-六1 1 1 11111 1【2015 江蘇高考,* 111】數(shù)列an滿足c =1，且an屮an=n+1（nN），則數(shù)列一的前10 項(xiàng)和為【答案】2011【解析】由題意得:ann(n +1)an= (a._ a.丄)(a._a./)亠亠(a：_ aj a = n n _ 1 亠 亠 2 1 =1 2n20所以 ann n 1）$=2（1

14、百心市金二石1 .2(-a【2015 高考天津，理 18】（本小題滿分 13 分）已知數(shù)列an滿足an 2=qan(q為實(shí)數(shù)，且q =1),n N*, a1,a2，且a?+a3,a3+a4,a4+比成等差數(shù)列（I）求q的值和an的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)bnlog2a2na2n,nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【答案】(I)an22,n為奇數(shù),；(II)Sn=4-2n_L22, n為偶數(shù).所以歸J的通項(xiàng)公式為衛(wèi)為偶數(shù)(II)由(I)得bn二lOg232na2n 42n設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn，則盧十廠肓+3專(zhuān)沁歹 兩式相減得1_n 2nn22 n12n2n2n，1 -2整理得Sn=44-齊衛(wèi)【201

15、5 高考四川，理 16】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2 務(wù)-印，且ca1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列；的前 n 項(xiàng)和Tn，求得1T”沖10100成立的 n 的最小值.【答案】(1)an=2n；( 2)10.【解析】(1)由已知 -2應(yīng)廠 有耳二打一=2務(wù)一2衛(wèi)小 D?從而a；= 2ax.嗎4碼一又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,即內(nèi)+偽=2(+1).所以旳+4珂二2(加+1),解得碼=2所嘆，數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列一因?yàn)?9=512 0,a2 an=錯(cuò)誤！未找到引用源。(I)求an的通項(xiàng)公式;1 S 122 2223所以數(shù)列 的前n項(xiàng)和為1所以a1 11 11尹丿222

16、32n1-2由|Tn-1卜:，得11-匚-1|0 Sa=Il-+ n.于是ai:=Si=2時(shí)，3s Sn Sn-i=n* 4-n一(n一1)亠 一(n 1=2口.綜上，數(shù)列血的通項(xiàng)為旳5.( 2013 湖南卷)設(shè) Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，Sn=(1)n(1)a3=_；S1+ S2+ + S100= _ 2n + 22n + 1.r2n + 2所以升=2n+12n + 1(2)證明：宙于3a=2lb th=(且 +(n+2)尸汀懇一(n+2),掙一*+妒*+_旺十11TD=:5+12+點(diǎn)5+2打-宦十2】(n+ 1)2(n + 2)1*an尹 n N，則16【解析】：(1)設(shè)等差數(shù)列an的

17、首項(xiàng)為 a1,公差為 由S4= 4S2, a2n= 2an+ 14a1+ 6d = 8a+ 4d,得 L(2n1) d=2a1+ 2( n 1) d+ 1,【解析】-尋(琥磊1111；解析因空=(則S；= -a：-；空=34-話解得趙當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S=a3-當(dāng)口為奇數(shù)時(shí)，乞二一込一若 可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)亦=一占/1、f又S1 + S：+ . + S00=(-ai-；+laa1Anc 1、f-+ 一觀一斎；+VIM I1aj+取+一aw+3】oo1亍+元+丁 櫛帥fi、=Sioi_aioi(1-丄)V2V=1_空口3 2出專(zhuān)32：旳I；6.( 2013 山東卷)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn,

18、且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式;+ 1設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn,且Tn+豊廠=入(為常數(shù))，令 Cn=b2n(n N )，求數(shù)列Cn的前 n 項(xiàng)和 Rn.d.解得 ar= 1,d = 2,因此 an= 2n 1, n N(2)由題意知故Cn=b2n= 22n-12n2=(n -1)n1*,* N.所以Rn= OX1+1X1I 2X1 3X1 31I1X1 2+2X1 3+(n2)+ + (n 1)n1則1JRn= OX廣1+ (n 1)兩式相減得3R= ,Rn1(n 1)16n亡嚴(yán) r、r r L門(mén) 口一 1門(mén)一 2Tn=入2_1, 所以 n2吋，b

19、n= Tn Tn-1= += ?n-11_ |1 屮44inT -(n-1)41-4_ 1_ 1 + 3n |，1 屮=3 3 4 ， 整理得 Rn= 94 -34+1.所以數(shù)列Cn的前 n 項(xiàng)和 Rn= %3nn+11.941. 等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2n+1,其前n項(xiàng)和為S,則數(shù)列 晉的前 10 項(xiàng)的和為()A.120B.70C.75 D.100【答案】CSQ10X9【解析】析因?yàn)?n+2,所以 U 的前 10 項(xiàng)和為 10 3+2 = 75.2. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S,已知 S = 1 2+ 3 4 +, + ( 1)n1n,則 S7=()A.9B.8C.17D.16【答案

20、】A【解析】 -二1一2 + 3 4 + 5 6 + “+15-16+17 = 1+ (-2+3) + (-4+5)十(一6 +*?) + + ( L4 +15)+ (-16+17) = 1 + 1+1+- +1=9.3. 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= ( 1)n1 (4n 3)，則它的前 100 項(xiàng)之和 S。等于()A.200B. 200C.400D. 400【答案】B【解析】析Soo= (4 1 3) (4 2 3) + (4 3 3) , (4 100 3) = 4 (1 2) + (3 4) + , +(99100)=4X(50)= 200.4. 已知數(shù)列 5, 6, 1 , 5,該數(shù)列

21、的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前 16 項(xiàng)之和S6等于()A.5B.6C.7D.16【答案】C【解析】析根據(jù)題意這個(gè)數(shù)列的前7 項(xiàng)分別為 5, 6, 1 , 5, 6, 1, 5, 6,發(fā)現(xiàn)從第 7 項(xiàng)起，數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6,前 6 項(xiàng)和為 5+ 6 + 1 + ( 5) + ( 6) + ( 1) = 0.又因?yàn)?16= 2 6+ 4,所以這個(gè)數(shù)列的前16 項(xiàng)之和S16= 2016=a1+a2+a3+a4+as+a6+, +a2 015+a2 016=(a1+a3+a5+, +a2 015)+ (a2+a4+a6+, +a2 016

22、)1 008 1 008、1 2 2 ( 1 2 )1 008=千 h +(12)= 3 T1 008 3.故選 B.二0二色+ 二2013二直+乞十0=2000倉(cāng)=13依次可得圖二1000& = 13 101-3；由此可知 Sr-：+ + 工-=08 .已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,?n N*2S=a2+an,令bn=一尸- 尸a科an+1+an+討an為T(mén)n,則在T1,T2,T3, , ,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為【答案】9| 昂二吐一- 13U+ 1=2013,a=1013,民二1000,2 016丄A.21 008B.3 2C.3 21 0081D.3 21 007 22. . a ,

23、as,a5,成等比數(shù)列；a2,a4,a6,an6.在等差數(shù)列an中,ai0, az a*0，若此數(shù)列的前10 項(xiàng)和So= 36,前 18 項(xiàng)和Sis= 12,則數(shù)列|an|的前 18 項(xiàng)和Tis的值是【答案】 60【解析】析 由a10,a10an 0,a* 0,.Ti8=a1+,+a10 an ,a18=So (S8So) = 60.7.整數(shù)數(shù)列an滿足an+2=an+1an(n N)，若此數(shù)列的前 800 項(xiàng)的和是 2013，前 813 項(xiàng)的和是 2000,則其前 2015 項(xiàng)的和為【答案】 13【解析】由 07=缶-：一 S彳導(dǎo) 色= 酢一日”=a-； ；易得該數(shù)列是周期為 e 的數(shù)列，目斗；十，設(shè)bn的前n項(xiàng)和【解析】/2=s；+2?/ 1+ 2+ 3+, +n=n n+1 iB 2 a- =. + a-. a=（比-L+ 龜）（是 7