92總體百分位數(shù)的估計(jì)

1、922總體百分位數(shù)的估計(jì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解白分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.在學(xué)習(xí)和應(yīng)用百分位數(shù)的過程中，要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行計(jì)算，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知識探究教材知識探究?悄境引入某省數(shù)學(xué)考試結(jié)果揭曉，根據(jù)規(guī)定，0.8%的同學(xué)需要補(bǔ)考問題那么如何確定需要補(bǔ)考的分?jǐn)?shù)線呢提示利用百分位數(shù)計(jì)算？p新知延理1?第p百分位數(shù)的定義第50百分位數(shù)就是中位數(shù)，中位數(shù)是百分位數(shù)的特例，百分位數(shù)是中位數(shù)的推廣一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小丁或等于這個值，且至少有(100-p)%

2、的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2. 計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i=nxp%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).四分位數(shù)25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).教材拓展補(bǔ)遺微判斷若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù).(V)若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)

3、據(jù)大于23.(X)若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.(V)提示2.若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)小于或等于23.微訓(xùn)練下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.63.2B.3.0C.4.4D.2.5解析把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10X25%=2.5,不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù).答案A下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)的說法正確的是()

4、第50百分位數(shù)就是中位數(shù)總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于它的可能性一定是50%它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)據(jù)它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)解析由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B,C,D錯誤.答案A微思考1.班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！保@里的“90%”是百分位數(shù)嗎？提示不是.是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比2.“這次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？提示有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績小丁或等于85分.課皇旦功IS9WII1題型一百分位數(shù)的計(jì)算【例1】從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)雖(單位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8

5、.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,50,95百分位數(shù)；請你找出珍珠質(zhì)雖較小的前15%的珍珠質(zhì)雖；若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標(biāo)準(zhǔn)解(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因?yàn)楣灿?2個數(shù)據(jù)，所以12X25%=3,12X50%=6,12X95%=11.4,8083則第25百分位數(shù)是名丁=8.15,85+85第50百分位數(shù)是二=8.5,第95百分位數(shù)是第

6、12個數(shù)據(jù)為9.9.(2)因?yàn)楣灿?2個數(shù)據(jù)，所以12X15%=1.8,則第15百分位數(shù)是第2個數(shù)據(jù)為7.9.即產(chǎn)品質(zhì)雖較小的前15%的產(chǎn)品有2個，它們的質(zhì)雖分別為7.8,7.9.由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g,第50百分位數(shù)為8.5g,第95百分位數(shù)是9.9g,所以質(zhì)雖小丁或等于8.15g的珍珠為次品，質(zhì)雖大于8.15g且小丁或等于8.5g的珍珠為合格品，質(zhì)雖大于8.5g且小丁或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)雖大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品.規(guī)律方法計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；算i:計(jì)算i=nXp%;(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，

7、大于i的最小整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)？繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是(【訓(xùn)練1】如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：C)的情況-2B.OC.1D.2解析由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：一3,一2,一1,-1,0,0,1,2,2,2,因?yàn)楣灿?0個數(shù)據(jù)，所以10X80%=8,是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百I)I2JS7BUlphlJ)2+2分位數(shù)是于二2.答案D題型二百分位數(shù)的綜合應(yīng)用【探究1】第p百分位數(shù)有什么特點(diǎn)？提示總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小丁

8、或等于它的可能性是p%.【探究2】某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎？為什么？提示不一定？因?yàn)榘凑沼?jì)算第p百分位數(shù)的步驟，第2步計(jì)算所得的i=nxp%如果是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，若第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等，則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在？【探究3】某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電雖劃分為三檔，月用電雖不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費(fèi)，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費(fèi)，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費(fèi).(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月

9、用電雖x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式；為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電雖，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖100民中，今年1月份用電費(fèi)用低于260元的占80%,求a,b的值；(3)根據(jù)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電雖的75%分位數(shù).解當(dāng)0Wx<200時，y=0.5x;當(dāng)200<xW400時，y=0.5X200+0.8X(x-200)=0.8x60;當(dāng)x>400時，y=0.5X200+0.8X200+1.0X(x400)=x140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為0.5x,0<x<200,y=0.8x60,200<x<400

10、,x140,x>400.由可知，當(dāng)y=260時，x=400，即用電雖低于400千瓦時的占80%,結(jié)合頻率分布直方圖可知0.001X100+2X100b+0.003X100=0.8,100a+0.0005X100=0.2,解得a=0.0015,b=0.0020.設(shè)75%分位數(shù)為m,因?yàn)橛秒婋m低于300千瓦時的所占比例為(0.001+0.002+0.003)X100=60%,用電雖低于400千瓦時的占80%,所以75%分位數(shù)m在300,400)內(nèi),所以0.6+(m300)X0.002=0.75,解得m=375(千瓦時)，即用電雖的75%分位數(shù)為375千瓦時.規(guī)律方法由頻率分布直方圖求百分位數(shù)

11、的方法(1)要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率一般采用方程的思想，設(shè)出第p百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可.【訓(xùn)練2】某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組(第一組：20,25),第二組：25,30),第三組：30,35),第四組：35,40),第五組：40,45),得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人.(1)求x;求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；以下是參賽的10人的成績：90,96,97,

12、95,92,92,98,88,96,99,求這10人成績的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價參賽人員對“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?解第一組頻率為0.01X5=0.05,5所以x=100.0.05由圖可知年齡低于30歲的所占比例為40%,年齡低于35歲的所占比例為70%,所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)在30,35)內(nèi)，由30+5X登書二弓？32,0.70一0.40所以抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)為32.把參賽的10人的成績按從小到大的順序排列:88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,計(jì)算10X20%=2,所以這10人成績的20%分位數(shù)為一A=91

13、,這10人成績的平均數(shù)為110(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3.評價：從第20百分位數(shù)和平均數(shù)來看，參賽人員的認(rèn)知程度很高感想：結(jié)合本題和實(shí)際，符合社會主義核心價值觀即可核心素養(yǎng)iei至。提升i|,、素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用百分位數(shù)，里點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時，掌握其步驟：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；計(jì)算i=nxp%;若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).A. 二、素養(yǎng)訓(xùn)練已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,貝U下列說法正確的是

14、()這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小丁或等于9.3把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)解析因?yàn)?00X75%=75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3,選C.1. 答案C數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是.解析因?yàn)?X30%=2.4,故30%分位數(shù)是第三項(xiàng)數(shù)據(jù)8.4.答案8.4一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為

15、.nrrIIVif1解析樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為（0.08+0.02）X4=0.40,樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40+0.09X4=0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在10,14）內(nèi)，估計(jì)此01100樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10+燎X4=±00.0.369答案罟求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù)13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20,解把12個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,計(jì)算12X25%=3,12X50%=6,12X75%=9,所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為些+里=16.5,20+22第

16、50百分位數(shù)為20產(chǎn)=21,第75百分位數(shù)為27嚴(yán)=27.5.課后作業(yè)11基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是（）14B.17C.19D.23解析因?yàn)?X70%=5.6,故70%分位數(shù)是第六項(xiàng)數(shù)據(jù)23.答案D2.以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,則這15人成績的第80百分位數(shù)是（）A.90B.90.5C.91D.91.5解析把成績按從小到大的順序排列為:56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,9

17、4,98,成績的第80百分位數(shù)是一廠=90.5.因?yàn)?5X80%=12,所以這15人答案B3. 某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)雖，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)員的更要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示?估計(jì)棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)B.29.5mmA.29mm是()D.30.5mmC.30mm解析棉花纖維的長度在30mm以下的比例為(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)X5=0.85=85%,在25mm以下的比例為85%25%=60%,因此，80%分位數(shù)一定位于:25,30）內(nèi)，可以估計(jì)棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的

18、80%分位數(shù)是29mm.16, 答案A某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,14,12,設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,第50百分位數(shù)為b,則有（）A.a=13.7,b=15.5B.a=14,b=15C.a=12,b=15.5D.a=14.7,b=15解析把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,117,其平均數(shù)a=10X（10+12+14+14+15+15+16+17+17+17）=14.7,由25+5X0A0A=290.850.60=因?yàn)?0X50%=5,所以這10名工人一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為b=15

19、+151. 2答案D已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)(已按從小到大的順序排列):甲組：27,28,39,40,m,50;若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第80百分位數(shù)分別相等，則m等于()A12c10C.3A.7B.yD.7乙組：24,n,34,43,48,52;解析因?yàn)?0%X6=1.8,80%X6=4.8，所以第30百分位數(shù)為n=28,第80百分位數(shù)為m=48,所以m=48=$n28/答案A、填空題某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40),40,60),60,80),80,100，貝U60分為成績的第位數(shù).解析因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)位于20,40),40,60)的頻率之和為(0

20、.005+0.01)X20=0.3,所以60分為成績的第30百分位數(shù).答案30某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：13,14),14,15),15,16),16,17),17,18,得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1:3:7:6:3,那么成績的70%分位數(shù)約為秒.解析成績的70%分位數(shù)為x,因?yàn)?+3+7+60.55,0.85,1+3+7+6+3所以x?16,17),所以0.55+(x16)X卅3+7+6+3二。匚。,解得x=16.5(秒).答案16.5已知30個數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是8.2,這30個數(shù)據(jù)從小

21、到大排列后第18個數(shù)據(jù)是7.8,則第19個數(shù)據(jù)是1+3+7解析由于30X60%=18,設(shè)第19個數(shù)據(jù)為舉那善冬薩冷，解得x=8.6,即第19個數(shù)據(jù)是8.6.答案8.6三、解答題如圖是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，求這7天的日最局氣溫的第10百分位數(shù)和日最低氣溫的第80百分位數(shù).口詁攸咒覘Htta氣溫解由折線圖可知，把日最高氣溫按照從小到大排序，得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因?yàn)楣灿?個數(shù)據(jù)，所以7X10%=0.7,不是整數(shù)，所以這7天日最高氣溫的第10百分位數(shù)是第1個數(shù)據(jù)，為24C.把日最低氣溫按照從小到大排序，得12,12,13,14,

22、15,16,17,因?yàn)楣灿?個數(shù)據(jù)，所以7X80%=5.6,不是整數(shù)，所以這7天日最低氣溫的第80百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，為16C.10.某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2019年11月11日的網(wǎng)購金額據(jù)如下表：,所得數(shù)(1) 試確定x,y,p,q估計(jì)網(wǎng)購金額的解(1)根據(jù)題意有:網(wǎng)購金額(單位：千元)人數(shù)頻率(0,1160.08(1,2240.12(2,3xP(3,4yq(4,5160.08(5,6140.07合計(jì)2001.00已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3:2.(I(I0C)好0OO()n-:is?/rk.的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);25%分位數(shù)(結(jié)果保

23、留3位有效數(shù)字).16+24+x+y+16+14=200,16+24+x=3y+16+14=2,x=80,解得y=50.所以p=0.4,q=0.25.補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示由可知，網(wǎng)購金額不高于2千元的頻率為0.08+0.12=0.2,網(wǎng)購金額不高于3千元的頻率為0.2+0.4=0.6,所以網(wǎng)購金額的25%分位數(shù)在（2,3內(nèi)，則網(wǎng)購金額的25%分位數(shù)為2+警-擰X1=2.125"2.13（千元）.0.60.2能力提升數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位數(shù)是4.5,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.4.5,+x）B.4.5,6.6）C.（4.5,+

24、x）D.（4.5,6.6解析因?yàn)?X65%=5.2,所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)4.5,則x>4.5,故選A.答案A某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層隨機(jī)抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30）,30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖:settoso6()ao40井ft(1)估計(jì)總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于70的人數(shù)；已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；根據(jù)該大學(xué)規(guī)定，把15%的學(xué)生劃定為不及格，利用中的數(shù)據(jù)，確定本次測試的及格分?jǐn)?shù)線，低于及格分?jǐn)?shù)線的學(xué)生需要補(bǔ)考？解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)X10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)/、于70的頻率為10.6=0.4.所以估計(jì)總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于70的人數(shù)為400X0.4=160.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)X10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100100X0.9-5=5.所