專題--數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn=na二na1 n（nd）d2、na1等比數(shù)列求和公式：Sn = a1 (1 - qn) _ a -anq1 -q 1-q(q =1)(q = 1)3、n 1Sn = " k n(n 1)25、例1已知

2、log3 x4、Sn一 21_=" k = -n(n 1)(2n 1) 6-123n,求 x+x +x + ' + xlog 2 3的前n項(xiàng)和.解：由log3 x由等比數(shù)列求和公式得Sn = x x2（利用常用公式）n 一 (1 一x(1 -x ) _ 21-2)1=1 一 2nS例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ - +n , nC N，求 f (n) =n(n 32)Sni的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得一 1一 1 ,Sn = - n(n +1), Sn = (n +1)(n + 2)22（利用常用公式）f(n) =Sn(n 32)512n2 34n 64164n 34

3、n1« -8-)2 +5050.n81.當(dāng)"即n=8時(shí)fm,'=50、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前項(xiàng)和，其中 an、 bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和:Sn =1+3x+5x2 +7x3+十（2n1）xn解：由題可知，（2n - 1）xn的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn的通項(xiàng)之積（設(shè)制錯(cuò)位）設(shè) xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2n -1)xn一得 (1 -x)Sn =1 +2x + 2x2 +2x3 +2x4 + + 2xn-(2n-1)xn(錯(cuò)位

4、相減)1 - xn再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 2x-（2n -1）xn1 -xSn(2n -1)xn 1 - (2n 1)xn (1 x)(1 -x)2小 246例4求數(shù)列, ,2 2 2解：由題可知,設(shè)Sn二2222n2n41的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列丁的通項(xiàng)之積 2n.旦.空2n2223-得(1)&22 42n 122222= 十 + 十 十 一，十一2 八3 八42 222-12n=2 - ni ' -nr222n2n2n，1（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）Sn =4 一2n 4、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一

5、個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)（a1 +an）.例 5求證：C0 +3C： +5C2 + （2n +1）C： =（n+1）2n證明：設(shè) Sn =C0 +3C： +5c2 +，,十(2n 十 1)cn .把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn =(2n +1)C：十(2n 1)C：十，-3Cn +C0(反序)又由CnCq可得Sn =(2n+1)C0+(2n1)Cn + +3C；+Cn.+得2Sn =(2n+2)(C0 +Cn + . + Cn1J+Cnn) = 2(n+1) .2n(反序相加)Sn =(n 1) 2n2 ”一22 "一.2"一2 仁例 6求si

6、n 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 的值222，22_斛：設(shè) S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 將式右邊反序得_2,2'2-2 一.2-/1»、S =sin 89 +sin 88 + + sin3 +s i n 2 +sin1 .(反序)22又因?yàn)?sinx=cos(90 - x), sin x cos x=1+得(反序相加)_9 O .90.9 _,9 _ O_ . _9 _ _ <5 _9 _ _ Q2s =(sin 1 +cos1)+(sin 2 +cos 2 ) + '&

7、#39; +(sin 89 +cos 89)=89S= 44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或 常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可111._例7求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1+1,一十4,二十7，；一nTj+3n 2 , a aa111解：設(shè) Sn = (1 1) (4) ( 2 7) 士 -L (-n7 3n -2)a aa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得(分組)(分組求和)-111Sn = (12=)(1 4 7 3n -2)a a a(3n -1)n(3n 1)n當(dāng) a= 1 時(shí)，Sn = n + =221-na - a (3

8、n -1)na -121-4 g .當(dāng) a#1 時(shí)，Sn =a- + (3n 1)n12a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak = k(k 1)(2k 1) = 2k3 3k r 11一 n(n 1) (n 1)(n 2) knn.32Sn =£ k(k+1)(2k+1) = £ (2k +3k 十k)k 1k 1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nnn（分組）（分組求和）Sn=2£ k3 +3Z k2 +Z kk 1k 1k 4= 2(13：23，n3)：: 3(1222n2)(1 2，n)22_n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1

9、)2222_n(n 1) (n 2)2五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1) an - f (n 1) - f(n)(3)an1 _1n(n 1) n(4) an(2n)2(2n -1)(2n 1)11=1 (2 2n -112n 1sin 1, ”<-(2) e：=tan(n+1) -tan ncosn cos(n 1)（5）an1n(n -1)(n 2)(6)_ n 2 n(n 1)12(n 1) -n 1=->2n n(n 1)2n1_1n

10、 2n(n 1)2n，則 Sn =1 1(n 1)2n 111、八一例9 求數(shù)列 ,=, ;，的刖n項(xiàng)和.1223. n % n 1（裂項(xiàng)）解：設(shè) an =,= Jn +1 一匹.n % n 1Sn11.21 . 1.2.3. n n 1（裂項(xiàng)求和）=(、.2 - . 1) ( 3 - 2),卜(-.n 1 - , n)例 10在數(shù)列an中,an 二n2一，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.a n 'an 1解:bnn 1 n 111=8()n n 1（裂項(xiàng)）例 11求證:2 2數(shù)列b n的前n項(xiàng)和111111Sn=8(1-2)(5-3)(3-/(-1 =8(1一38ncos0 cos1 cos

11、1 cos2)cos12 /cos88 cos89 sin 1（裂項(xiàng)求和）解:sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂項(xiàng)）S 二 cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89（裂項(xiàng)求和）1一. . _一,一(tan 1 -tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 -tan 2 ) tan 89 - tan 88 sin 1sin 11cos1«(tan 89 -tan 0 ) =： cot 1 =2-sin 1sin 1原等式成立六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)

12、列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179°cosn = -cos(180 -n（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn= (cos1° + cos179° ) + ( cos2° + cos178° ) + (cos3° + cos177° ) +

13、 + (cos89° + cos91° ) + cos90°0（合并求和）例 13數(shù)列an： a =1,a2 =3,a3 =2,an+=an+an,求 S2002.+: + + cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89解：設(shè) S2002= a1 - a2 -a3 一一 a2002由 a1 =1, a2 = 3, a3 = 2, an妥=an中一 an 可得a4 = -1, a5 = -3, a6 - -2,a7 = 1, a 8 = 3,a§ = 2, aio = -1, a1i 二 一3, a12 二 一2,a6k 1 - 1,a

14、6k2 - 3, a6k 3 = 2,a6k;：；4-1,a6k;：5二-3,a6k 6 = -2,a6k書(shū)a6k也'a6k書(shū),a6k44 +a6k書(shū)* a6k由=0(找特殊性質(zhì)項(xiàng))S2002= a1 +a2 +a3 + + a2002(合并求和)=(a1 a2a3a6 )( a7 a8，a12 ) ' '(a6k 1 , a6k-2 ' ，a6k 6 ) ' (a1993 ' a1994 ' ' ' ' ' a1998 ) ' a1999 ' a2000 ' a2001 '

15、 a2002=a1999 ' a 2000 . a2001 ' a2002=a6k 1 ' a6k 2 ' a6k 3 ' a6k 4=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 =9，求log 3 a1十log 3 a2 +十log 3 a10的值.解：設(shè) Sn =lOg 3 a110g 3 a2 - 10g 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m + n = p+q = aman = apaq(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga M + loga N = loga M . N 得Sn =(log3a1 + log 3 a10 ) + (log 3 a2

16、 + log 3 a9)+,+(log 3 a5 + log 3 a6 )(合并求和)=(log 3a1 a10) (log 3 a2 a9)- Flog 3 a5 a6)=log 39 10g 3 9 - log 3 9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 1 +11 +111 +Ut 二1 之和.（找通項(xiàng)及特征）（分組求和）解：由于 1111 =2999 9 = 1(10k -1)一苗一9 一百191 11 111 -7111n個(gè)1111 O 1,1(101 -1) -(102 -1) -(103 -1)(10n _1)99991123n 1=(10 1卜 10 1'10 ''' 10 )(1，1 >1 ，1)99一百丁1 10(10n -1) n910 -19=(10n 1 -10-9n)81例16已知數(shù)列an： an(n 1)(n 3)00，求£ (n