高等代數(shù)北大版第5章習題參考答案

1、1)4x1x2 2x1x32x2 x3;2)2cC 2x12x1x22x24x2x3 4x2;3)x； 3x2 2x1 x22x1 x3 6x2x3 ；4)8x1x4 2x3 x4 2x2x3 8x2x4 ；5)x1x2x1x3x1x4 x2x3x2x4x3x4;6)2c 22,"CCCCx12x2 x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2M2x3x4;7)x； x； x2 x2 2x1x2 2x2x3 2x3x4。解1）已知f ”,乂2?34x1x22x1x3 2x2x3 ,第五章二次型1.用非退化線性替換化下列二次型為標準形，并利用矩陣驗算所得結果。最后將（2）代入（1

2、）,可得非退化線性替換為先作非退化線性替換x1y1y2x2y1y2(1)x3y34y124y2 4y1y34y124y1y32Y34y；2y13y3再作非退化線性替換y1y212 z1z212 z3(2)y3Z3則原二次型的標準形為x1,x2,x3Z24z211XiZlZ2Z322(3)1 1X2-Z1Z2-Z32 2X3Z3112T 012001于是相應的替換矩陣為1212012121且有100TAT040。0012 )已知 f X1 ,X2,X3xj 2x1x2 2X2 4x2x3 4X2,由配方法可得f X1, X2, X32X12x1x22X222x2 4x2x3 4x3X1X2X2于

3、是可令y1X1y2X2X22x3 ,y3X32V2則原二次型的標準形為X1,X2,X3且非退化線性替換為X1y1y22y3X2y22y3X3y3相應的替換矩陣為0 。且有TAT(3)已知X1,X2,X32X13x22x1x22x1X36x2x3,由配方法可得fX1,X2,X32X12x1x22X1X32x2X32X22X34x24X2X3x32于是可令X1X2X322x2X3則原二次型的標準形為且非退化線性替換為X1X2X3相應的替換矩陣為且有TATy1y2y3y1y3X12x2X3y2X2X3X3X1,X2,X32Y12V23y一、3212y322(4)已知 f x1,x2,x3,x48x1

4、x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4 ,先作非退化線性替換xiyiy4X2y2X3y3X4、4X1,X2.X3.X428y1y48y42y3y42y2y38y2y42y42y4yii2y2i8y3i2yii2y2再作非退化線性替換fXi,X2,X3,X4再令則原二次型的標準形為y3i2yii2yi8Tzi2Z2w2W3W4i2y2i2y2yiy2y3y4Z2ZiZ2Z2Z45Z282Z2Z3i2Zi5X24y3i8y3Z3Z33Z3858Z2Xi,X2,X3,X42y2y3V4Z4yiZiV25Z243X3438Z3i4y33Z342y2y3,2w；2w；2w；8w2,Z4且非退化線性替換

5、為W4相應的替換矩陣為且有X3X42T001TAT153-W1W2W3244W2W3W2W3XiX21W1W4(5)已知fx1,x2,x3,x4先作非退化線性替換fx1，x2,x3,x4再作非退化線性替換xx2x/3xx4x?x3x?x4x3x4x2x3x42y1y2y2y3y，22y2V22y32y2y32丫區(qū)2y2y，2%V2V3y4y1Z2Z3yyy31V33y4V4Z4V4則原二次型的標準形為V2y3V4fX1,X2,X3,X4且非退化線性替換為XiX2X3X4相應的替換矩陣為且有(6)已知由配方法可得TATX1，X2,X3,X4fX1,X2,X3,X42X11Z3-Z42Z42Z12

6、Z2Z2ZiZ2Z3Z42x1Z32Z3Z3Z312Z41Z4212Z4，1一Z4212121212x；2X44x1x24印32x1x42X2X32x2x42X3X42x12x22x3x42x22X32X42x22x3 x4 2 2x2X2 2X2X32x2x42X3X42于是可令則原二次型的標準形為且非退化線性替換為故替換矩陣為且有(7)已知f由配方法可得Xi2x222x3x42x2y1x12x22x3x4y2x2V4x3x431x3x42212X331-x3-x422x4x1V12y2V33x2V22y3V4x3V3V4x4V42c212V12y2-y3,2V4TA/p>

7、為“2?3,乂422xx22x32M2x1x22x2x32x3x4,f2,乂2?3442x22x2x1x3x1x322x1x32x3x4x22x2x32x1x3222x32x3x4x4x3于是可令x1x2x3x3x42x1x3x；x2x；x1x22x3x3則原二次型的標準形為且非退化線性替換為相應的替換矩陣為y2X1X2X3y3X3X4y，X1X32222y1y2y2y4X1y1X2y2y，X3y1y，X4y1y3y，10000101yi%且有(1) 在實數(shù)域上，若作非退化線性替換TAT(n)把上述二次型進 退化線性替換。步化為規(guī)范形,分實系數(shù)、復系數(shù)兩種情形；并寫出所作的非解1)已求得二次型

8、fX1,X2,X34X1X22X1X32X2X3的標準形為且非退化線性替換為X1X2X32.22fy14y23y3,11二y1y2二y32211二，y2y22y3yiV2Z312Z2V3可得二次型的規(guī)范形為222ZiZ2Z3。(2) 在復數(shù)域上,若作非退化線性替換yiV2iZi 1 2Z2y3Zi可得二次型的規(guī)范形為2Zi22Z2Z3。2)已求得二次型f X1,X2,X32Xi222x1x2 2x2 4x2x3 4x3的標準形為且非退化線性替換為XiyiX2y2y22 y32 y3,X3y3故該非退化線性替換已將原二次型化為實數(shù)域上的規(guī)范形和復數(shù)域上的規(guī)范形fy；y2。3)已求得二次型Xi,

9、X2, X32Xi3x22x1x22X1X36x2x3XiX2yi的標準形為22fyiy2,且非退化線性替換為3y2y32(1) 在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即22fyiy2。(2) 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換yiziy2iz2。yZ3可得二次型的規(guī)范形為fZi2Z2。(3)已求得二次型fXi,X2,X3,X48X1X22X3X42X2X38X2X4的標準形為_2_2_2_2f2y；2y22y28y2,且非退化線性替換為i5Xi-yi-V2X2V2y3V4X3V2V3iX4-yiy4(i)在實數(shù)域上，若作非退化線性替換yiy2y3y4可得二次型的規(guī)范形為iZ4.

10、2i一Z2,2i2z3i2、2乙2222ZiZ2Z3Z2。(2)在復數(shù)域上，若作非退化線性替換yiV2V3V4izi212z2i2z31z422可得二次型的規(guī)范形為2zi222z2z3z2。(5)已求得二次型X2X4X3X4fXi,X2,X3,X4X1X2X1X3X1X4X2X3的標準形為,22232fyiy2y3y，4且非退化線性替換為1Xiyiy2y3-y42iX2yiy2y3-y42iX3y3-y42X4y4(1) 在實數(shù)域上，若作非退化線性替換yiz2y2ziy3z3，2y4z43可得二次型的規(guī)范形為2222fziz2z3Z4。(2) 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換yiiziy2z2y

11、3iz3，2.y4iz4可得二次型的規(guī)范形為2222fZiZ2Z3Z4。6)已求得二次型f Xi,X2,X3,X4x；2x2x24x1x24x1x32x1x42X2x32x2x42X3X4的標準形為2212fy12y2y3，2且非退化線性替換為x1y12y2y3y,3X2V22V3V4X3y3V4X4V4(1)在實數(shù)域上，若作非退化線性替換y1Z21y2Z32y3-2Z1y4Z4可得二次型的規(guī)范形為222fZ1Z2Z3。(2)在復數(shù)域上，若作非退化線性替換y1iZ1iy2Z2<2,y2Z3y4Z4可得二次型的規(guī)范形為222fZ1Z2Z3。7)已求得二次型X1,X2,X3,X42X12x；

12、 x24x1 x2 4x1 x3 2x1x42x2 X32x2x42X3X4的標準形為2y1且非退化線性替換為x1y1可得二次型的規(guī)范形為1)在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即2)在復數(shù)域上，若作非退化線性替換x2x3x42證明：秩等于r的對稱矩陣可以表成證由題設知且D為對角陣，又因為其中d1y2D1C1222y2y2y4，y4y1y1y4y3y42222fy1y2y2y4。y1z1y2y3y4fz12z2z3iz42z222z3z4。r個秩等于1的對稱矩陣之和。AA且rank(A)11C,C1,C1CAC,D21D1D1CD2r，于是存在可逆矩陣C使CACD，1均為可

13、逆矩陣，所以有D1d21C1D2Dr，,Drdr0DrD2C11C1DrC1。11rankC1DiC11i1,2,r且3證明：C1DiC1DiC1都是對稱矩陣，故C1DiC1CA可表成r個秩為i1i2DiC1。的對稱矩陣之和。in合同，其中i1i2"是1,2,n的一個排列。證題中兩個矩陣分別設為A,B，與它們相應的二次型分別為222A1x12x2nxn，222fBi1y1i2y2inyn，作非退化的線性替換ytxitt1,2,n，則fB可化成fA。故A與B合同。4設A是一個n階矩陣，證明：1 ）A是反對稱矩陣當且僅當對任一個n維向量X，有XAX0。2 ）如果A是對稱矩陣，且對任一個n

14、維向量X有XAX0，那么A0。證1）必要性。因為AA，即aii0,aijajiij，所以XAXaij xi xj i,jaij ajixixjaijaji0，故X AXaij a ji xi xj0。充分性。因為XRn，有XAX0，即2 a11x1a12 a21 x1 x2x1nan1 x1 xna22 x2a2nan2 X?XnannXn0這說明原式是一個多元零多項式，故有alla22ann0,aj aji i即AAo2）由于A是對稱的，且2 aiiXi2a12x1x22ainXi%2 a22 X22a2nX2XnannXn0這說明XAX為一個多元零多項式，故有a11a22ann0,2aj0

15、ajaji0,即A0。5 .如果把實n階對稱矩陣按合同分類，即兩個實n階對稱矩陣屬于同一類當且僅當它們合同，問共有幾類？解實對稱矩陣A與B合同的充要條件為存在可逆矩陣T與C使didrd2TBTCACdi i 1,2, ,r中可分為卜面考慮對角矩陣D的相應二次型的合同分類情況，在r個正，0個負r1個正，1個負2個正，r2個負1個正，r1個負0個正，r個負共計r1個合同類。但秩r又可分別取n,n1,2,1,0,故共有個合同類。6 .證明：一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2且符號差等證必要性。設于0,或者秩等于1。fXi,X2,XnaiXia2X2a

16、nXnbiXib2X2bnXn,其中ai,biii,2,n均為實數(shù)。1）若上式右邊的兩個一次式系數(shù)成比例，即bikaii i,2, ,n不失一般性，可設ai0,則可作非退化線性替換yia*a2X2i 2,anXn,n使二次型化為f Xi,X2,Xnkyi2故二次型fx1，x2,Xn的秩為i。2）若兩個一次式系數(shù)不成比例，不妨設aibia2一 r ,r r上，則可作非退化線性替換b2f Xi,X2 ,Xnym。yiaiXia?X2anXny2biXib2X2bnXn,yXii3,n再令yiZiZ2y2ZiyiZiZ2i3,則二次型可化為fXi,X2,XnVlV2故二次型fXi,X2,Xn的秩為2

17、,且符號差為0。充分性。i）若fXi,X2,Xn的秩為i,則可經(jīng)非退化線性替換ZCY使二次型化fXi,X2,Xnkyi2,其中必為x,x2,Xn的一次齊次式，即IO412A 4214 ,12141ViaiXia2X2且fXi,X2,Xnk&Xia2X2ka1x1ka2X22)若fXi,X2,Xn的秩為2,且符號差為化為22fXi,X2,XnViV2ViV2anXn，2anXnkanXnaiXia2X2an%。0,則可經(jīng)非退化線性替換ZCY使二次型ViV2aiXia2X2anXnbiXib2X2bnXn故fXi,X2,Xn可表成兩個一次齊次式的乘積。7.判斷下列二次型是否正定:1) 99

18、X212x1x248x1x3130x|60x2x371x；2) lOx；8x1x224x1x32x228x2x3x2；n3) X2XiXj；iiiijnnn14） X2XiXii。1 1i1解1）二次型的矩陣為因為199O,故原二次型為正定二次型。2）二次型的矩陣為99624A613030,243071996O,61303|AO,因為A0,所以原二次型非正定。3）記二次型的矩陣為Aa.,其中ijnn>aij1，ij1，12121 ，22，ij112112A1122由于A的任意k階順序主子式所對應的矩陣Ak與A為同類型的對稱矩陣，且k1Ak|12k10k1,2,n,故原二次型為正定二次型。

19、4）記二次型的矩陣為Aaij n n，則A的k級順序主子式為1 121 1 210,故原二次型為正定二次型。4X2X38. t取什么值時，下列二次型是正定的:1) X122X25x22tx1 x22X1X3222) X1 4x22X32tx1 x210x1 x3 6x2 x3由原二次型為正定得解1）二次型的矩陣為1t1At12125因為A的各階順序主子式為110,0,1t13|At12125當原二次型為正定時，有21t20_2-5t4t0一，一一，14解上面不等式組，可得2t0。52）二次型的矩陣為1t5At43,531當A的所有順序主子式都大于零時，即10,4t20,1t53|At43531

20、t230t1050,4t2t230t1050但此不等式組無解,9.證明：如果列指標相同的子式。即不存在t值使原二次型為正定。A是正定矩陣,那么A的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標與證設正定矩陣Aaijnn,作正定二次型nnaijXiXj，并令i1j1則可得新二次型xj,ki,kik2kikiki西xiXj,ik1jk1由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故A的一切i級主子式A0i1,2,n。10.設A是實對稱矩陣,證證明:t充分大之后,tEA是正定矩陣。tE它的k級順序主子式為t而a12a1na21ta22a2nan1an2taa11a12aka21ta22a2kak1ak2takkn

21、n當t充分大時，kt為嚴格主對角占優(yōu)矩陣的行列式，且tanaaiji1,2,故kt0k1,2,n，從而tEA是正定的。11.證明：如果A是正定矩陣，那么A1也是正定矩陣。證因A是正定矩陣，故XAX為正定二次型，作非退化線性替換也是對稱矩陣，故111YAYYAAAYXAX0,從而YA1Y為正定二次型，即證A1為正定矩陣。12 .設A為一個n級實對稱矩陣，且 A 0 ,證明：必存在實 n維向量X 0,使XAX0。證因為A0,于0,所以rankAn,且A不是正定矩陣。故必存在非退化線性替換XC1Y使XAXYCiACYYBY2yi2V222ypyp2yp2且在規(guī)范形中必含帶負號的平方項。于是只要在yi

22、V2ypyp2yn1,則可得一線性方程組Gixici2x2cinXnCpiXiCp2X2cpnxnCpi,iXiCpi,2X2cpi,nXnicniXiCn2X2cnnXn由于C0,故可得唯一組非零解XsXis,X2s,Xns使XsAXs00即證存在X 0,使 XAX0。i3 .如果A, B都是n階正定矩陣，證明:A B也是正定矩陣。證因為A,B為正定矩陣，所以XAX,XBX為正定二次型，且XBX0,因此X A B X XAXX BX 0,于是X A B X必為正定二次型，從而A B為正定矩陣。i4.證明：二次型fXi,X2,Xn是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。證必要性。采用反

23、證法。若正慣性指數(shù)p秩r,則pr。即22222fXi,X2,Xnyiy2ypypiy，若令yiy2yp°,ypiyri,則可得非零解x1,x2,xn使fx1,x2,xn0。這與所給條件fx1,x2,xn0矛盾，故pr。充分性。由pr，知22fx1,x2,xny1y22yp，故有fx1,x2,xn0，即證二次型半正定。15證明：n2nxii1nxii12是半正定的。2xi1i1可見：故原二次型xi2x11)2)2nx12x2n12x2xn2x12x22xn2xn2x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xn2x12x22xn2x1x22x1xn2x2x32x1x22xn1xn)2

24、22x2x12x1x3x3xn212xn1xn2xn2xixj。nx1,x2,xn不全相等時x1,x2,xnxinxj0。x1x2xn時x1,x2,xnxinxj0。fx1,x2,xn是半正定的。16設fx1,x2,xnXAX是一實二次型，若有實n維向量Xi,X2使X1AX0，X2AX20。證明：必存在實n維向量X00使X0AX00。設A的秩為r，作非退化線性替換XCY將原二次型化為標準型222XAXd1y12d2y22dryr2，其中dr為1或-1。由已知，必存在兩個向量XX2使2) x1 x2x2x3xn 1 xn ；X1AX10和X2AX20，故標準型中的系數(shù)d1 ,yp q1 ，,dr

25、不可能全為1,也不可能全為-1。不妨設有p個1,q個-1,且pqr，即2222XAXy12y2py2p1yp2q，這時p與q存在三種可能：pq，pq，pq下面僅討論pq的情形，其他類似可證。令y1yq1，yq1yp0，yp1則由ZCY可求得非零向量X0使2222X0AX0y1ypyp1ypq0，即證。17A是一個實矩陣，證明：rankAArankA。證由于rankArankAA的充分條件是AX0與AAX0為同解方程組，故只要證明AX0與AAX0同解即可。事實上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即證AX0與AAX0同解，故rankAArankA。注該結論的另一證法詳見本章第三部分（補充題

26、精解）第2題的證明，此處略。補充題參考解答1用非退化線性替換化下列二次型為標準型，并用矩陣驗算所得結果：1)x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；3)XiXj;1ijn4)XiX1X2Xn111作非退化線性替換XiyiX2V2y2n 1Xnynyn 1Xnynyn 1X2n 1V2yi2y12y22yn2yn2y2n 12y2n，X2nTY,則原二次型的標準形為且替換矩陣01101001TAT其中1111100000111111100011且當2)yiX1X2X3y2X1X2X3n為奇數(shù)時,作變換yiyi 1ynX1X2X2X32V2yiV2yiV2X1X2X2X3XiXi 12Xi

27、2XiXi 1 Xi 2135,nXnXn 1Xn2V22V32V422yn 2 yn 1 ,4k 1時，得非退化替換矩陣為當n4k3時，得非退化替換矩陣為110故當n為奇數(shù)時,當n為偶數(shù)時,都有TAT作非退化線性替換yiyiynynX1X2x2x3XiXi1Xi22XiXi1Xi22xn12Xn1X2xnxn1xn2y12y22y3135,n于是當n4k時，得非退化替換矩陣為于是當n4k2時，得非退化替換矩陣為2V422yn1yn，1111111100001111T1100故當n為偶數(shù)時，都有TAT3）由配方法可得X1Xj j 2X2xjxn1-Xnnn 1 2Z- Xn，2n于是可令y1X

28、1y2X2Xj j 2nXj j 3ynXnynXn則非退化的線性替換為XiX21y12 y2113y3Yn 11 ynnV2yn1 ynnXnyn1 ynnxnyn且原二次型的標準形為2y14y22n2 zi22 n i相應的替換矩陣為d1111123n1n111013n1n11001n1n10001n00001T又因為1111222111122211112221111222A所以由于4）令TAT原式XiX2XnXnyiVi0000030004400006000n02ni0000nyiV2YnYn2yiyiVX2XnXn2y2yiXiynyiyi2ynVyiyjynVV324z2n 2一 Z

29、n2322z1一Z22其中所作非退化的線性替換為yiZiV2Z212Z213Z313Z31Z441Zn1n111znZnynynZn故非退化的替換矩陣為nXii1X1X,X2X,X111111,XnX2n111n111nnnnnnX1n111n11Xnnnnnn11n111n1xnnnnnnX12nXnX1,X2,Xx所以2.設實二次型證明：f的秩。Xl,X2,ZAZTATfXi,X2,n111nnnX11n11xX2nnn11n1Xnnnn000030002400030n000n100002sai1X1a2X2ainXn20000,xn,Xxi1X1,X2,Xn的秩等于矩陣aiia12ain

30、a2ia22a2nasias2asn設rankAr,fXi,X2,AAX卜面只需證明rankAr即可。由于rankArank故存在非退化矩陣P,Q使從而八ErPAQr0PAEr0PAAPEr0Er0000，01由于Q1Q1即證rankA3.設其中l(wèi)iErPAAPr0是正定的，因此它的rankAA。fXi,X2,1,2,p負慣性指數(shù)BrCq是Xi,X2,設libi1X1b2X2fX1,X2,Xn的正慣性指數(shù)為s,VG1X1使得fXi,X2,Xn卜面證明sPO采用反證法。該方程組含pns個方程,fa1，a2,an上式要成立,必有BrDEr0Br0r級順序主子式l2l21Br,xn的一次齊次式,bi

31、nXn秩為i1,2,0,從而AA的秩為r。證明：fX1,X2,Xn的正慣性指r,則存在非退化線性替換ci2X2cinXn1,2,n,l；l2l2l2qbi1X1bp1X1Csi,iXi“Xi22ysys12yr°P,考慮線性方程組b1nXn0bpnXn0cs1,nXncnnXn小于未知量的個數(shù)lp1lpq故它必有非零解a1,a2,2ys，這就是說，對于x1a1,x2a2,xnan這組非零數(shù)，有yi02Q這與線性替換YCX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以同理可證負慣性指數(shù)r4.設P。p,即證。AiA21A2A22是一對稱矩陣，且A10證明:存在T使TATAi00一,其中表不個級數(shù)與A2

32、2相同的矩陣。證只要令T注意到A12則有TATA21A11Aii11A21A11Ai1EA12Aii1AiA21A2A22i.A11Ai2EAii0Ai21A21AiA12A22Ai11A2Aii0即證。5.設A是反對稱矩陣，證明:A合同于矩陣0證采用歸納法。當n1時，A0合同于0,結論成立。下面設A為非零反對稱矩陣。當n2時A0ai2第2行乘a12101比0第2歹怵a；10，01人，故A與合同，結論成立。10假設n k時結論成立，今考察 n0k 1的情形。這時aka1,k 1Aaka1,k 10 ak,k 1ak,k 10如果最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設,結論已證。若不然，經(jīng)過行列

33、的同時對換,1不妨設ak,k10,并將最后一行和最后一列都乘以，則A可化成ak,k10a1kb1ak01b110再將最后兩行兩列的其他非零元bi,aiki1,2,k化成零，則有0b1,k100b1,k100000010010由歸納假設知010b1,k1與10b1,k10合同，從而A合同于矩陣再對上面矩陣作行交換和列交換，便知結論對1級矩陣也成立，即證。c,使對任一個實n維向量X都有XAXcXX o6.設A是n階實對稱矩陣，證明：存在一正實數(shù)證因為XAXaj 為 Xji,jajXiXji,jmaXai,j利用XiXjXAX ai,jXiXj2Xi2xj可得XAX2Xiai,j2Xjan2X2 c

34、X X ,其中7an,即證。主對角線上全是 1的上三角矩陣稱為特殊上三角矩陣。1)設A是一對稱矩陣，T為特殊上三角矩陣，而BTAT,證明：A與B的對應順序主子式有相同的值；2）證明：如果對稱矩陣A的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣TAT成對角形；3）利用以上結果證明：如果矩陣A的順序主子式全大于零，則XAX是正定二次型。證1 ）采用歸納法。當n 2時，設a21a12a22B TAT0 a11a12b a111 a21a22考慮B的兩個順序主子式：B的一階順序主子式為a11,而二階順序主子式為BT|A|T1?A?1A,與A的各階順序主子式相同，故此時結論成立。歸納假設結論對n1階矩

35、陣成立，今考察n階矩陣，將A,T寫成分塊矩陣Tn1An1T,A01ann其中Tn1為特殊上三角矩陣。于是_Tn10An1Tn1B1ann011An1TnBn1Tn 1 An 1Tn 1的順序主子式與入1由歸納假設，B的一切n1階的順序主子式，即Bn1的順序主子式有相同的值，而B的n階順序主子式就是B,由BT|A|T1?A?1A,知B的n階順序主子式也與A的n階順序主子式相等，即證。2）設n階對稱矩陣Aaj,因a110,同時對A的第一行和第一列進行相同的第三種初等變換，可以化成對稱矩陣a110,0b22A0bn20b2na1100Bn1bnn一，,a11于是由1）知£0,從而b220,再對Bn1進行類似的初等變換，使矩陣A的第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此繼續(xù)下去，經(jīng)過若干次行列同時進行的第三種初等變換，便可以將A化成對角形Bo由于每進行一次行、列的第三種初等變換，相當于右乘一個上三角形陣Ti,左乘一個下三角形陣Ti,而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在T,Ts，使TATB命題得證。）由2）知，存在T使又由所以TATB。1）知B的所有順序主子式與A的所有順序主子式有相同的值，故a11a11a12ai2a2220。a11aii0,ai1所以1,2,因XTY是非退化線性替換，且由于o證明:XAXYTATY21丫122y2n都