高等數(shù)學(xué)(無窮級(jí)數(shù))習(xí)題與解答

1、解ZZJ -I7-9, 8, L0(3)1n=1(T尸5&1LJ 一二5 52 53 54 55練習(xí)111L寫出下列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng):1+11+21+31+41+5-T+P1+213(2h1)= 1 13 135135-71352,42” -2 / 246 246,8 24石 3 15 J05 945 8 48 384 3840I+?1+421+5r“3(21).(%2.42k+七4+忐解I;肥科舞9弄裝工+3+”+儂+.142725631252.寫出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng):(1)1+|+|+|+-«；解一般項(xiàng)為y+吟衿消解一般項(xiàng)為“四242-4-62468十解一般項(xiàng)為修產(chǎn)IIX22!

2、噌與十卻解一般項(xiàng)為/二（-1嚴(yán)嘉3.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:去而不麗;»=1解因?yàn)閟n=(a/2-/1)+(-/3>/2)+(a/4a/3)+,r+(Vw+l>fn)=(J+1-M)T8(”>x),所以級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)1+1+1+-<+-4-I13355-7(2-1)(2什1)解因?yàn)椤?13 3-5 5-711 )(2+1)=2(1"3)+2(3"5)+2(1"7)+V(壯12 - 1 2/7+1ijr1r1rx2V133557=(l_y7T)*'s),22+l2所以級(jí)數(shù)收斂.(3)sin J+sin

3、 孕+sin孽+ sin /+6666解 s=sin J+sing+sin+ sin華 66662 sin(2sin 工£出+2$出烏,出多+ +2工 126126121 , nK msin 126(cos 卷一COS將)+ (cos招-cos耨)+2si 哈12121212+(cos筆彘3哈3得612因?yàn)閘im cos兀/ifao 12不存在，所以lims”不存在，因而該級(jí)數(shù)發(fā)散.4.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:qq2o3o/i（1）一§+至一3+（1）力*+一；解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比為g=-2，于是|夕卜1,所以此級(jí)數(shù)收斂.+)+、+_L+ 6 93/1解此級(jí)數(shù)是發(fā)散的，這

4、是因?yàn)槿绱思?jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)自n3693也收斂，矛盾.(力3十有.五+卜上十密1-L解因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)4=右=31=0(一所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，此級(jí)數(shù)發(fā)散.d亭卷號(hào)+臺(tái);解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，公比0=|>1,所以此級(jí)數(shù)發(fā)散(5)導(dǎo)；)+(導(dǎo)/)+(*+/)+(導(dǎo)裊+解因?yàn)楹蚮：都是收斂的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)W=12自導(dǎo)專)=(*;)+(/+/)+(#J+(導(dǎo)和11是收斂的.練習(xí)112L用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級(jí)數(shù)的年斂性:解因?yàn)檎振{1vn.而級(jí)數(shù)無發(fā)散，故所給數(shù)發(fā)散.(2)42+上旦+.+上也l“1+221+32l+n2解因?yàn)?招而級(jí)數(shù)發(fā)散,故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)+*

5、+1-536(計(jì)1)但十4)而級(jí)數(shù)三&收斂W=1f解因?yàn)?面（+叩+4）=1血不WTCOJft>00+5+4故所給級(jí)數(shù)收斂.（4） sin 尹 sin 親+ sin，7T +sm+ 2- 71sin解因?yàn)閘im聲二4limn-w 1 w2 故所給級(jí)數(shù)收斂.sin二兀,而級(jí)數(shù) 兀F收斂,82n=l1 +。7（a>0）.解因?yàn)?<«<1a-1a>而當(dāng)gi時(shí)級(jí)數(shù)方，收斂，當(dāng)0<。<1時(shí)級(jí)數(shù)£5 n=lan=a散,所以級(jí)若表當(dāng)a>l時(shí)收斂,當(dāng)0<a<l時(shí)發(fā)散.2 .用比值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:各*善+念，；解

6、級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為產(chǎn)卷.因?yàn)?quot;n-2r,所皿=lim3向.=，m-houn外一>8（萬+1）2理3"«->«2+12所以級(jí)數(shù)發(fā)散.so2含解因?yàn)槟懞?圾爵爺=隔喏啊<1,所以級(jí)數(shù)收斂.00(3)Z>1=12rl況nn解因?yàn)榭焐顺ｃ群粒┮?所以級(jí)數(shù)收斂.喳子.(n+l)tan解因?yàn)閘im皿=lim空=lim也空iunE"tan冗n-wH冗所以級(jí)數(shù)收斂.3 .用根值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:就產(chǎn)解因?yàn)閘im桶7 = 1imHJC V M-2+廣K,所以級(jí)數(shù)收斂81（2）y；占皿+DF解因?yàn)榘?!吧品而=0<1,所以級(jí)

7、數(shù)收斂.官"（4）金（女）、其中%一（）,%,4a均為正數(shù).力=1an解因?yàn)閘im標(biāo)=lim立=七W-HXM>xUnd所以當(dāng)b<a時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)b>a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.4 .判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1號(hào)+好）2+吟）3+嗚尸+；解這里小嚏，因?yàn)?quot;("+1)(2嚴(yán)1工Qlira皿=lim胃=血生益=汩,»->«?Un“faow->«W44所以級(jí)數(shù)收斂.解這里因?yàn)椋?7 v ("+1)4 ！ 1 - 1 八 3 hm = hm -,1=lim ( y =0<1 n- %«->

8、1; (+1)! ir fits n n所以級(jí)數(shù)收斂.占小+2)'+1解因?yàn)閘im*=Hm露/ TOO豌 + 2n故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.=1,而級(jí)數(shù)£工發(fā)散,«=1(4)尤 2 sin.n=l J解因?yàn)閘im2,5sin,2"1婦=lim71亞=2<12wsmy2W-33所以級(jí)數(shù)收斂.解因?yàn)閼舭?1=0,R+0作+0V所以級(jí)數(shù)發(fā)散.(6)-+,+-+(q>0,B>0).a+b2a+bna+b解因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散,na+ban篇故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.5.判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？1一方差力;解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)X(-1)“2

9、/其中4=3因?yàn)轱@然4,凡并且lim/=0,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.乂因?yàn)閄I(-1)'i*=E3是<1的夕級(jí)數(shù)，是發(fā)散的,/J=l/1=1所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的.N(T)tn=l00解XI"備心系M=171=n+13W1g置是收斂的,因?yàn)?吧所以級(jí)數(shù)eFM=1從而原級(jí)數(shù)收斂，并且絕對(duì)收斂.“32322323324'解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)£(-1廣勺1, 衿 3 2并且ZI(T廣g源=1'Xi-vl3 2n=l因?yàn)榧?jí)數(shù)工。上是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也收斂，并且絕對(duì)收(4)-if-?+ln2In3ln4ln5解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)昌川/尸品君，其中一小.因?yàn)辄c(diǎn)劭叫并且l

10、im4=0,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.rtX3G又因?yàn)楹?磊，而級(jí)理潟發(fā)散,故級(jí)數(shù)次1(-1)”九1=£二發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的.n=iw=ln(n+l)(5)2嚴(yán)今.n=l也，解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為“=(1)的二.打！“1小12川v(2)2"2"2附2"2n2n因?yàn)閘im|u/t|=lim=litn=lim,-nij畀to#/!用f*M應(yīng)trwn12321所以級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)113L求下列累級(jí)數(shù)的收斂域:(1右+酎+,+/ix"+'等j故收斂半徑為研因?yàn)楫?dāng)工二1時(shí)恭級(jí)數(shù)成為£，是發(fā)散的;ji=i當(dāng)m-1時(shí)，基級(jí)數(shù)成為fXT%也是發(fā)散

11、的.用二1所以收斂域?yàn)?-1,1).2lr+A+E凈+;=1,故收斂半徑為夫=1解lim|1=lim=lim"foan181R(刀+1產(chǎn)n2因?yàn)椤?時(shí)，察級(jí)數(shù)成為自一嗎，是收斂的;n=2當(dāng)“一時(shí)'累級(jí)數(shù)成為也是收斂的,所以收斂域?yàn)?31+I-H-H+'>?2424624(2)解limlim-?=lim二、=0,an2n+*(+l)J2(w+l)故收斂半徑為夫=+%收斂域?yàn)?-叫+姆(4)2+今+J+132-3233s3”解lim|-|=limn'yi=ofganm->qo(/i+l)-3w+1曜十13故收斂半徑為R=3.因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí)，嘉級(jí)數(shù)成為之

12、1，是發(fā)散的;nLn當(dāng)x=-3時(shí),幕級(jí)數(shù)成為yw：也是收斂的,所以收斂域?yàn)?3,3).>/+睛+看T/+;解網(wǎng)野強(qiáng)高g嚶=2r2,故收斂半徑為因?yàn)楫?dāng)弓時(shí)，轅級(jí)數(shù)成為與卜是收斂的;當(dāng)01時(shí)塞級(jí)數(shù)成為才可言&也是收斂的,所以收斂域?yàn)椴菲?(6)之(一1)n=ly2»+12+1解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為小=(-1)蕓lim。JIB=1加產(chǎn).2向”T8 2n+3 x2m+1由比值審斂法，當(dāng)fvi,即陽V1時(shí)，哥級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即31時(shí)，哥級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑為H=LOPI因?yàn)楫?dāng)x=l時(shí)，募級(jí)數(shù)成為z(_iy八，是收斂的;«=i2n+l當(dāng)x=_l時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為次(-1)前二，

13、也是收斂的，笈2/7+1所以收斂域?yàn)?7)gn=l解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為孫=怨追7.因?yàn)?"|_ 1 "2»2rL2 1一不大，(2 - l)x 2 2lim0|=lim|弛卦度力TO“露2"+1由比值審斂法，當(dāng)3好1,即Wk貶時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)即|川或時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑為R=狼.因?yàn)楫?dāng)x=±正時(shí)，寤級(jí)數(shù)成為£等1,是發(fā)散的，»=12所以收斂域?yàn)?-衣/).解lim|4M=故收斂半徑為A=l,界faoan町eJ/7+1即當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)年-5|>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.因?yàn)楫?dāng)X-5=-1,即x=4吐箱級(jí)數(shù)成為汽中，是收

14、斂的;w=iln當(dāng)x-5=l,即/6時(shí)，轅級(jí)數(shù)成為丑上，是發(fā)散的，n=lln所以收斂域?yàn)榘?).2.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù):(1)%/T；n=解設(shè)和函數(shù)為具*即S(x)=£M，則«=1S(x)=£s闕'=£陽.優(yōu)爐一力打0al1=W=；-“'=7rL(-7<1).喜1-X(If>00zJ!=l4】4+l.解設(shè)和函數(shù)為S(x),即3 y2n-丫3 丫5v2w-lS3=£計(jì)=/+手+!+一 +，W=|2w-13 52/1-1則Sa)=S(O)+J； S3公力正上*/工=5三/T由C力=141«

15、;=1提示：由£住心=3(工)一5(0)得 S(x)=S(0)+Sx)dx.寸4"+1解設(shè)和函數(shù)為SU）,即S（»=zJ,則產(chǎn)14十1S(x)=S(0)+號(hào)心=矮號(hào)以=£±xdx力十n=l寸小小中一吟表+/占心=-Inarctanx-x(-1<x<1).提示：由s）aE=s（x）s（o）得3（刈=5（0）+二5。：心.口-12一1COS(X04-；2;因?yàn)閨以（x）j=|c 0日出+出工一天）+b+ 1T7r5+1)!(X-Xo尸川 S+I)!(Ot而級(jí)數(shù)f(+l)!總是收斂的,故limfl二o,練習(xí)11-4h求函數(shù)加XCOSK的泰

16、勒級(jí)數(shù)，并驗(yàn)證它在整個(gè)數(shù)軸上收;于這函數(shù).解因?yàn)?cob（j（）+n-）（«=1,2,）所以大r）在工口處白兀/(x)-cosx0+cos(x(>+-)(x-jr0)+因此/印=cosx0+cos（x0+梟（王一飛）+c°。十"）（工一珀2+十-2,將下列函數(shù)展開成X的箱級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:1l)shx=e"e:解因?yàn)樗悦?4422乃0力!«=o"!100*曾Rv2«-l=42"(7)“4r=271(8vx<8)2力=0用W=o(2w-1)!(2)lnz+x)(a>0);解因?yàn)?11(1

17、+力=5(-1,q(-n=0+l所以ln(a+x)=Ina(l+)=In6/+ln(l+)a<(g/l一a您+5(a<x<a).(3M；cp丫解困為=工（一8工8）,“0打！所以x=exna=eX=£(xlna)L卸回/ra=O"!w=0M(4)sin2x;£(i)w41 n=lnW=1 "+1+i . 如 /nT一產(chǎn)小編解因?yàn)閟in2x=Hos2x,22COSX喈(川磊(8<9),所以sin2x=14£(-ir=£(-ir(_oo<x<cx).22W=O(2刈M(2而！(5)(l+x)ln(kx)

18、;OCm+1解因?yàn)閘n(l+x)=X(T)"Jw=0什1所以(l+x)ln(l+x)=("x)X(-l)"J=0+l8Y+li8y+28vrt+l=Z(T)"+X(T)“=x+ZS)喘/f=0+l/=o+lz.7+1解因?yàn)閷玎酔與默LM)所以-r=工+£(-ir察羋工北川而7£(2/2)!=x+孕可群華嚴(yán)y-必a,3.將下列函數(shù)展開成(x-1)的塞級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)歸(1)7?；解因?yàn)?1+犬=1+，也+嗎尹/+.+，(/+以+.2!n3所以V%3=1+(J-1)2qWAT),4g_l)。_九+1)=1+效-1)+勺廠(1)2

19、+M/(x-即E=1+|()+曷一隊(duì).+3-1.(-1).(-3).(5-2»)上術(shù)級(jí)數(shù)當(dāng)了二0和工=2時(shí)都是收斂的，所以展開式成立的區(qū)*解喧】福2叱"尸g扁2T（0K2）.4,將函數(shù)加)=cosx展開成(工+令的塞級(jí)數(shù), 7T3)S，n3二盤M焉令"磊Y產(chǎn)IS<x<cosx=cos(x+y)-Y=cos(x+y)cosY+sin(x-l=1cos(x+j)+-sin(x+y)_1<(一廠%卜萬沖卜后堂(一蒙_*(2)!(3)2馬(2耳+1)!(5 .將函數(shù)/(工)=工展開成(x-3)的幕級(jí)數(shù),Ul)，-J解1x3+x33即3yp號(hào)汽。沏6 .將

20、函數(shù)/(x)=T一展開成(x+4)的嘉級(jí)數(shù).x+3x+2x2+3x+2x+1耳+2'l(IJL=工+13+(jv+4)I-31x+4T1歸Jw=0x+4x+4i<o,13G+4)'l-1A寸W(7-1);工十lt/=03x+2 2+(x+4)2 上+4=-技寫如.V+2三任+4y,/ 小=-6。-2).fl=O L因此(x+4尸學(xué)a+4I 3"1 4o=E(耳三0占-，）a+4）"（-6<o,練習(xí)11-51.利用函數(shù)的暮級(jí)數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:（Dln3偏差不超過0.0001）;In=2(工+：/+!a3+.+-1dl+)(一1x352n-

21、lIn3 = ln=2(LL_L+L_L+4 3 23 5 251_2鹿一1 22”】k,l=2(2.T)2*i (2篦+3)2竊42一(2+1)22十1<Z_(2“+1)2方+】1+(2+l)22e (2 h+1),2 (2+3)2北+3 +(2什5卜2%+522 242w+l卜+ )='3(2-1)2方-2'14kL0.000129佐|v0.00003.151341-28151343-210因而取=6,此時(shí)1.0986.(2)人(誤差不超過0.001);e*=l+x+!a，+工x”+,(-0O<X<+8)y2!h!-1+J-+.+7十22!22,z!2由于

22、=_1111Gg+l)!尹(力+2)!尹_11K11打!，2aLn+12(w+2)<h+1)22<1=1"!?；_一342”24«0.0003.因此取=4得G”*/9/#/呆1，64孔(3)522(誤差不超過0.00001);(1 + x)m =l+/nx+ "廠、N + . ?(第1)(2-“ + 1)!V522=2(l+)k92由于108=2114"-1-T92992-2!厚0,002170,9299?，2!8-1732.3!()2«0.000019,522=2(1+0.002170-0.000019)«2.00430

23、.(4)cos2。(誤差不超過0.0001).r2r4r21i解COSI一充+彳一+(1)"兩+,由于%(給6x10$/鄙g故cos2o«1-()2-«1-0.0006=0.9994b2.利用被積函數(shù)的器級(jí)數(shù)展開式求下列定積分的近似值:廣上機(jī)誤差不超過。.。1);辦=，5|_14+爐_/+十"+-(lx=(%一(工5十一±工13十一)111.111!*-4*-4-252592913213因?yàn)樯掀?.00625,1A«0.00028,占擊H000009,所以廣心04940.Jo1+x42525929廣”聞生辦（誤差不超過0.0001）.

24、Xarctanx=x-1x3+-x5+（T）"口工""+一° 5 arc tan xJ0dV"卡 夕 _ +（_ 1）附2774-1=（工43+京5491x7 + -）|J51112 9 23 25 25 49 27,因?yàn)樗酝?0,0139,2./0,00135t玄）0.00025，堊詈74身易殺7,3.將函數(shù)dcosx展開成x的粒級(jí)數(shù).解COSA=;(盧+6一次)，224立呼爐+£邛爐耳之處2>11>117制=0.用=0"舅=0fXnx cos4因?yàn)?7二04,Ij=&£4,w.也四所以(1

25、+甲+(1_"=2可/彳+-'丁=2285竽)二agcos因此C0*二支Xn(_30<工<+00).刃旬a(chǎn)練習(xí)11-71.下列周期函數(shù)加）的周期為2開,試將危）展開成傅里吁級(jí)婁如果兀力在-區(qū)外上的表達(dá)式為:（1）危）=婷+1（-="死）；解因?yàn)?=fx)dx-(3X1+l)dx=2(tt2+1)5兀】一虱'n、一式an=f(x)cosnndx九J一萬=(3x2+1)cosnmix(n=1,271、f4=1/(x)sinw7zrfx乃J-%=fT(3j2+l)sinn/r=O(w=l,2,),江J-不所以八刈的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為(_iyi/(力=&

26、quot;+1+12,總-COS/7X(-O0<XV+00).,Mn加)=/(_&力;解因?yàn)開10=一71Arf(x)dx=Wx=J-n7TJ”/無一£-2在2h產(chǎn)q產(chǎn)一/(%)cosndx_«-2 萬7T)F)12,),=-人0§“威廠2（1*：九）一元（wz+4>'=-f（x）smn7idx冗J一點(diǎn)'e.inx=（Tyy：一.）（»=1,兀L器（M+4W所以加）的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為f（x）-e"-e好日+之（7）"Qcos,MXfsinx）冗4急標(biāo)+4(.(2+l)犯rt=O,±1,土

27、2,（3）/（力二二"<0（方為常數(shù)且q必>0） 0<x<jirO解因?yàn)?TJ0aabxdxaxdx=9(a-bu»Jt"Jo2bxcQsnxdx+-axcoixdx=嘀1-(-D5=12)，n-兀IfO產(chǎn).=Ibxsiniixdx+ldfxsinnxdxnnJfnJo=(-l泮J=l,2.),n所以外)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為/(©/(j)十的型苴幽in同(xh(2+1)江,«=0,±1,±2,-一2.將下列函數(shù)加)展開成傅里葉級(jí)數(shù):(1)/(力=2si吟(-«力;力中連續(xù)，彳解將人工）拓廣為

28、周期函數(shù)尸（工），則尸（X）在（-名工二士乃間斷；且之產(chǎn)（-一）+產(chǎn)（一/），/（一切？半尸（c+歹（萬+）故尸3）的傅里葉級(jí)數(shù)在（-耳力中收斂于加），而在戈二士乃處尸的彳里葉級(jí)數(shù)不收斂于大工）.計(jì)算傅氏系數(shù)如下：2,工+ n)xdx因?yàn)?sin玄（-衣xv乃）是奇函數(shù)，所以a=0（=0Jbt=2。2smysinwxr/¥=jcos（-；7）x-cos（|=（f向跡2），冗9拉21所以/（切=空茗（_1）"+1嚶詈（-定xv兀）.他=:一jtWxcO 0<x<解將人工）拓廣為周期函數(shù)尸任），則外工）在（-石力中連續(xù)，彳x土H可斷，且界（b）+尸（一方）¥

29、;/（-江界（武）+尸）故巴外的傅里葉級(jí)數(shù)在（-瑞力中收斂于加工而在工=土或bE（x）的里葉級(jí)數(shù)不收斂于危）.計(jì)算傅氏系數(shù)如下：他=*°泮"四=辱組an=Celcosnxdx+fcosnxdx=（n=l,2）萬J。Q+*bn=：/sinnxdx+sinnxdx,（*嬖43（72,），7T1+/TH所以/(x)="L"lit<-sinw n(-7Kx<7+1t占當(dāng)2cos加+p±t#%”11+1+，廣工設(shè)周期函數(shù)危）的周期為2%證明代）的傅里葉系數(shù)為=5fr/(x)C0S"xdx(=。,1,23,一),bn='K&q

30、uot;/(x)sinnxdx(w=l證明我們知道，若/(X)是以/為周期的連續(xù)函數(shù)，貝IJ0'/(x)dx的值與a無關(guān)，且因?yàn)樾」os俄，sin均為以2乃為周期的函數(shù)，所以/(x)cosn山)sin.均為以2;r為周期的函數(shù)，從而1rn1p-+2/rcos，L=5Jf/(x)cosx公同理17Tf(x)cosnxcbc(=L2,)f(x)sinnxdx(w=l,2,).4,將函數(shù)/(x)=cos5(-04外展開成傅里葉級(jí)數(shù):解因?yàn)?(x)=cos5為偶函數(shù)，故歷尸0(=1,2,),而=coscosnxdr=cosgcosjmZx乃J第2萬Jo2=cos(-w)x-cos(+n)x6

31、Lr二(f用土總下(”12)7V4,廠一1由于/(x)=cos；在同上連續(xù),所以COS-4-V(一1)""COSWX2n冗念4，一15 .設(shè)段）的周期為2%的周期函數(shù)，它在-石力上的表達(dá)式爻712乃2/(%)=«X712將加）展開成傅里葉級(jí)數(shù).解因?yàn)槎?為奇函數(shù)，故%=05=0,1,2,.)，而bn=f(x)sinnxdx=jxsinnxdx+jysin,=_HT+_sin等gi,2,.),n限冗2又危）的間斷點(diǎn)為x=（2+1）兀w-0,±1,±2,.-，所以/3力守n=l 2 1 / jc 1 ,- -5 sm -smwx 口5 2(工工(2

32、+1)萬,n，士 1,±2,6 .將函數(shù)/（力=寧（00工力展開成正弦級(jí)數(shù).解作奇延拓得尸(x)：/(x)0<工4開尸(x)=<0x=05-/(-X)-7T<X<0再周期延拓“X)到(-00,+8),則當(dāng)xeQ加時(shí)F(x)=/(x)9F(0)-0#f=/(0).因?yàn)?0(=0,1,2,)，而b=fsinnxdx=-(=1,2,工才Jo2n故x)=-sinnx(0<r<社級(jí)數(shù)在x=0處收斂于0.7.將函數(shù)危曰昌044力分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解對(duì)一危）作奇延拓，則。產(chǎn)ogoJz”而b=r2x2sinnxdx=(-l)w(兀JO冗2-)i,Z.3

33、故正弦級(jí)數(shù)為a00,21/a）=3£（T）（W-丘）-勺加mo女（現(xiàn)然仇ntt級(jí)數(shù)在xH）處收斂于0.對(duì)危）作偶延拓,則一=0（劉=12），而2/°。=工2產(chǎn)at=n江0故余弦級(jí)數(shù)為2x2dx=/r2?mJ2x2cosnxdx=(-1)Zi-7(n=l92,*),n1f(x)=&E+8V(1)cosMX(0x<).3&設(shè)周期函數(shù).危）的周期為2名證明如果加-力+/（總則危）的傅里葉系數(shù)ao=O5山歷片0gj,）；解因?yàn)镻JFf (x)cos 2kxdx "-"'翼'廣f (t-7r)cos2k(t-jf)dx所以以0

34、=0.因?yàn)橐?2xr萬Jo/(/)cos2ktdt=-alkr所以aiic=O.同理歷&=og=L2,).如果、危-辦/>),則加)的傅里葉系數(shù)。2川=0,3邛二0體=1,2,).解因?yàn)?1/(x)cos(2A+)xclx/-幻co§(2左+1)(廣-乃)公=qr/(f)cos(2無+1)E=-S所以02fcH=0(無=1,2,).同理歷價(jià)1=0(4=1,2,).練習(xí)11-將下列各周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)（下面給出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式上/住)=1_/(_:<<4);解因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以氏=0（=1,2,一擊血一壽如聯(lián)一型系抬金（T）c。喘心=4券0_工2

35、>8§2萬血few(-I)2("=1,2,),由于兒榮）在（-叼十°°）內(nèi)連續(xù)7所以/需T宮（一1產(chǎn)H2cos2g,ke(-oo? +oo).x-1<<0(2)/(x)=I0<<1;-1£x<l2解4=(x)dx=1產(chǎn)+戶去=£=(J(x)co§njDcdx=%cosnTccdx+cosnjjcqsrtzccdx=Ul-(-lH+sin"=1,2,工n71H7TL'"=Ji/(x)sin內(nèi)dx0a-1rlxsinnmclx2sin/zZr-)sinnTixdxJ

36、O2cos竽nn2*(I2,).而在（一碼+8）上,Am）的間斷點(diǎn)為x=2k.2k+g,k=Q±1a故所-迨嗑32sin1-2cos-cos/ix+nJ：n兀(x豐2k,x#2上,k=0.，±2,，N-sin"亦±1,土2,),（3）/（力二-34x<00<x<3"解/=；=；心(2X+1滋+，切=-1-/T：/。)cos等dr38AJ*C(2x+1)co§等心+.85等附=£u-(-m("T，2,)，nJr4=；a/（x）sin等社工0=k| (2+l)sin5T用衣,ax+ sin3 Jo應(yīng)

37、J2X 7 i杰解正弦級(jí)數(shù)展開,余弦級(jí)數(shù)展3二且(-，(=>2+)+H7T而在(-叫+g)_LJU)的間斷點(diǎn)為x=3(2左+1),k=0±1,1 - (-1)討8£ 竿+(-嚴(yán)1一(x3(2k+l 10,:血等,±1,±2,).2.將下列函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù):x0，(1)/(»=12；I-x三l2對(duì).危)進(jìn)行奇延拓，則函數(shù)的傅氏系數(shù)為口0=0(=0,1,2,)，4號(hào)/心而等杰十_41sin”力=當(dāng)£小華由竿kW電4其亞三產(chǎn)21對(duì)以"進(jìn)行偶延拓，則函數(shù)的傅氏系數(shù)為£(/-x)rfr=7行於T&

38、;+j； (/ T)CO5 21=?!42gg竽一1«球(仁1,2,), d為=0(*1,2,)r 2/ 1.2 £ 2等-1一(-葉8.竿，工口0,乙P(2»(xX?g<2).對(duì)進(jìn)行奇延拓，則函數(shù)的傅氏系數(shù)為口0=0（"=0,1,2,）,3券等公（一尸蒜Z）f/4g尸焉少T網(wǎng)喘“曲2).8(-1)«2(-iy-l.inn/tx=一J-1-一片小-sin-乃氣n/a22fi-1對(duì)A©進(jìn)行偶延拓，則函數(shù)的傅氏系數(shù)為2dtixW2Jo二 廣 C3S2 MT心二（邛與312），m力8刀二0（=1,2,3強(qiáng)愣哼=3*力T"34

39、杵匐7T2，.總習(xí)題十一L填空:對(duì)級(jí)數(shù)E%螞/=0是它收斂的條件，不是1n=l收斂的一條件:解必要；充分.(2)部分和數(shù)列*有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)寺與收斂的條個(gè)n=解充分必要，(3)若級(jí)數(shù)£/絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)WX必定;若級(jí)?4=1QT1QQ條件收斂，則級(jí)數(shù)E>i必定n=ln=解收斂；發(fā)散.2.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:解因?yàn)?=lim -4= = 1 mslim牽w>ooIW而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散»=1n,故由比較審斂法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.（唯察;n=l小解因?yàn)閘ira-lim-limn1=,ZlfCOUn力f82(w+l)Z(!)418故由比值審斂法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.2"8/7C

40、OS2-(3)ZM=1解因?yàn)閏os2，7/r2萬O0= lim）標(biāo)由比較吊 乙乙n-Gqo ncos2斂法，級(jí)數(shù)£收斂.2n解因?yàn)閘im牛=lim4=oo(用羅必達(dá)法則可得limgion而調(diào)和級(jí)數(shù)V發(fā)散，故由比較審斂法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.“fooiM->ooinn(5)*M>O,y>O).n=ln解因?yàn)閘imco=lim=a,故由根值審斂法知，當(dāng)口<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)。1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.8, i當(dāng)q=i時(shí)，原級(jí)數(shù)成為之e，這是p=s的-級(jí)數(shù)，當(dāng)aI時(shí)1數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.8903 .設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)WX和都收斂，證明級(jí)數(shù)w>+7）2/r=l h=1n=l收斂證明因?yàn)楹?/p>

41、和其都收斂，所以如%=0, W=1M=1又 因 為 lim +"必 _ jm（% +2v ） = 0 ? lim = 火 fQOUn"TOO *H-»aG %lim vn=0 .«->qoI m v =0 77W oo所以級(jí)數(shù)£（W+2m）和級(jí)數(shù)£辭都收斂，從而級(jí)數(shù)»（%+%照）+啕=£（/+中2n=l也是收斂的.W=14 .設(shè)級(jí)數(shù)之X收斂，且問級(jí)數(shù)*X是否也電 ra-»8o u7n=l=Jizr=l斂？試說明理由.解級(jí)數(shù)不一定收斂,當(dāng)£>和力匕，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)”收斂, &qu

42、ot;1re"131否則未必.例如級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)£(-1) IW1 4 y/n n5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:卻71=181數(shù)界當(dāng)0<<1時(shí)，級(jí)數(shù)£（_"上是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，旦滿足萊布尼茨'IT£（-1）"；=之二；是級(jí)數(shù).故當(dāng)時(shí)級(jí)/=1M=1/斂的,當(dāng)P<1時(shí)級(jí)數(shù)tJr發(fā)散.因此當(dāng)憐1時(shí)級(jí)數(shù)之n=lw=l對(duì)收斂.理的條件，因而收斂，這時(shí)是條件收斂的.ml當(dāng)旌。時(shí)，由于/曾-1尸表工0,所以級(jí)次才（-爐十發(fā)散綜上所述，級(jí)數(shù)方尸吃當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)0<廢1時(shí)彳件收斂，當(dāng)夕V0時(shí)發(fā)散.京-1嚴(yán)M=1

43、71n+1.乃用解因?yàn)閟in-a?8sin而級(jí)數(shù)2收斂，故由比較審斂法知級(jí)數(shù)XK-ir1-iiw=l勿產(chǎn)睚=1冗斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(3)£(-1)山應(yīng)；n=ln解因?yàn)閨(-l)wln±llimj3-n=limlim ln(l+),J ="TR n /r-M nlnc=l,而級(jí)數(shù)發(fā)散，故由比較審斂法知級(jí)數(shù) 原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的.00之|(-1)力帕史|發(fā)散，E /i=in另一方面，級(jí)數(shù)£(-iyin”是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼?n=定理的條件，所以該級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)條件收斂.碣-1尸爵n=l n解令%=(1)”碧因?yàn)閘im(+?隼.(義尸打一KOu

44、n|T8(+1)"+-(H+1)!MT8/7+1n+1= lim 華18 +1(1+與 n故由比值審斂法知級(jí)數(shù)綜4收斂,*in從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.6.求下列級(jí)限:期總捫十鏟;解顯然s/嚴(yán)是級(jí)數(shù)£.。+1嚴(yán)的前項(xiàng)部分用k=w=l因?yàn)閘im=lim1(1+lr=f<I,所以由根值審斂法w->oovy 1 j_ _L(2)lim2349 電27 Q11產(chǎn).“TOOfi力too3fi3級(jí)數(shù)收斂，從而部分和數(shù)列即收斂.13n因此limlyJ-f°n與34-=lim-*5=0.k"TOO%n加11_L±+二解23.49鑼伊產(chǎn)=239273顯然/

45、=；+/+稱+6是級(jí)數(shù)£本的前n項(xiàng)，?MI設(shè)s(%)=XmL則n=iS(x)二二義rWM引工工吁二六一1=小以因?yàn)轶雷旃偈▲?amp;V，所1j_X±I從而lim2，4虧雨萬<2與五=lim2%=24.fl>ocATT”下一頁泮坦城:ff=1解因?yàn)閘im3 nt© an=limW>0D3十1+5"t所以收斂半徑為A=g.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，惠級(jí)數(shù)成為g照是發(fā)散的;5)+1,是收斂的,當(dāng)*=-/時(shí)，嘉級(jí)數(shù)成為£乎所以籍級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榘?+3嗅n=ln解»=(1+因?yàn)閘im碗=lim(l+4)|x=e|%,由根彳H鹿一>

46、8y"Too審斂法，當(dāng)e|x|<l,即時(shí),耗級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)e|x|>l,時(shí)期數(shù)發(fā)散.T）當(dāng)行時(shí)，e當(dāng)時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為£（_1尸（1+：）爐（：尸因?yàn)閘imi一WO=lime71>001110+)-MTn -e 2Ko所以級(jí)數(shù)尸和宮（1十步夕均發(fā)散,為（一工1） e e從而收斂土提示：lim x2ln(l+)-x= limJC-MnXiXXT40C=limIn- 1x2（3）（尢+1尸; 力二解劭=(x+l)J因?yàn)?1ml3=lim"x+l巾+1|,界TOOU"T8n根據(jù)比值審斂法，當(dāng)W+l|vl,即-2。<0時(shí)，嘉級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)卜+1»時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散.又當(dāng)；M）吐黑級(jí)數(shù)成為Z，是發(fā)散的；當(dāng)芯=-2時(shí)，幕級(jí)?n=l成為