知識點：多元函數(shù)微分概念

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上知識點：多元函數(shù)微分概念1 背景知識與引入方法二元函數(shù)的微分概念的要點是：在一點附近用線性函數(shù)近似地表示函數(shù)，微分的幾何意義是在一點附近用平面近似地代替曲面微分就是將函數(shù)“局部線性化”，或者將曲面“局部展平”理解微分概念的關(guān)鍵是理解“線性化”和“局部”的含義.微分概念有不同的表述方式，它們在理論和應(yīng)用方面有不同的優(yōu)點可以根據(jù)專業(yè)背景和學(xué)生的接受能力，選擇不同的講解方法2 該知識點講解方法 講解方法一： 設(shè)二元函數(shù)在的某個鄰域中有定義.當自變量有改變量時,如果存在一個以為自變量的線性函數(shù),使得函數(shù)改變量可以表示成 (1) 其中滿足 (2) 則稱在點可微.其中線性函數(shù)稱為

2、在點的微分(即全微分),記作或. 講解方法二： 設(shè)二元函數(shù)在的某個鄰域中有定義.當自變量有改變量時,如果存在常數(shù),使得函數(shù)改變量可以表示成 (1) 其中滿足 (2) 則稱在點可微.其中是變量的線性函數(shù),這個線性函數(shù)稱為在點的微分(即全微分),記作或. 注釋：講解方法一和講解方法二基本相同，只不過方法一更加抽象在近代分的教科書中，一般使用講解方法一；國內(nèi)的微積分教科書中一般采用講解方法二.上述兩種講解方法雖然嚴密，但是比較抽象，初學(xué)者不容易理解.國外一些有影響的教材大都不采用這種定義方法，而是采用一些變通方式，降低難度以便于學(xué)生理解.當然，降低難度不能損失科學(xué)性.講解方法三如果存在常數(shù)，使得函數(shù)

3、在的改變量 可以表示成其中是的函數(shù)，滿足 , 則稱在可微，并且稱是在的全微分. 注釋：講解方法3與講解方法2的區(qū)別僅在于誤差的形式.可以證明兩個定義是等價的.(見下面相關(guān)知識中的定理1.)這個講解方法的好處，是對于復(fù)合函數(shù)微分法的證明會帶來一些方便缺點是比較抽象，而且不如講解方法一、二那樣切中微分概念的關(guān)鍵之處（即）.具體建議：可以將這個講法作為可微性的充分必要條件講解（參考1）講解方法四設(shè)二元函數(shù)在點存在兩個偏導(dǎo)數(shù).令如果當時，有則稱在點可微，并且稱為在點的微分. 當在點可微時，用表示在點的微分，即 注釋：這個定義的優(yōu)點是直接點出微分表達式，并且概念本身就明確了函數(shù)可微性與偏導(dǎo)數(shù)存在性之間的

4、關(guān)系.因此概念比較直觀、易懂.雖然在抽象程度上有些折扣，但是在科學(xué)性方面并沒有任何損失.另外，用這種方式定義微分概念，對于討論微分學(xué)的若干概念問題，以及定理證明都會帶來方便.(參考3)例題例題： 求函數(shù)在任意點的全微分和點處的全微分.解 當時,并且兩個偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù),所以當時,例題：討論函數(shù)的在原點是否存在偏導(dǎo)數(shù)，是否可微.解：當時，.當時，注意到，所以 ，因此處處存在偏導(dǎo)數(shù).下面證明函數(shù)在點處不可微.下面證明在點處不可微反證：如果在點處可微，則在點的微分就是 又根據(jù)微分定義，當時， 但是，最后這個等式不成立，因為當時，與相比較不是高階無窮小量.例如當時，有于是據(jù)微分定義推出，在點不可微.例3：

5、兩個電阻和并聯(lián)以后的電阻為.假設(shè)的標定值為300ohms,相對誤差不超過2%； 的標定值為500ohms，相對誤差不超過3%.試確定并聯(lián)電阻的最大相對誤差. 解：根據(jù)題意，有，由于，所以于是的相對誤差近似地等于因此近似地得到3 難點問題及解決方法 多元函數(shù)微分概念是一個教學(xué)難點，主要原因是概念比較抽象，同時這個記號也不容易理解。解決方法：如果用講解方法1進行教學(xué)，可以借助于簡單直觀的例子引入概念，并且用近似計算的例題解釋微分的本質(zhì):引例：設(shè)有一個矩形，其長、寬分別為.由于環(huán)境溫度變化, 它的長和寬分別改變了，問其面積改變了多少？ 若記面積改變量為.則 (圖3-1). 這個問題很簡單，但答案卻很

6、有意義. 它說明面積改變量可以分成兩部分，一部分是自變量 圖1改變量的線性函數(shù);而其余的部分則滿足下面的條件： 這個現(xiàn)象啟示人們考慮這樣的問題:當二元函數(shù)的自變量在點有改變量時,由此產(chǎn)生的函數(shù)改變量能否表示成下述形式:其中是與無關(guān)的常數(shù),是與有關(guān)的量,當時,滿足.研究這個問題就導(dǎo)致函數(shù)微分概念的建立.解決方法：建議采用講解方法4這種定義方法比較直觀。直接給出微分表達式，定義本身就明確了微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系?？梢允刮⒎謱W(xué)該之間的關(guān)系簡單明了，并且有助于簡化一些定理的推導(dǎo)過程。雖然在抽象程度上有些折扣，但是在科學(xué)性方面并沒有任何損失.常見錯誤分析1. 函數(shù)在一點的微分是自變量改變量的函數(shù)，學(xué)生往往理

7、解不清楚這一點.特別是對于在任意點的微分，常?；煜偷膮^(qū)別。2.4 與其他知識點的關(guān)聯(lián)（） 多元函數(shù)的線性近似以二元函數(shù)為例，令當時，有所以，如果在點不全等于零，則當時，有于是若用微分作為函數(shù)改變量的近似值，則當很小時，相對誤差也非常小（） 曲面的切平面二元函數(shù)的微分有明顯的幾何意義假設(shè)函數(shù)在點可微，則曲面在點的切平面方程是法向量為（） 證明微分概念2與微分概念4互相等價(概念1與概念3等價).定理： 函數(shù)在可微的充分必要條件是：可以將函數(shù)在點的改變量表示為 (1) 其中 是的函數(shù)，滿足證明：必要性：如果在可微，則當時， (2) 其中滿足 .當時，和是同階無窮小量，所以 (3) 將寫成 (4)

8、(其中sgn表示符號函數(shù))令 (5) 則由(5)式可以推出 將(5)和(4)式代入(2)式，就得到(1)式. 充分性：假定(1)式成立。因為，所以有于是當時，。根據(jù)可微性定義，由此可以推出函數(shù)在可微.定理證畢.（） 函數(shù)可微的充分條件 定理2: 如果函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都在處連續(xù)，則在處可微，并且(5） 一元函數(shù)的微分 一元函數(shù)的微分的概念有三種等價的引入方式。1設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域中有定義.如果存在一個常數(shù)，使得當時，函數(shù)改變量 可以表示為 其中是的函數(shù)，滿足則稱在點可微，的線性函數(shù)稱為函數(shù)在點的微分，記作.其中常數(shù)稱為在點的微分系數(shù).2設(shè)存在，的線性函數(shù)稱為函數(shù)在點的微分。3如果在點的函數(shù)改變

9、量可以表示為其中是的函數(shù)，滿足.則稱在點可微，并稱稱為函數(shù)在點的微分.5 擴展知識(1) 多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對于多元函數(shù)，與一元函數(shù)微分概念對應(yīng)的是多元函數(shù)的微分概念與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的概念是由偏導(dǎo)數(shù)組成的向量： 這個向量在多元函數(shù)的運算中所起的作用相當于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)微分法中所起的作用.例如函數(shù)微分表達式一元函數(shù)微分表達式：；多元函數(shù)的微分表達式：復(fù)合函數(shù)微分法的鏈式法則一元函數(shù)情形:若，則多元函數(shù)情形：若，則（）(2) 映射的微分令，假設(shè)是定義于區(qū)域、取值于的映射，。如果存在一個到的線性映射，使得當時，有則稱映射在點可微，并且稱為映射在點的微分（映射）。記作.6 參考教案：MC20881.ppt參考文獻：1 Advanced Calculus(著者：Wilfred Kaplan;出版商：AddisonWesley Publishing Company )2Calculus With Analytic Ge