線性系統(tǒng)課件第一章

1、第一節(jié) 狀態(tài)空間描述 第二節(jié) 兩種描述之間的相互轉化第三節(jié) 用MATLAB進行系統(tǒng)模型轉換 第四節(jié) 狀態(tài)方程的規(guī)范型 第五節(jié) 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一一 系統(tǒng)描述系統(tǒng)描述二二 線性化線性化三狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述的比較三狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述的比較ubububyayayaymmnnn0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(.011101.)(asasasbsbsbsGnnnmm例如：線性的常系數(shù)單輸入單輸出系統(tǒng) 狀態(tài)方程 ),.,.,(.),.,.,(12112111tuuxxxfxtuuxxxfxmnnnmn問題：問題：1 什么是狀態(tài)？什么是狀態(tài)？2 狀態(tài)是否唯一？狀態(tài)是否唯一

2、？),.,.,(.),.,.,(12112111tuuxxxfytuuxxxfymnnpmn輸出方程),(),()( ),),(),() 1(kkukxgkykkukxfkx線性系統(tǒng) utDxtCyutBxtAx)()()()( 非線性系統(tǒng)：),(),(utxgyutxfx 轉化為線性系統(tǒng)：utDxtCyutBxtAx)()()()(在某個初始點（x0，u0）的領域內的運動),(),(00000utxgyutxfx),( ),(),(),( ),(),(),(),(00),(),(0000000000utxuugxxgutxgutxgutxuufxxfutxfutxfuxTuxTuxTuxT0

3、0,uuuxxx將f和g在（x0，u0）的鄰域內進行泰勒展開其中)( ),( ),( ),(),(),(),(),(1111),(0000000000tDugtCxgtBuftAxfxfxfxfxfuxTuxTuxTuxnnnnuxT定義：在（x0，u0）的鄰域內進行線性化：utDxtCutxgutxgyutBxtAutxfutxfx)()(),(),()()(),(),(0000通過一個簡單的例子，對該系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，從而來比較狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)之間的優(yōu)缺點。 11)(ssH極點為1，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的Case 1: Case 1: 在H（s）前面串聯(lián)一個補償器 11)(sssHc111

4、111)()(sssssHsHc得：系統(tǒng)結構圖：理論上，零極點對消，系統(tǒng)穩(wěn)定實際中，系統(tǒng)往往會出現(xiàn)失效或達到飽和從狀態(tài)空間的角度分析上述實現(xiàn)中主要變量的演變過程 系統(tǒng)狀態(tài)方程為21222112xyvxxuxxvxx求解可得： )( 5 . 0) ( ,2) (10202101vexeexetxyvexetxtttttt為卷積運算Case 2: Case 2: 在H（s）后面串聯(lián)一個補償器 11)(sssHc111111)()(sssssHsHc得：系統(tǒng)結構圖:狀態(tài)方程為：12122112xxyxxxvxxvexxexxyveexeexetxvexetxttttttttt)( )()()( ,)

5、(20102110202101為卷積運算求解得：結論：結論：系統(tǒng)實現(xiàn)的內部特征要遠比其外部特性所表明的內容復雜的多。內部特性完全取決于沒有外加激勵時的系統(tǒng)固有頻率，而并不是所有的振型在傳遞函數(shù)中都有所體現(xiàn)，或者，換句話講就是由于傳遞函數(shù)在初始條件為零的情況下定義的，所以它不能完全顯示出系統(tǒng)在實際運行時的全部振型。所以單純采用傳遞函數(shù)方法進行系統(tǒng)分析，得出的結論是片面的甚至是錯誤的。第二節(jié)第二節(jié) 兩種描述之間的相互轉化兩種描述之間的相互轉化目的目的：就在于揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述之間的關系，以便對兩者有更具體和更直觀的了解，同時也有助于了解狀態(tài)空間方法和其他線性系統(tǒng)理論方法之間的相互滲透和

6、交叉應用。 I/O描述狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間描述傳遞函數(shù)陣一一 I/O描述描述狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)（1） ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(.注意：注意：狀態(tài)變量選取的不同，那么得到的狀態(tài)空間描述也是不同的 引入微分算子 dtdp/(2) .011101uapapapbpbpbynnnmm，則系統(tǒng)（1）可以寫成ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(. .010111ubpubupbyapyaypaypmmnnn則（2）式可以改成(3) .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnn引入中間變

7、量：uapapapynnn0111.1(2) .011101uapapapbpbpbynnnmm選取狀態(tài)) 1() 1 (21,nnyxyxyx可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述： xbbyuxaaaxmn0,100100000100110 首先將（2）中的有理分式嚴格真化：uapapapabbpabbpabbbynnnnnnnnnn01110011111.)()(.)(按照上面的算法可以轉換成狀態(tài)空間形式，狀態(tài)方程是一樣的，唯一不同的是輸出方程比原來多了D u(t)一項 ubxabbabbyuxaaaxnnnnnn1100110,10010000010狀態(tài)方程為：算法二： 輸入輸出關系可以表示為取狀

8、態(tài)變量 ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(.) 1() 1 (21,nnyxyxyxxyubxaaaxn001,00100000100110狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)輸入輸出關系如下：取狀態(tài)變量 ubububyayayaynnnnn0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(.uuuyxuuyxuyxnnnnn1)2(1) 1(0) 1(1) 1 (0) 1 (201 可構造如下：110,n00112211002112201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn待定系數(shù)狀態(tài)方程為：uxyuxaaaxnnn011110001,10000010問題：不同的狀態(tài)選取，得到的

9、不同狀態(tài)方程表達，之間關系如何？代數(shù)等價：代數(shù)等價： 給定一線性定常系統(tǒng)),(DCBA,Pxx DuxCPuDxCyPBuxPAPuBxAx11如果可以引入一非奇異變換其中P是非奇異矩陣，經變換后系統(tǒng)寫為：那么就稱這兩個狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價的。二二. 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)：輸入變量是一組U1, Um，輸出變量是一組Y1,Ym，可以用gij（s）來表示每個輸入Ui對每個輸出Yi存在的影響，系統(tǒng)的每個輸出都是由m個輸入同時作用得到的。寫出輸入輸出之間的關系如下：1111)( usgy 212)( usgmmusg)(111)( usgypp

10、22)( usgpmpmusg)(usGuusgsgsgsgsgsgyympmppmp)()()()()()()(121112111多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫為是真的非零常陣是嚴格真的零陣)( )(lim)( )(limsGsGsGsGss欲保證系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，通常要求在G（s）中的每個元都是真或嚴格真有理分式，就稱傳遞函數(shù)陣是真或嚴格真的。 定理定理1：給定系統(tǒng)),(DCBA那么該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為初始條件x(0)=0，DBAsICsG1)()(實用算式： 定理定理2：給定系統(tǒng)),(DCBA,可以求出 CBaBCAaBCAECBaBCAaBCAECBaCABEC

11、BEasasassnnnnnnnnnnnn12110231211210111)(則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為DEsEsEsEssGnnnn)(1)(012211萊弗勒算法：萊弗勒算法： 特征多項式系數(shù)ai(i=0,1,n-1)可以按如下的順序遞推地來確定： nARaIaARRnARaIaARRARaIaARRARaIaARRARaIRnnnnnnnnnnnnn10110212213322322112111tr ,1tr ,3tr ,2tr ,1tr , DBASICDBPPAPPSIPPCDPBPAPSICPsGDBASICsG11111111)()()()()()(傳遞函數(shù)分別為：結論：所有代數(shù)等價

12、的狀態(tài)空間描述均具有相同的輸入輸出關系 編程作業(yè)編程作業(yè)1：根據(jù)定理2和萊弗勒算法，采用MATLAB編寫從狀態(tài)空間方程轉化為傳遞函數(shù)陣的程序，并對以下系統(tǒng)進行驗證：xyuxx211130121130020002注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗l編程作業(yè)2:將I/O 描述轉化為狀態(tài)空間描述的兩種算法編程實現(xiàn),并驗證輸入微分方程的系數(shù)(a,b),輸出為能控標準形或能觀標準形(A,B,C,D)注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗首先介紹幾個MATLAB函數(shù)： 1A,B,C,D=tf2ss(num,den)tf

13、2ss就是將傳遞函數(shù)陣轉化為狀態(tài)空間描述，num代表傳遞函數(shù)陣的分子多項式系數(shù)，den為傳函陣的分母多項式系數(shù)。2num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)ss2tf就是將狀態(tài)空間描述轉化為傳遞函數(shù)陣。對于多輸入系統(tǒng)，必須具體化iu，例如系統(tǒng)有3個輸入，則iu必為1，2，3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。如果為單輸入系統(tǒng)，那么iu可以省略，也可以寫成1。 1605614)164)(10()()()(232sssssssssUsYsGMATLAB Program 1-1 % enter the numerator and the denominatornum=0 0 1

14、 0; den=1 14 56 160; % another expression of the denominator% conv(a,b) means a multiply b % den1=1 10;den2=1 4 16;% den=conv(den1,den2); A,B,C,D=tf2ss(num,den)A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 1 0D = 0例2 求下列狀態(tài)空間方程所定義的系統(tǒng)傳遞函數(shù)xyuxxxx0011212503 . 4255100010321MATLAB Program 1-2 %enter system m

15、atrices A,B,C,D A=0 1 0; 0 0 1;-5 25 4.3;B=0;25;-121;C=1 0 0;D=0;%obtain transfer function, here iu=1 can be ignorednum,den=ss2tf(A,B,C,D,1);sys=tf(num,den) 顯示結果如下：Transfer function:1.776e-015 s2 + 25 s - 13.5- s3 + 4.3 s2 + 25 s + 5例3 考慮多輸入多輸出系統(tǒng)：21212121212100001001101142510uuxxyyuuxxxxMATLAB Progr

16、am 1-3 %enter system matrices A,B,C,DA=0 1;-25 4;B=1 1;0 1;C=1 0; 0 1;D=0 0;0 0;%obtain transfer function from u1 to y1 and y2num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1)%obtain transfer function from u2 to y1 and y2num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2)num1 = 0 1 4 0 0 -25den1 = 1 4 25 num2 = 0 1.0000 5.0000 0 1.0000 -25.0000de

17、n2 = 1 4 25 以下就是4個傳遞函數(shù)的MATLAB表達式： 25425)()( 2545)()(25425)()( 2544)()(222221212211ssssUsYssssUsYsssUsYssssUsY本節(jié)針對線性定常系統(tǒng)。由代數(shù)等價概念可知無論是在何種坐標下，系統(tǒng)的內在特性是不發(fā)生改變的。而系數(shù)矩陣A的特征值是表征系統(tǒng)動力學特性的一個重要參量，所以可以通過適當?shù)木€性非奇異變換把系統(tǒng)狀態(tài)方程轉化成由特征值表征的規(guī)范型。特征值兩兩相異，系統(tǒng)轉化為對角線規(guī)范型特征值兩兩相異，系統(tǒng)轉化為對角線規(guī)范型特征值非互異，系統(tǒng)轉化為約當規(guī)范型特征值非互異，系統(tǒng)轉化為約當規(guī)范型一對角線規(guī)范型：一

18、對角線規(guī)范型： 如果矩陣A的n個特征值是兩兩相異的，那么任取n個線性無關的特征向量,1nxPx1由這些線性無關的特征向量構成非奇異變換矩陣則采用坐標變換系統(tǒng)就可以轉化為對角線規(guī)范型： nP 1 uxBuPxAPPuBxAxn000000111注意：在對角線規(guī)范型下，各個狀態(tài)變量之間實現(xiàn)了完全解耦特例：如果系統(tǒng)矩陣A為友矩陣(companion matrix)，且特征值為兩兩不等，即 11010000000010naaaA那么可以直接構造非奇異變換矩陣 111111nnnnP 經過坐標變換系統(tǒng)就可以轉化為對角線規(guī)范型。例如，考慮下列矩陣A：6116100010A特征方程為：0) 3)(2)(1(

19、611661161001|23AIA的特征值為1、2和3,則可直接構造非奇異變換矩陣 5 . 05 . 111435 . 05 . 23,9413211111PP在坐標變換 作用下，系統(tǒng)就可以轉化為對角線規(guī)范型：xPPPA二約當規(guī)范型：二約當規(guī)范型：如果系統(tǒng)矩陣A的特征根是非互異的，那么必定存在一非奇異矩陣P，通過坐標變換，使系統(tǒng)在新的坐標下表示為約當規(guī)范型：uxJJBuPxAPPuBxAxl000000111個個約約當當塊塊組組成成約約當當塊塊組組成成，也也可可由由多多這這樣樣一一個個的的約約當當塊塊，它它可可以以是是由由是是相相應應于于特特征征值值其其中中iJi

20、ii 0101當特征根出現(xiàn)重根時，一般不能通過坐標變換來實現(xiàn)狀態(tài)間的完全解耦，約當規(guī)范型時可能達到的最簡耦合形式。特征根i的代數(shù)重數(shù)i與幾何重數(shù)i：幾何重數(shù)i為針對該特征根的約當小塊個數(shù)，代數(shù)重數(shù)i為所有約當小塊階次之和，即特征根的重數(shù)矩陣A，存在某個重根i，稱一非零向量vi是矩陣A屬于該特征根的k級廣義特征向量，當且僅當：利用廣義特征向量就可以將矩陣A變換為約當規(guī)范型1()0()0kiikiiAIvAIv選取變換矩陣：利用變換矩陣 ，就可以得到約當規(guī)范型。irnrikniiiinnlklivvvQQQQQQQQikikikikikii,.,1,.,1;)()2()1(2111xQx第五節(jié)第五節(jié) 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)就是兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按照一定的方式連接構成的系統(tǒng)，組合的基本方式可以分成串聯(lián)，并聯(lián)，反饋三種類型。組合系統(tǒng)的狀態(tài)就是由所有子系統(tǒng)狀態(tài)組成的。要想求出組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，最重要的就是找到組合系統(tǒng)在變量連接上的特性，并把這些特性體現(xiàn)在子系統(tǒng)的狀態(tài)方程中。一 并聯(lián) uuu2121yyy ,并聯(lián)系統(tǒng)特點：1111222211212200