相似三角形題型歸納

1、三角形題型歸納一、線段比例問(wèn)題構(gòu)造平行1、以下圖中，E為平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE： EC=1： 3, BE的延長(zhǎng)線交 CD的延長(zhǎng)線于 G,交AD于 F,求證：BF： FG=： 2.2、：如圖，在直角三角形 ABC中，/ BAC= 90° AB= AC, D為BC的中點(diǎn)，E為AC上 一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上,連結(jié)DG并延長(zhǎng)交 AE于F,假設(shè)/ FGE=45°, 1求證：BD-BC=BG-BE2求證：AGL BE; 3假設(shè)E為AC的中點(diǎn)，求EF ： FD的值。AF £3、如圖1,在Rt ABC中，/ BAC=90 , ADL BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一

2、點(diǎn)，連接 BO交AD于F, OEL OB交BC邊于點(diǎn)E. 1求證： ABFA COE 2當(dāng)O為AC的中點(diǎn)，丄 時(shí)，OFACOF _ 如圖2,求婁的值；3當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，皿 時(shí)，請(qǐng)直接寫出地的值.圖14、如圖，四邊形 ABCD和四邊形 ACED都是平行四邊形，點(diǎn) R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC, CD于點(diǎn)P, Q 1請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形相似比為1除外；2求BP:PQ:QR.二、相似比乘積處理方法逆向和正向分析找解題思路1、如以下圖，在厶ABC中，AD平分/ BAC,EM是AD的中垂線，交 BC延長(zhǎng)線于 E.求證: dE=BE CE.2、過(guò)厶ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交

3、于點(diǎn)F和E,求證：AE： ED=2AF FB.3、如果四邊形 ABCD勺對(duì)角線交于 0,過(guò)O作直線 0G/ AB交BC于E,交AD于F,交CD的4、如圖，CD是Rt ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交 CA于F。求證：_丄A5、如圖，在 Rt ABC中，CD是斜邊 AB上的高，點(diǎn) M在CD上, DHLBM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E.求證：1 AEBA CBIM 2昭 OM W CD6、如圖，BD CE分別是 ABC的兩邊上的高，過(guò) D作DGLBC于G 分別交 CE及 BA的延長(zhǎng) 線于 F、H。求證：1DG = BG- CG2BG- CG= GF- GHBG7、如圖，P為平行四

4、邊形 ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線與AD BC CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)PE _PHE、F、G H.求證：尸片 *&1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線BD上，一直線過(guò)點(diǎn) P分別交BA BC的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)Q, S,交于點(diǎn)求證：f-2如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在 平行四邊形 ABCD的對(duì)角線，或一一的延長(zhǎng)線上時(shí)- -：-是否仍然成立？假設(shè)成立，試給出證明；假設(shè)不成立，試說(shuō)明理由要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明；3 12圍玄三、構(gòu)造相似輔助線一一A X字型AB CF1、如圖： ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC BC邊上的中線 AE交CD于F。求證：ACDF2、四邊形

5、ABCD中, AC為AB AD的比例中項(xiàng)，且 AC平分/ DAB求證：°°3、如圖，過(guò)平行四邊形 ABCD勺頂點(diǎn)A的直線交BD于P,交CD于Q并交BC的延長(zhǎng)線于 R,求證：2PQ PDPR PB2四、相似類定值問(wèn)題1、如圖，在等邊厶ABC中，M N分別是邊 AB, AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD CD的 延長(zhǎng)線分別交 AC AB于點(diǎn)E、F.113+ =求證： '二蘆廣2、，在 ABC中作內(nèi)接菱形 CDEF設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為 a.求證：.船十氏一“.3、如圖，在 ABC中，CD為邊AB上的高，正方形 EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在厶ABC上。4、如以下圖，？ABCD中，A

6、C與BD交于0點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，0E交CD于F, E0延長(zhǎng)線5、一條直線截 ABC的邊BC CA AB或它們的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)D E、F.求證： E P 1DC EA FB 16、：P為？ABCD邊BC上任意一點(diǎn),DP交AB的延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，求證:BC _ AB_BP BQ-1五、證明線段相等1、在等腰AABC , AB AC分別過(guò)點(diǎn)B、C作兩腰的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的直線與兩平行線 分別交于點(diǎn) D E,連接DC BE DC與 AB邊相交于點(diǎn) M BE與AC邊相交于點(diǎn) N 如圖1, 假設(shè)DE/CB，寫出圖中所有與 AM相等的線段，并選取一條給出證明。(2)如圖2,假設(shè)DE與CB不平行，在(1)

7、中與AM相等的線段中找出一條仍然與 AM相等的線段，并給出證明。2、在面積為24的厶ABC中，矩形 DEFG勺邊DE在 AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F、G分別在BC AC上。1假設(shè)AE= 8，DE= 2EF，求GF的長(zhǎng)；2假設(shè)/ ACB= 90°，如圖2，線段DM EN分別 ADGD BEF的角平分線，求證： MG NF; 3請(qǐng)直接寫出矩形 DEFG的面積的最大值。3、在厶ABC中，點(diǎn)D從A出發(fā)，在AB邊上以每秒一個(gè)單位的速度向 B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從B 出發(fā)，在BC邊上以相同的速度向 C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DEI BC交 AC于點(diǎn)E.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒.1假設(shè)AB= 5, BO6,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 DF

8、CE為平行四邊形；2連接AF、CD假 設(shè)BD= DE求證：/ BAF=Z BCD 3AF交DE于點(diǎn)M 在DC上取點(diǎn) N使MN/ AC連接FN求證:設(shè)訓(xùn)N._N D -C FF B CBC= 6, AC= 4,當(dāng)MN= FN時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值.六、對(duì)應(yīng)練習(xí)題1、如以下圖，在 ABC中，D、E分別為BC的三等分點(diǎn)，CM為AB上的中線，CM分別交 AEAD于 F、G 貝U CF： FG： GM=5 3 ：2D2、：在四邊形 ABCD中, AD/ BC, / BAC=Z D,點(diǎn) E、F 分別在 BC CD上，且/ AEF= / ACD試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系。1如圖1，假設(shè)AB= BC= AC

9、貝U AE與EF之間 的數(shù)量關(guān)系是什么；2如圖2,假設(shè)AB= BC,你在1中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫 出猜測(cè)，并加以證明；3如圖3，假設(shè)AB= kBC,你在1中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？ 寫出猜測(cè)，并加以證明1 3、在Rt ABC / C=90 , D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn) M N分別在BC AC邊上，且 DML DN 作 MFL AB于點(diǎn)F, NEL AB于點(diǎn)E. 1特殊驗(yàn)證：如圖1,假設(shè)AC=BC且D為AB中點(diǎn)，求證: DM=DN AE=DF 2拓展探究：假設(shè) AO BC如圖2，假設(shè)D為AB中點(diǎn)，1中的兩個(gè) 結(jié)論有一個(gè)仍成立， 請(qǐng)指出并加以證明；如圖3，假設(shè)BD=kAD條件中“點(diǎn)M在BC邊上

10、改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證4、 1如圖1,在厶ABC中，點(diǎn)D, E, Q分別在AB AC, BC上，且DE/ BC AQ交DE于點(diǎn)P.求證：DPPEBQ QC ° 2如圖，在心中，/ BA(=90°正方形DEFG勺四個(gè)頂點(diǎn)在厶ABC的邊上，連接 AG AF分別交DE于 M N兩點(diǎn)如圖2,假設(shè)AB=AC=直接寫出MN的長(zhǎng)；如圖 3，求證 MN=DM EN5、線段 OM OB C為0B上中點(diǎn)，D為A0上一點(diǎn)，連 AC BD交于P點(diǎn).1如圖1,當(dāng)0A=0咀D為A0中點(diǎn)時(shí)，求APPC圖11=時(shí)，求 tan / BPC4圖26、如

11、圖1, D是厶ABC的BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的一條直線交 AC于F,交BA的延長(zhǎng)線于 E,AG/ BC交EF于G我們可以證明 EG- DC=ED AG成立不要求考生證明.1如圖2,假設(shè)將圖1中的過(guò)點(diǎn)D的一條直線交 AC于F,改為交CA的延長(zhǎng)線于F,交BA的延長(zhǎng)線于E,改為交BA于E,其它條件不變，那么 EG- DC=ED AG還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明； 如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；2根據(jù)圖2，請(qǐng)你找出EG FD ED FG四條線段之間的關(guān)系，并給出證明；3如圖3,假設(shè)將圖1中的過(guò)點(diǎn)D的一條直線交 AC于F,改為交CA 的反向延長(zhǎng)線于 F.其它條件不變，那么2得到的結(jié)論是否成立？圖1GAF圖37、：在厶 ABC中AB= AC點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) F是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn) E在線段 DF 的延長(zhǎng)線上，/ BAE=Z BDF點(diǎn)M在線段 DF上，/ ABE=Z DBM 1如圖1,當(dāng)/ABC= 45 ° 時(shí)，求證：AE= V2 MD2如圖2,當(dāng)/ ABC= 60°時(shí)，那么線段 AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為:3在2的條件下延長(zhǎng) BM到P,使M圧BM連接CP假設(shè) AB= 7, AE=27 , 求 tan / ACP的值.A8、如圖 13,梯形 ABCD中, AD/ BC / ABC= 2