一元二次方程的整數(shù)根（試題部分）ppt課件

1、7.3一元二次方程的整數(shù)根中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (北京公用北京公用)1.(2021北京東城一模北京東城一模,23)知知:關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0.(1)假設(shè)假設(shè)m0,求證求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)假設(shè)假設(shè)m為大于為大于12,小于小于40的整數(shù)的整數(shù),且方程有兩個(gè)整數(shù)根且方程有兩個(gè)整數(shù)根,求求m的值的值.好題精練解析解析(1)證明證明:=-2(2m-3)2-4(4m2-14m+8)=8m+4.m0,8m+40,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)x1,2=(2m-3).方程有兩個(gè)整數(shù)根

2、方程有兩個(gè)整數(shù)根,為整數(shù)為整數(shù).又又12m40,252m+181,50),由于由于a為整數(shù)為整數(shù),所以所以n為正奇數(shù)為正奇數(shù),且且n3(否那么否那么a=0),所以所以a=.由求根公式得由求根公式得x1,2=-1+=-1+,所以所以x1=-1+,x2=-1+.要使要使x1為整數(shù)為整數(shù),那么正奇數(shù)那么正奇數(shù)n=1,從而從而a=2;要使要使x2為整數(shù)為整數(shù),那么正奇數(shù)那么正奇數(shù)n可取可取1,5,7,從而從而a=2,-4,-10.綜上所述綜上所述,a的值為的值為2或或-4或或-10.13294n2(3)22ana3na24(3)9nn43n43n3.(2021北京海淀一模北京海淀一模,23)知知:關(guān)于

3、關(guān)于x的一元一次方程的一元一次方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)的根為正實(shí)數(shù),二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2-bx+kc(ac0)的圖象與的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.(1)假設(shè)方程的根為正整數(shù)假設(shè)方程的根為正整數(shù),求整數(shù)求整數(shù)k的值的值;(2)求代數(shù)式求代數(shù)式的值的值;(3)求證求證:關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2-bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.22()kcbabakc解析解析(1)由由kx=x+2,得得(k-1)x=2.依題意得依題意得k-10,x=.方程的根為正整數(shù)方程的根為正整數(shù),k為整數(shù)為整數(shù),k-1=1或或k-1=2,k=

4、2或或3.(2)依題意知依題意知,二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2-bx+kc(ac0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),0=a-b+kc,kc=b-a,=-1.(3)證明證明:方程的判別式為方程的判別式為=(-b)2-4ac=b2-4ac.(i)假設(shè)假設(shè)ac0.故故=b2-4ac0.此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.21k 22()kcbabakc22()()bababa ba22222bababababa22aababa(ii)假設(shè)ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2ka

5、c+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù),方程(k-1)x=2的根為正實(shí)數(shù).由x0,20,得k-10.4ac(k-1)0.(a-kc)20,=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.綜上,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4.(2021北京西城二模北京西城二模,23)知知:關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程-x2+(m+4)x-4m=0,其中其中0m4.(1)求此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根求此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(用含用含m的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示);(2)設(shè)拋物線設(shè)拋物線y=-x2+(m+4)x+-4m與與x軸交于軸交于A、B兩

6、點(diǎn)兩點(diǎn)(A在在B的左側(cè)的左側(cè)),假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,-2),且且ADBD=10,求拋物線的解析式求拋物線的解析式;(3)知點(diǎn)知點(diǎn)E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在都在(2)中的拋物線上中的拋物線上,能否存在含有能否存在含有y1、y2、y3,且與且與a無關(guān)無關(guān)的等式的等式?假設(shè)存在假設(shè)存在,試寫出一個(gè)試寫出一個(gè),并加以證明并加以證明;假設(shè)不存在假設(shè)不存在,闡明理由闡明理由.解析解析(1)將原方程整理將原方程整理,得得x2-(m+4)x+4m=0,0m0,x1,2=,x1=m,x2=4.(2)由由(1)知知,拋物線拋物線y=-x2+(m+4)x-4m與與x軸的交

7、點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為(m,0)、(4,0),A在在B的左側(cè)的左側(cè),0m4,A(m,0),B(4,0).又又AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4,BD2=OB2+OD2=42+22=20.ADBD=10,AD2BD2=100,20(m2+4)=100,解得解得m=1.0m4,m=1,m+4=5,-4m=-4,(4)(4)2mm拋物線的解析式為y=-x2+5x-4.(3)存在含有y1、y2、y3,且與a無關(guān)的等式,如:y3=-3(y1-y2)-4(答案不獨(dú)一).證明:由題意可得y1=-a2+5a-4,y2=-4a2+10a-4,y3=-9a2+15a-4.左邊=y3=-9a2+15a-4

8、.右邊=-3(y1-y2)-4=-3(-a2+5a-4)-(-4a2+10a-4)-4=-9a2+15a-4,左邊=右邊,y3=-3(y1-y2)-4成立.5.(2021北京海淀一模北京海淀一模,23)知關(guān)于知關(guān)于x的方程的方程x2-(m-3)x+m-4=0.(1)求證求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)假設(shè)方程有一個(gè)根大于假設(shè)方程有一個(gè)根大于4且小于且小于8,求求m的取值范圍的取值范圍;(3)設(shè)拋物線設(shè)拋物線y=x2-(m-3)x+m-4與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)M,假設(shè)拋物線與假設(shè)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)恰好是點(diǎn)M,求求m

9、的值的值.解析解析(1)證明證明:=-(m-3)2-4(m-4)=m2-10m+25=(m-5)20,所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)根據(jù)求根公式可知根據(jù)求根公式可知,方程的兩根為方程的兩根為x1,2=,即即x1=1,x2=m-4,由題意由題意,有有4m-48,即即8m0,b0.(1)假設(shè)方程有實(shí)數(shù)根假設(shè)方程有實(shí)數(shù)根,試確定試確定a,b之間的大小關(guān)系之間的大小關(guān)系;(2)假設(shè)假設(shè)a b=2 ,且且2x1-x2=2(x1,x2為方程為方程x2+2ax+b2=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根),求求a,b的值的值.3解析解析(1)關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2ax+b2=0有

10、實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根,=(2a)2-4b20,有有a2-b20,(a+b)(a-b)0.a0,b0,a+b0,a-b0,ab.(2)a b=2 ,設(shè)設(shè)a=2k,b=k(k0).解關(guān)于解關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+4kx+3k2=0,得得x=-k或或-3k.當(dāng)當(dāng)x1=-k,x2=-3k時(shí)時(shí),由由2x1-x2=2得得k=2.當(dāng)當(dāng)x1=-3k,x2=-k時(shí)時(shí),由由2x1-x2=2得得k=-(不合題意不合題意,舍去舍去).k=2,a=4,b=2.332531.(2021北京海淀二模北京海淀二模)知關(guān)于知關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求證求證:無論無論m取

11、何值取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)為何整數(shù)時(shí),原方程的根也是整數(shù)原方程的根也是整數(shù).教師公用題組教師公用題組解析解析(1)證明證明:=(m+3)2-4(m+1)=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=(m+1)2+4.(m+1)20,(m+1)2+40,無論無論m取何值取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)解關(guān)于解關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,得得x1,2=.原方程的根是整數(shù)原方程的根是整數(shù),(m+1)2+4是完全平方數(shù)是完全平方數(shù).設(shè)設(shè)(m+1)2+4=a2,那

12、么那么(a+m+1)(a-m-1)=4.a+m+1和和a-m-1同為奇數(shù)或偶數(shù)同為奇數(shù)或偶數(shù),或或23(1)42mm 12,12amam 12,12.amam 解得或m=-1.x1=-2,x2=0,符合題意.當(dāng)m=-1時(shí),原方程的根是整數(shù).2,1am 2,1,am 2.(2021北京西城一模北京西城一模)關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求證求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)m為何整數(shù)時(shí)為何整數(shù)時(shí),此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù).解析解析(1)證明證明:根據(jù)題意得根據(jù)題意得m1,=(-2m)2-4(m-

13、1)(m+1)=4,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)由由(1)知知:=4,x1=1+,x2=1.方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)方程的兩個(gè)根都是正整數(shù),是正整數(shù)是正整數(shù),m-1=1或或2,m=2或或3,經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意滿足題意.當(dāng)當(dāng)m=2或或3時(shí)時(shí),此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù).222(1)mm11mm21m222(1)mm21m3.(2021北京東城一模北京東城一模)知關(guān)于知關(guān)于m的一元二次方程的一元二次方程2x2+mx-1=0.(1)斷定方程根的情況斷定方程根的情況;(2)設(shè)設(shè)m為整數(shù)為整數(shù),方程的兩個(gè)根都大于方程的兩個(gè)根都大于-1且小于且小于,當(dāng)方程的兩個(gè)根均為有理數(shù)時(shí)當(dāng)方程的兩個(gè)根均為有理數(shù)時(shí),求求m的值的值.32解析解析(1)=m2-42(-1)=m2+8.m20,=m2+80.無論無論m取何值取何值,方程方程2x2+mx-1=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)設(shè)設(shè)y=2x2+mx-1.2x2+mx-1=0的兩根都在的兩根都在-1和和之間之間,當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)時(shí),y0,即即2-m-10,當(dāng)當(dāng)x=時(shí)