高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(文)人教通用版7.3一元二次不等式及其解法名師精編學(xué)案

1、名校名師推薦§7.3一元二次不等式及其解法取新專綱考情考向分析1 .會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.2 .通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3 .會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.以理解一兀二次不等式的解法為主，常與集合的運(yùn)算相結(jié)合考查一元二次不等式的解法，有時(shí)也在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中用到，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí).在高考中常以選擇題的形式考查，屬于低檔題，若在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中考查，難度較局.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練草礎(chǔ)題目知識(shí)梳理1.一元二次不等式的解集判別式A=b2-4ac

2、A>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象LbIM方程ax2+bx+c=0(a>0)的根后兩相異實(shí)根xi,X2(xi<x2)有兩相等實(shí)根bxi=x2=-2a沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xx<xi或x*xx工七:x|xCRax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?i名校名師推薦2.常用結(jié)論(x-a)(xb)>0或(xa)(x-b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba=ba>b(xa)(xb)>0x|x<a或x>bx|xwax|x&l

3、t;b或x>a(xa)(xb)<0x|a<x<b?x|b<x<a口訣：大于取兩邊，小于取中間.【概念方法微思考】1. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有什么關(guān)系？提示ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.2. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的條件是什么？>0a<0提示顯然aw0.ax2+bx+c>0恒成立的條件是a'ax2+bx+c<0恒成立

4、的條件是'攵0；/0.-/-基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或"X”)(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(xi,x2),則必有a>0.(V)(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(一8,x1)U(x2,十°°),則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是xi和x2.(V)(3)若方程ax2+bx+c=0(aw0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(x)(4)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的條件是a<0且A=b2-4ac<0.(x)(5)若二次函數(shù)y=ax

5、2+bx+c的圖象開口向下，則不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(V)題組二教材改編2,已知集合A=x|x2x6>0,貝U?rA等于()A. x|-2<x<3B. x|-2<x<3C. x|x<-2Ux|x>3D. x|x<-2Ux|x>3答案B解析x2x6>0,(x+2)(x3)>0,x>3或x<2,即A=x|x>3或x<2.在數(shù)軸上表示出集合A,如圖所示.-2由圖可得?rA=x|-2<x<3.故選B.3.y=log2(3x22x2)的定義域是答案所以當(dāng)a>1時(shí)，解為

6、_<x<1 ；當(dāng)a=1時(shí)，解集為?;1當(dāng)0<a<1時(shí)，解為1<x<一ac8，三近P專Z+8)解析由題意，得3x2-2x-2>0,令3x2-2x-2=0,得x=1,x2=1+曠,333x2-2x-2>0的解集為題組三易錯(cuò)自糾4 .不等式一x23x+4>0的解集為（用區(qū)間表示）答案（4,1）解析由一x23x+4>0可知，（x+4）（x1）<0,得一4<x<1.5 .若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是一；g則a+b=答案-14解析Xi=*2=是方程ax2+bx+2=0的兩個(gè)根，23+ + b- 2 b- 3

7、 - 十 a-4 a-9a=-12,a+ b= - 14.解得b=-2,6.不等式(a2)x+2(a2)x4<0,對(duì)一切xCR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-oo,2B.(-2,2C.(-2,2)D.(一巴2)答案Ba2<0,解析i-2<a<2,LA<0,另a=2時(shí)，原式化為4<0,不等式恒成立,2<aW2.故選B.題型分類深度剖析真題典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究題型一一元二次不等式的求解命題點(diǎn)1不含參的不等式例1 (2019呼和浩特模擬)已知集合 A=x|x2-x-2<0 , B = y|y= 2X,則APB等于()A. (-1, 2)

8、B. (-2, 1)C. (0, 1)D. (0, 2)答案 D解析 由題意得 A=x|x2-x-2<0 =x|-1<x<2 , B=y|y= 2 = ¥|¥>0,AA B = x|0<x<2 = (0, 2).故選 D.命題點(diǎn)2含參不等式例2解關(guān)于x的不等式ax2 (a+ 1)x+ 1<0(a>0).解 原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0,因?yàn)?a>0,所以!x-g )x- 1)<0.1綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為11<x<；5當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為?；r11當(dāng)a>1時(shí)，不

9、等式的解集為<x<1£思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.跟蹤訓(xùn)練1解不等式12x?ax>a2(aCR).解原不等式可化為12)-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得xi=怖，x2=號(hào)4o當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為j3，+°°)當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為(一8,0)U(0,+oo);當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為J巴(-A,+oo)題型二元二次不等式恒

10、成立問題13m的取值范圍.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.命題點(diǎn)1在R上的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)=mx?mx1.若對(duì)于xR,f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)解當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=-1<0恒成立.m<0,當(dāng)mw。時(shí)，則i2即一4<m<0.(A=m+4m<0,綜上，一4<m<0,故m的取值范圍是(一4,0.命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)=mx?mx1.若對(duì)于xC1,3,f(x)<5m恒成立,解要使f(x)<m+5在x1,3上恒成立，即mj6<0在xC1,3上恒成立.有以下兩種方法:人,、12.3一萬法一令g(x)=mx

11、2j+4m6,xC1,3.當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù),所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,所以m<6,所以0<m<7；當(dāng)m=0時(shí)，一6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)max=g(1),即m-6<0,所以m<6,所以m<0.綜上所述，m的取值范圍是imm<7>方法二因?yàn)閤2x+1=jx-2j2+4>0,又因?yàn)閙(x2x+1)6<0,所以m<-27.x-x+1因?yàn)楹瘮?shù)y=2/6。在1,3上的最小值為6,所以只需m<6即可.Jxx+112,377b2產(chǎn)

12、4所以m的取值范圍是；mm<6tI7,引申探究1.若將“f(x)<5m恒成立"改為"f(x)<5m無解"，如何求m的取值范圍？解若f(x)<5m無解，即f(x)>5-m恒成立，一6,一，、一即mRx2_x+1恒成立,又xC1,3,得m>6,即m的取值范圍為6,十).2.若將“f(x)<5m恒成立"改為“存在x,使f(x)<5m成立"，如何求m的取值范圍?解由題意知f(x)<5m有解，即m<k6T7有解，則 x x+ 1'又xC1,3,得m<6,即m的取值范圍為(8,6).

13、命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問題例5若mx2mx1<0對(duì)于mC1,2恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解設(shè)g(m)=mx2mx1=(x2x)m1,其圖象是直線，當(dāng)mC1,2時(shí)，圖象為一條線段,gf1<0,x2-x-1<0,則IJ即2g(2<0,|2x-2x-1<0,解得丁3<x<匕尸，故x的取值范圍為y2誰就是思維升華解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍,主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x)=x2+ax+3.(1)當(dāng)xCR時(shí)，f(x)>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)xC2,2時(shí)，f(x)>a恒成

14、立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；當(dāng)aC4,6時(shí)，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解(1).當(dāng)xeR時(shí)，x2+ax+3a>0恒成立，需a=a2-4(3-a)<0,即a2+4a-12<0,實(shí)數(shù)a的取值范圍是6,2.(2)當(dāng)xC-2,2時(shí)，設(shè)g(x)=x2+ax+3-a>0,分如下三種情況討論(如圖所示):如圖，當(dāng)g(x)的圖象與x軸不超過1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有A=a2-4(3-a)<0,即一6WaW2.如圖，g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)xC2,+8)時(shí)，g(x)>0,rA>0,aa2_4p-a>0,aa即<x=2<2,即2<2

15、,、g(-2盧0,、4一2a+3-a>0,a>2或a<6,可得a>4，解得aC?.a<7,a3如圖，g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),但當(dāng)xC(8,2時(shí)，g(x)>0.20,aa4(3a>0,即Jx=_2>2,即«-a>2,lg(2廣0,17+an0,匕>2或2<6,可得a<-4,一7Wa<-6,、a>一7.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,2.(3)令h(a)=xa+x2+3.當(dāng)aC4,6時(shí),h(a)氏0恒成立.h(4戶0,X2+4x+3>0,只需，廠即彳2|h(6盧0,b+6x+3>0,解得x

16、W3-46或x>3+46.實(shí)數(shù)x的取值范圍是(一00,一3一*V6U-3+6,+00).課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知集合A=xx>0,B=x|(x+1)(x-5)<0,則APB等于(A.-1,4)B.0,5)C.1,4D.-4,1)U4,5)答案B解析由題意得B=x|-1<x<5,故AnB=x|x>0nx|1<x<5=0,5).故選B.2. (2018沈陽二十中聯(lián)考)若不等式ax2+bx+2>0的解集為x|1<x<2,則不等式2x2+bx+a>0的解集為()A.lxx<1或x>2:B.lx-1<x<2

17、>C.x|2<x<1D,x|x<2或x>1答案A解析二.不等式ax2+bx+2>0的解集為x|1<x<2,.ax2+bx+2=0的兩根為一1,2,且a<0,即1+2=b,(-1)X2=-,解得a=1,b=1,則所求不等式可化為2x2+x1>0,aa一一1,解得x<-1或x>2，故選A.3.若一元二次不等式2kx2+kx8<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A.(3,0)B.-3,0C.-3,0)D.(-3,0答案Ak<0,解析由題意可得ak24x2kx(3、解得3<k<0.4,若存在實(shí)數(shù)xC

18、2,4,使x2-2x+5m<0成立，則m的取值范圍為()A.(13,i)B.(5,+8)C.(4,i)D.(8,13)答案B解析m>x22x+5,設(shè)Kx)=x22x+5=(x-1)2+4,xC2,4,當(dāng)x=2時(shí)f(x)min=5,?xC2,4使x22x+5m<0成立，即m>f(x)min,，m>5.故選B.5.若不等式x2-(a+1)x+aw0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A.-4,1B.-4,3C.1,3D.-1,3答案B解析原不等式為(x-a)(x-1)<0,當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為a,1,此時(shí)只要a>4即可，即一4Wa<

19、1;當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解為x=1,此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為1,a,此時(shí)只要aw3即可，即1<a<3,綜上可得一4<a<3.6.若不等式x2+ax2>0在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是()A.235，+ OOC.(1,+8)解析由A= a2 + 8>0知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根,又因?yàn)閄ix2=2<0,所以方程必有一正根,一負(fù)根，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的示意圖如圖.所以不等式在區(qū)間f(5)>0 ,解得 a>故選 A.51 , 5上有解的充要條件是答案A7.在關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1個(gè)整

20、數(shù)，則a的取值范圍是(A.(-3,5)B.(-2,4)C.-1,3D.-2,4答案C解析因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2(a+1)x+a<0可化為(x1)(xa)<0,當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為x1<x<a,當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為xa<x<1,當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為？，要使得解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，則a=1或1<aw3或1>a>1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a-1,3,故選C.8. 設(shè)a<0,(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立，則ba的最大值為(1A.21B.312 D.萬答案C解析當(dāng)a<b<0

21、時(shí)，？xC(a,b),2x+b<0,所以(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立,可轉(zhuǎn)化為？xC(a,b),a<-4x2,所以aw4a2,所以一；wa<0,所以0<ba<；;當(dāng)a<0<b時(shí)，(4x2+a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立,當(dāng)x=0時(shí)，(4x2+a)(2x+b)=ab<0,不符合題意；當(dāng)a<0=b時(shí)，由題意知xC(a,0),(4x2+a)2x>0恒成立，所以4x2+a<0,所以一4<a<0,所以b-a<4.綜上所述，ba的最大值為:4二、填空題9. (2018全國(guó)名校大聯(lián)

22、考)不等式x22ax3a2<0(a>0)的解集為.答案x|-a<x<3a解析x2-2ax-3a2<0?(x-3a)(x+a)<0,a>0,a<3a,不等式的解集為x|a<x<3a.10. (2018煙臺(tái)聯(lián)考)不等式x>1的解集為.x答案(1,0)U(1,+8)解析當(dāng)x>0時(shí)，原不等式等價(jià)于x2>1,解得x>1;當(dāng)x<0時(shí)，原不等式等價(jià)于x2<1,解得1一一、.1<x<0.所以不等式x>1的解集為(1,0)U(1,+8).x11 .若關(guān)于x的不等式x2axa>0的解集為R,則實(shí)

23、數(shù)a的取值范圍是.答案(4,0)解析因?yàn)閤2axa>0的解集為R,所以A=(-a)2-4(-a)<0,解得一4<a<0,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一4,0).x12 .(2019上海長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)模擬)不等式-W0的解集為.答案(1,0x解析由W0得x(x+1)W0(xw1),x+1解得1<xW0.13 .若不等式x2+ax+4>0對(duì)一切xC(0,1恒成立，則a的取值范圍為.答案5,+8)解析由題意，分離參數(shù)后得，a>-x+4；設(shè)f(x)=x+4；,xC(0,1,則只要a河f(x)max即可.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)max=f(1)=5,故a>5.三、解答題14 .已知對(duì)于任意的xC(8,1)U(5,+8),都有x2-2(a-2)x+a>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)f(x)=x22(a-2)x+a,當(dāng)a=4(a2)24a<0時(shí)，即1<a<4時(shí)，f(x)>0對(duì)xCR恒成立;當(dāng)a=1時(shí)